¿Puedo transformar tensores electromagnéticos por multiplicación de matrices?

Question

¿Puedo transformar tensores electromagnéticos por multiplicación de matrices?

Felipe Dilho

Sé que el tensor de campo electromagnético $F^{\mu\nu}$ , puede ser transformado a otro marco de referencia por

F^{α β} = Λ_{m}^{α} Λ_{v}^{β} F^{m v}

$F^{\alpha\beta} = \varLambda^{\alpha}_{\mu}\varLambda^{\beta}_{\nu}F^{\mu\nu}$

Dado que estos tensores se pueden representar mediante matrices, pensé que podría representar el tensor del campo electromagnético en otro marco de referencia inercial haciendo multiplicaciones de matrices, pero terminé con:

F^{α β} = [\begin{matrix} γ & - γ β & 0 & 0 \\ - γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} γ & - γ β & 0 & 0 \\ - γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & - \frac{1}{C} {mi}_{X} & - \frac{1}{C} {mi}_{y} & - \frac{1}{C} {mi}_{z} \\ \frac{1}{C} {mi}_{X} & 0 & - B_{z} & B_{y} \\ \frac{1}{C} {mi}_{y} & B_{z} & 0 & - B_{X} \\ \frac{1}{C} {mi}_{z} & - B_{y} & B_{X} & 0 \end{matrix}] =

$F^{\alpha\beta}= \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \\ -\gamma\beta & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \\ -\gamma\beta & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{c}E_x & -\frac{1}{c}E_y & -\frac{1}{c}E_z \\ \frac{1}{c}E_x & 0 & -B_z & B_y\\ \frac{1}{c}E_y & B_z &0 & -B_x\\ \frac{1}{c}E_z & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix} =$

= [\begin{matrix} - 2 \frac{γ^{2} β}{C} {mi}_{X} & - \frac{γ^{2}}{C} {mi}_{X} (1 + β^{2}) & - \frac{γ^{2}}{C} {mi}_{y} (1 + β^{2}) + 2 γ^{2} β^{2} B_{z} & - \frac{γ^{2}}{C} {mi}_{z} (1 + β^{2}) - 2 γ^{2} β B_{y} \\ \frac{1}{C} {mi}_{X} & 2 \frac{γ^{2} β}{C} {mi}_{X} & 2 \frac{γ^{2} β}{C} {mi}_{y} - γ^{2} B_{z} (β^{2} + 1) & 2 \frac{γ^{2} β}{C} {mi}_{z} + γ^{2} B_{y} (β^{2} + 1) \\ \frac{1}{C} {mi}_{y} & B_{z} & 0 & - B_{X} \\ \frac{1}{C} {mi}_{z} & - B_{y} & B_{X} & 0 \end{matrix}]

$=\begin{bmatrix} -2\frac{\gamma^2\beta}{c}E_x & -\frac{\gamma^2}{c}E_x(1+\beta^2)& -\frac{\gamma^2}{c}E_y(1+\beta^2)+2\gamma^2\beta^2B_z & -\frac{\gamma^2}{c}E_z(1+\beta^2)-2\gamma^2\beta B_y \\ \frac{1}{c}E_x & 2\frac{\gamma^2\beta}{c}E_x & 2\frac{\gamma^2\beta}{c}E_y-\gamma^2B_z(\beta^2+1) & 2\frac{\gamma^2\beta}{c}E_z+\gamma^2B_y(\beta^2+1)\\ \frac{1}{c}E_y & B_z &0 & -B_x\\ \frac{1}{c}E_z & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix}$ Pero como se puede ver fácilmente, esta matriz no es antisimétrica como debería ser un tensor de campo electromagnético, por definición, ¿significa esto que no puedo usar la multiplicación de matrices en tensores o significa que cometí un error en algún lugar del cálculos de los productos de la matriz?

InformalCiencia

Este es un ejemplo de una transformación de similitud .

Frobenius

@Bobak Hashemi: Esta NO es una transformación de similitud :

F^{'} = Λ^{- 1} F Λ

$F'=\Lambda^{-1}F\Lambda$ . Aquí tenemos

F^{'} = Λ F Λ

$F'=\Lambda F \Lambda$ y

Λ^{- 1} \neq Λ

$\Lambda^{-1}\ne \Lambda$ .

