¿Contradicción en el teorema trabajo-energía para cuerpos rígidos?

Tenemos un cuerpo rígido en reposo. Sobre él actúa una fuerza que lo lleva a trasladarse (la velocidad del centro de masa es$V_{cm}$) y girar alrededor de un eje fijo con$\omega$

Kleppner y Kolnekow prueban que:

El trabajo realizado por la fuerza es igual al cambio en la energía cinética del centro de masa. Entonces$W=\Delta K_{cm}=\frac{1}{2} m V_{c m}^{2}$y aquí está su prueba

Para derivar la parte traslacional, comenzamos con la ecuación de movimiento para el centro de masa

$$\begin{aligned} \mathbf{F} &=M \frac{d^{2} \mathbf{R}}{d t^{2}} \\ &=M \frac{d \mathbf{V}}{d t} \end{aligned}$$ El trabajo realizado cuando el centro de masa es desplazado por$d \mathbf{R}=\mathbf{V} d t$es $$\begin{aligned} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{R} &=M \frac{d \mathbf{V}}{d t} \cdot \mathbf{V} d t \\ &=d\left(\frac{1}{2} M V^{2}\right) \end{aligned}$$ Integrando, obtenemos $$\oint_{\mathbb{R}}^{R_{i}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{R}=\frac{1}{2} M V_{b}^{2}-\frac{1}{2} M V_{a}^{2}$$

Pero también sabemos por el teorema de la energía cinética del trabajo que el trabajo realizado por una fuerza externa es igual al cambio en la energía cinética del cuerpo, por lo que$W=\Delta K=\frac{1}{2} m V_{c m}^{2}+ \frac{1}{2} I \omega^{2}$.

¡Entonces estas dos ecuaciones se contradicen!

Alguien puede ayudarme por favor. no puedo dormir