¿Por qué una fuerza no realiza ningún trabajo si es perpendicular al movimiento?

Como explica SchrodingersCat, matemáticamente el trabajo es proporcional al producto escalar de la fuerza y ​​el elemento lineal. Por lo tanto, cualquier fuerza que actúe perpendicularmente a la trayectoria no contribuye al trabajo.

Ahora es posible que desee preguntar por qué el trabajo se define de esta manera. Me gustaría justificar esta definición tomando tu ejemplo de la luna.

En física, el trabajo está íntimamente relacionado con la energía: básicamente , si quieres cambiar la energía de un objeto, necesitas trabajar sobre él . Ahora bien, en el caso de la luna hay dos energías relevantes, (1) la energía cinética de la luna relacionada con la magnitud (pero no la dirección) de la velocidad de la luna, es decir, su velocidad; y (2) energía gravitacional relacionada con la posición de la luna en el campo gravitatorio de la tierra; éste depende de la distancia luna-tierra.

Para (1), dado que las fuerzas perpendiculares no cambian la magnitud de la velocidad (solo su dirección), la fuerza perpendicular no debe entrar en la ecuación del trabajo (ya que no contribuye al cambio de energía).

Porque (2) si desplazas la luna siempre perpendicular a la dirección de la fuerza gravitatoria, te quedas a la misma distancia, es decir, a la misma energía potencial gravitatoria. Por lo tanto, tales desplazamientos perpendiculares no cambian la energía y no deberían entrar en la expresión del trabajo.

En realidad, el trabajo o, "trabajo" como lo decimos en física , se ha definido matemáticamente como

$$W=\int_{x_1}^{x_2}\vec F\cdot d\vec{s}$$ Así que si $\vec{F}$y $d\vec{s}$son vectores ortogonales, es decir, el ángulo entre los vectores es $90^\circ$, entonces de acuerdo con la fórmula anterior, no se realiza ningún trabajo físicamente ; en este caso, por la tierra en la luna.

Como explicó @SchrodingersCat, no habrá trabajo en el sistema si la fuerza es ortogonal al desplazamiento. Sin embargo, me gustaría elaborar la respuesta un poco más.

¿Cuál es el significado físico de representar el trabajo realizado sobre un cuerpo por el producto escalar de la fuerza y ​​el desplazamiento del objeto?

Un objeto puede moverse incluso sin una fuerza (la primera ley de Newton dice sobre esto), sin embargo, el movimiento no será acelerado. Entonces, un cuerpo podría desplazarse incluso si no hay fuerza. Si ha estudiado mecánica clásica, es posible que haya escuchado que es el momento lineal el que genera la traslación, no la fuerza.
Para decir que un trabajo debe ser realizado por una fuerza sobre el objeto, debería tener algún efecto ^[1] ..... sobre el objeto, ¿no? Cualquier propiedad dinámica (como en este caso, el efecto de una fuerza) está representada por un cambio en la coordenada de posición del objeto (cuyo orden varía según la cantidad dinámica) con respecto al tiempo, porque la posición es algo muy fundamental en dinámica.
Si la fuerza tiene algún efecto sobre el objeto (que es la aceleración, por supuesto), entonces esta fuerza contribuye con cierto desplazamiento a lo largo de la dirección de la fuerza aplicada (incluso si ya hay movimiento en alguna otra dirección). En tal caso, el efecto de la fuerza sobre el cuerpo se puede medir tomando la componente del desplazamiento resultante (o neto, si insiste) a lo largo de la dirección de la fuerza aplicada. Entonces, el trabajo realizado por una fuerza se define como el producto de la fuerza aplicada con el componente de desplazamiento causado por esta fuerza. Esto se puede lograr tomando el producto escalar de los dos vectores-Fuerza y ​​el desplazamiento neto.

Entonces, ¿qué significa que no se realiza trabajo si la fuerza y ​​el desplazamiento son ortogonales?

En geometría euclidiana, los vectores ortogonales implican vectores mutuamente perpendiculares. Sin embargo, el sentido real es que los dos vectores son independientes. Esto significa que uno no tiene un componente común con el otro, lo que de acuerdo con las discusiones anteriores establece que un vector no tiene efecto sobre el otro. Entonces, el desplazamiento ocurrido no se debe a la fuerza dada. Geométricamente, eso es posible solo si la fuerza y ​​el desplazamiento son perpendiculares, de modo que su producto escalar desaparezca. Esta es la razón por la que no se realiza trabajo sobre el sistema si la fuerza aplicada y el desplazamiento resultante son perpendiculares.