InformalCiencia

si usaron

F_{μ}^{ν}

$F_\mu^\nu$ , entonces tendría la forma deseada (ya que F entonces actúa como una matriz al tomar un vector y un covector a un número). En cualquier caso, esta es claramente la misma idea que la transformación de similitud, estás rotando las coordenadas para cada índice. F se expresa en un sistema de coordenadas, y puede encontrar cómo se ve en otro sistema de coordenadas intercalándolo entre las transformaciones de coordenadas para vectores,

Λ

$\Lambda$ y covectores,

Λ^{- 1}

$\Lambda^{-1}$ .

Frobenius

@Bobak Hashemi: Sí, precisamente. Pero el OP usando

F^{μ ν}

$F^{\mu\nu}$ ya está confundido, por lo que no es un buen momento para referirse a las transformaciones de similitud sin su comentario de explicación anterior.

Respuestas (3)

¿Puedo transformar tensores electromagnéticos por multiplicación de matrices?

@Bobak Hashemi: Esta NO es una transformación de similitud : $F'=\Lambda^{-1}F\Lambda$ . Aquí tenemos $F'=\Lambda F \Lambda$ y $\Lambda^{-1}\ne \Lambda$ .
si usaron $F_\mu^\nu$ , entonces tendría la forma deseada (ya que F entonces actúa como una matriz al tomar un vector y un covector a un número). En cualquier caso, esta es claramente la misma idea que la transformación de similitud, estás rotando las coordenadas para cada índice. F se expresa en un sistema de coordenadas, y puede encontrar cómo se ve en otro sistema de coordenadas intercalándolo entre las transformaciones de coordenadas para vectores, $\Lambda$ y covectores, $\Lambda^{-1}$ .
@Bobak Hashemi: Sí, precisamente. Pero el OP usando $F^{\mu\nu}$ ya está confundido, por lo que no es un buen momento para referirse a las transformaciones de similitud sin su comentario de explicación anterior.

Frobenius · Answer 1

\begin{aligned} F^{α β} & = [\begin{matrix} γ & - γ β & 0 & 0 \\ - γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & - {mi}_{X} & - {mi}_{y} & - {mi}_{z} \\ {mi}_{X} & 0 & - C B_{z} & C B_{y} \\ {mi}_{y} & C B_{z} & 0 & - C B_{X} \\ {mi}_{z} & - C B_{y} & C B_{X} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} γ & - γ β & 0 & 0 \\ - γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} - γ β {mi}_{X} & - γ {mi}_{X} & - γ ({mi}_{y} - β C B_{z}) & - γ ({mi}_{z} + β C B_{y}) \\ γ {mi}_{X} & γ β {mi}_{X} & γ (β {mi}_{y} - C B_{z}) & γ (β {mi}_{z} + C B_{y}) \\ {mi}_{y} & C B_{z} & 0 & - C B_{X} \\ {mi}_{z} & - C B_{y} & C B_{X} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} γ & - γ β & 0 & 0 \\ - γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 0 & - {mi}_{X} & - γ ({mi}_{y} - β C B_{z}) & - γ ({mi}_{z} + β C B_{y}) \\ {mi}_{X} & 0 & γ (β {mi}_{y} - C B_{z}) & γ (β {mi}_{z} + C B_{y}) \\ γ ({mi}_{y} - β C B_{z}) & - γ (β {mi}_{y} - C B_{z}) & 0 & - C B_{X} \\ γ ({mi}_{z} + β C B_{y}) & - γ (β {mi}_{z} + C B_{y}) & C B_{X} & 0 \end{matrix}] \\ (01) & = [\begin{matrix} 0 & - {mi}_{X}^{'} & - {mi}_{y}^{'} & - {mi}_{z}^{'} \\ {mi}_{X}^{'} & 0 & - C B_{z}^{'} & C B_{y}^{'} \\ {mi}_{y}^{'} & C B_{z}^{'} & 0 & - C B_{X}^{'} \\ {mi}_{z}^{'} & - C B_{y}^{'} & C B_{X}^{'} & 0 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align} F^{\alpha\beta} & = \begin{bmatrix} \hphantom{-}\gamma & -\gamma\beta & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-}0\hphantom{-} \vphantom{\dfrac12}\\ -\gamma\beta & \hphantom{-}\gamma & \hphantom{-}0 & \hphantom{-} 0 \hphantom{-} \vphantom{\dfrac12}\\ \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-} 0 \hphantom{-} \vphantom{\dfrac12}\\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 1 \hphantom{-} \vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \vphantom{\dfrac12}\\ E_x & \hphantom{-} 0 & -cB_z & \hphantom{-} cB_y \vphantom{\dfrac12} \\ E_y & \hphantom{-} cB_z & \hphantom{-} 0 & -cB_x \vphantom{\dfrac12} \\ E_z & -cB_y & \hphantom{-} cB_x & \hphantom{-} 0 \vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hphantom{-}\gamma & -\gamma\beta & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-}0\hphantom{-} \vphantom{\dfrac12}\\ -\gamma\beta & \hphantom{-}\gamma & \hphantom{-}0 & \hphantom{-} 0 \hphantom{-} \vphantom{\dfrac12}\\ \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-} 0 \hphantom{-} \vphantom{\dfrac12}\\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 1 \hphantom{-} \vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \nonumber\\ & = \begin{bmatrix} \!\!-\gamma\beta E_x &\!\! -\gamma E_x & -\gamma(E_y-\beta cB_z) & -\gamma(E_z+\beta cB_y)\vphantom{\dfrac12} \hphantom{-} \\ \hphantom{-}\gamma E_x & \!\gamma\beta E_x & \hphantom{-}\gamma(\beta E_y- cB_z) & \hphantom{-}\gamma(\beta E_z+cB_y)\vphantom{\dfrac12}\hphantom{-}\\ \hphantom{\gamma\beta} E_y & \hphantom{-} cB_z &0 & -cB_x\vphantom{\dfrac12}\hphantom{-}\\ \hphantom{\gamma\beta} E_z & -cB_y & cB_x & \hphantom{-}0\vphantom{\dfrac12}\hphantom{-} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hphantom{-}\gamma & -\gamma\beta & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-}0\hphantom{-} \vphantom{\dfrac12}\\ -\gamma\beta & \hphantom{-}\gamma & \hphantom{-}0 & \hphantom{-} 0 \hphantom{-} \vphantom{\dfrac12}\\ \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-} 0 \hphantom{-} \vphantom{\dfrac12}\\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 1 \hphantom{-} \vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \nonumber\\ & =\begin{bmatrix} \hphantom{-}0 & -E_x & -\gamma(E_y-\beta cB_z) &-\gamma(E_z+\beta cB_y)\hphantom{-}\vphantom{\dfrac12} \\ \hphantom{-} E_x & 0 & \hphantom{-}\gamma(\beta E_y- cB_z) & \hphantom{-}\gamma(\beta E_z+cB_y)\hphantom{-}\vphantom{\dfrac12}\\ \hphantom{-}\gamma(E_y-\beta cB_z) & -\gamma(\beta E_y- cB_z) &\hphantom{-} 0 & -cB_x\hphantom{-}\vphantom{\dfrac12}\\ \hphantom{-}\gamma(E_z+\beta cB_y) & -\gamma(\beta E_z+cB_y) & \hphantom{-} cB_x & \hphantom{-}0\hphantom{-}\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \nonumber\\ & =\begin{bmatrix} \hphantom{-}0 & -E'_x & -E'_y & -E'_z \hphantom{-}\vphantom{\dfrac12}\\ \hphantom{-}E'_x & \hphantom{-} 0 & -cB'_z & \hphantom{-} cB'_y \hphantom{-}\vphantom{\dfrac12} \\ \hphantom{-}E'_y & \hphantom{-} cB'_z & \hphantom{-} 0 & -cB'_x \hphantom{-}\vphantom{\dfrac12} \\ \hphantom{-}E'_z & -cB'_y & \hphantom{-} cB'_x & \hphantom{-} 0 \hphantom{-}\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \tag{01} \end{align}$ Desde