Pero esa fuerza perpendicular podría afectar la dirección del movimiento del cuerpo (ya que una fuerza sobre un cuerpo debería acelerarlo de alguna manera). Entonces, no se necesita trabajo para cambiar la dirección de un cuerpo, aunque solo ocurra por una fuerza. En tal caso, no hay desplazamiento debido a la fuerza aplicada, solo un cambio en la dirección, cuyo efecto está definido por el par en el cuerpo (el análogo rotacional de la fuerza).

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[1]: "efecto" en el presente contexto se utiliza para implicar cualquier cosa que pueda contribuir al trabajo. No podemos decir que la fuerza no tiene efecto sobre el objeto. Podría acelerar el cuerpo, incluso si no se ha producido ningún desplazamiento debido a esa fuerza, que es cambiando la dirección del movimiento.

Fondo

El principio básico de la física con respecto a la energía de un sistema es que la energía cambia cuando se realiza trabajo en el sistema, o el sistema realiza trabajo en un sistema diferente. El trabajo puede aumentar (trabajo positivo) o disminuir (trabajo negativo) la energía total del sistema.

Las fuerzas son los agentes del trabajo. Solo las fuerzas externas pueden cambiar la energía total de un sistema. Las fuerzas internas provocan intercambios de energía entre las piezas del sistema.

Consideremos un sistema, la Luna (solamente). La atracción gravitacional de la Tierra puede realizar trabajo sobre el sistema. Eso cambiaría la energía total de la Luna, que en este caso sería simplemente un cambio en la energía cinética. ¿Qué significa un cambio de energía cinética? Significa que la velocidad del objeto ha cambiado.

La luna

Si la Luna se mueve en una órbita circular, entonces la velocidad instantánea de la Luna siempre es perpendicular a la aceleración instantánea, por lo que de acuerdo con la definición (correcta) de trabajo en otras respuestas,

$$W=\int \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s},$$ el trabajo es cero.

Tu pregunta

has preguntado

¿Por qué no se realiza trabajo si la fuerza de apoyo es perpendicular al movimiento?

Es decir, ¿cuál es el comportamiento físico que dice que la fuerza perpendicular no cambia la energía?

Debido a que el cambio de energía (por el trabajo realizado) es un cambio en la energía cinética, la fuerza debe cambiar la velocidad de los objetos en el sistema. Las aceleraciones que son perpendiculares a la velocidad instantánea solo cambian la dirección, no la velocidad. Para cambiar la velocidad debe haber una componente de aceleración que no sea perpendicular.

Un aparte sobre la energía potencial

La energía potencial es una energía del sistema. Si su sistema es solo la Luna, no hay energía potencial gravitatoria. Si su sistema es la Tierra y la Luna, entonces se puede considerar la energía gravitatoria debida a la interacción de los dos. Pero cuando se tiene en cuenta el trabajo, se trata de una situación de uno u otro: o se mide la energía como la suma de la cinética y el potencial, o se considera solo la cinética, modificada por el trabajo realizado por la interacción gravitacional. No puedes contar ambos simultáneamente, porque un cambio de energía potencial se define como el negativo del trabajo realizado por una fuerza conservativa (en este caso, la gravitacional), cuando cambian las posiciones relativas de los objetos que interactúan.

Como han mencionado otros, el trabajo (en 3D) en un sistema se define como el producto escalar entre la fuerza sobre el sistema y su desplazamiento. Si son perpendiculares, no se realiza ningún trabajo.

En términos de intuición, lo que significa es que la fuerza "redirige" el sistema (la luna, en su caso) pero de tal manera que algunas de las partículas se aceleran y otras se ralentizan en la redirección de tal manera que la red El resultado es que la energía total de la Luna es la misma que antes. La luna se ve obligada a moverse en forma circular, pero de tal forma que su energía sigue siendo la misma en cada punto (al menos, en el modelo extremadamente simple que estás asumiendo).

Veo que la mayoría de los carteles han respondido a esta pregunta en términos de la definición habitual de trabajo. Eso está bien hasta donde llega, pero para muchas personas la definición de trabajo parece algo arbitraria en primer lugar.

Una alternativa sería tratar el teorema trabajo-energía

$$W_\text{net} = \Delta T \;,$$ (con $T$la energía cinética) como un comportamiento esperado (porque es integral en la construcción de la ley de conservación a partir de los principios newtonianos y el principio de conservación es muy útil) y use eso para deducir la forma que debe tomar el trabajo y así mostrar la razón del producto escalar.

Lo que sigue es sólo un esquema.