β = υ / c

$\:\beta=\upsilon/c$

\begin{aligned} (02.x) & {mi}_{X}^{'} & = {mi}_{X} \\ (02.y) & {mi}_{y}^{'} & = γ ({mi}_{y} - υ B_{z}) \\ (02.z) & {mi}_{z}^{'} & = γ ({mi}_{z} + υ B_{y}) \\ (03.x) & B_{X}^{'} & = B_{X} \\ (03.y) & B_{y}^{'} & = γ (B_{y} + \frac{υ}{C^{2}} {mi}_{z}) \\ (03.z) & B_{z}^{'} & = γ (B_{z} - \frac{υ}{C^{2}} {mi}_{y}) \end{aligned}

$\begin{align} E'_x & = \hphantom{-}E_x \tag{02.x}\vphantom{\dfrac12}\\ E'_y & = \gamma(E_y-\upsilon B_z) \tag{02.y}\vphantom{\dfrac12}\\ E'_z & = \gamma(E_z+\upsilon B_y) \tag{02.z}\vphantom{\dfrac12}\\ B'_x & = \hphantom{-}B_x \tag{03.x}\vphantom{\dfrac12}\\ B'_y & = \gamma(B_y+\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_z) \tag{03.y}\\ B'_z & = \gamma(B_z-\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_y) \tag{03.z} \end{align}$

^{P ara su información : _}

^{Las ecuaciones de una transformación de Lorentz más general entre dos sistemas $\:\mathrm S(\mathbf{x},t)\:$ y $\:\mathrm S'(\mathbf{x}',t')\:$ , este último trasladándose con velocidad constante $\:\mathbf{v}\!=\!\upsilon\mathbf{n}\,,\Vert\mathbf{n}\Vert=1\,, \upsilon \in (-c,+c)$ , con respecto a los primeros, son:}

\begin{aligned} (ft-01a) & X^{'} & = X + (γ - 1) (norte \cdot X) norte - γ v t \\ (ft-01b) & t^{'} & = γ (t - \frac{v \cdot X}{C^{2}}) \\ (ft-01c) & γ & = {(1 - \frac{υ^{2}}{C^{2}})}^{- 1 / 2} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{x}'& \!=\!\mathbf{x}\!\boldsymbol{+}\!(\gamma\!\boldsymbol{-}\!1)(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{x})\mathbf{n}\!\boldsymbol{-}\!\gamma\mathbf{v}t \tag{ft-01a}\\ t' & \!=\! \gamma\left(t\!\boldsymbol{-}\!\dfrac{\mathbf{v}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{ft-01b}\\ \gamma & \!=\!\left(1\!\boldsymbol{-}\!\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)^{\boldsymbol{-}1/2} \tag{ft-01c} \end{align}$ ver figura. ⁽¹⁾

^{Bajo (ft-01) los vectores $\:\mathbf{E},\mathbf{B}\:$ del campo electromagnético en el espacio vacío se transforman de la siguiente manera:}

\begin{aligned} (ft-02a) & {mi}^{'} & = γ mi - (γ - 1) (norte \cdot mi) norte + γ (v \times B) \\ (ft-02b) & B^{'} & = γ B - (γ - 1) (norte \cdot B) norte - \frac{γ}{C^{2}} (v \times mi) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{E}'& \!=\!\gamma\mathbf{E}\!\boldsymbol{-}\!(\gamma\!\boldsymbol{-}\!1)(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{E})\mathbf{n}\boldsymbol{+}\:\gamma\left(\mathbf{v}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}\right) \tag{ft-02a}\\ \mathbf{B}'& \!=\!\gamma\mathbf{B}\!\boldsymbol{-}\!(\gamma\!\boldsymbol{-}\!1)(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{B})\mathbf{n}\!\boldsymbol{-}\!\dfrac{\gamma}{c^{2}}\left(\mathbf{v}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}\right) \tag{ft-02b} \end{align}$ Las ecuaciones (02), (03) son un caso especial de (ft-02) para

n = (1, 0, 0)

$\:\mathbf{n}=(1,0,0)$ .

^{^{(1) Vea una versión 3D de esta figura aquí: Figura versión 3D}}

ajmeteli · Answer 2

Revisa la definición de multiplicación de matrices. Una de las dos matrices de la transformada de Lorentz debe estar a la derecha de la matriz del campo electromagnético, pero observe otras sutilezas.

slaaidenn · Answer 3

La multiplicación de matrices es como contraer el índice de columna del primer tensor con el índice de archivo del segundo tensor, pero en este caso debe contraer el índice de columna en ambos tensores.

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