• La versión en línea recta nos da$W_\parallel = F_\text{net} \,\Delta x$.
• El movimiento circular uniforme nos muestra que la velocidad (y por lo tanto la energía cinética) no cambian por fuerzas perpendiculares a la dirección del movimiento. Eso es$W_\perp = 0$.
• Entonces podemos descomponer cualquier fuerza neta en sus componentes paralela y perpendicular y notar que el trabajo proviene completamente de la paralela, de modo que escribir el trabajo en términos del producto escalar se convierte en un paso natural.

Esto también nos lleva al contenido físico principal de esa definición: las fuerzas aplicadas perpendicularmente a la dirección del movimiento no cambian la velocidad del objeto y, en ese sentido, son diferentes de las fuerzas aplicadas a lo largo (o en contra) de la dirección del movimiento.

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En un nivel más alto de sofisticación, se emplearía el teorema de Noether como postulado y se trabajaría a partir de ahí.

Creo que tienes razón @Shrodingers cat. Sería mejor aclarar la respuesta de esta manera.

Trabajo realizado (w) = F . d

                         = F d Cos θ

A 90 grados, θ = 90 y Cos 90 = 0,

W = F x dx Cos 90

= F x d x 0 = 0 Joule.

Entonces, cuando la fuerza se aplica perpendicularmente a la superficie, el trabajo realizado será cero.

Como otros ya han explicado. Bueno , es porque no hay desplazamiento en la dirección de la fuerza gravitacional . Se supone que la órbita permanece igual durante nuestra observación. La Tierra está tirando de la Luna hacia el centro, pero la Luna se mueve en una órbita circular, sin desplazamiento hacia el centro.

Una analogía simple es un bloque lanzado desde una altura particular. Ahora, a medida que cae, la fuerza gravitatoria realiza trabajo sobre él, tirando de él hacia abajo a lo largo de una distancia y elevando su energía cinética. Ahora suponga que a medida que se mueve hacia abajo aplica una fuerza horizontal constante hacia la derecha, ahora el bloque se mueve en una trayectoria inclinada, debido a la fuerza resultante debida a las dos fuerzas. Ahora, si consideramos el movimiento horizontal, la fuerza gravitacional no es la causa de eso, es simplemente tu mano. Entonces tu mano trabaja para el desplazamiento horizontal, no para el vertical que se hace por gravedad.

Entonces, en el caso de la luna, la fuerza gravitacional de la Tierra no es la causa de por qué se mueve en un círculo, solo proporciona la fuerza centrípeta necesaria y la fuerza centrípeta no provoca ningún desplazamiento hacia la luna.

En caso de que esté interesado en un enfoque más matemático, esto se puede probar completamente usando geometría. Para probar esto, necesita saber algunas cosas sobre los vectores.

Si$\vec v=(v_x,v_y,v_z)$es el vector velocidad de la luna entonces$v_x$,$v_y$y$v_z$representan las componentes de la velocidad en la dirección x, y y z.

Puedes calcular la velocidad de la luna calculando la longitud del vector de velocidad

$$v=|v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$$ Si elevas al cuadrado la longitud obtienes $v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2$, que usaré más adelante. Por último, el producto escalar entre dos vectores se define como $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=|a||b|\cos \alpha$$ $\alpha$es el ángulo entre los dos vectores. Esto significa que el producto escalar es cero si los dos vectores son perpendiculares.

Prueba

Si no se realiza trabajo en la luna, la energía cinética debe ser constante. Entonces la derivada de la energía cinética debe ser cero. Así que tomamos la derivada aplicando nuestro$v^2$sustitución y sacando las constantes de la derivada.

$$\frac{dKE}{dt}=\frac{d}{dt}(\tfrac{1}{2}mv^2)=\tfrac{1}{2}m\cdot\frac{d}{dt}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)$$ Luego aplica la regla de la cadena a cada uno de los componentes. $$\frac{d}{dt}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)=2v_x\frac{dv_x}{dt}+2v_y\frac{dv_y}{dt}+2v_z\frac{dv_z}{dt}=2v_xa_x+2v_ya_y+2v_za_z$$ En el que reconocemos el producto escalar: $$\frac{d}{dt}v^2=2\vec v\cdot\vec a$$ Entonces la derivada de la energía cinética se convierte en $$\frac{dKE}{dt}=m\vec v\cdot\vec a$$

Si la órbita es circular, la velocidad siempre es perpendicular a la aceleración (ya la fuerza). Entonces, la energía kinetec no cambia y no se realiza trabajo en la luna.