Demostración de la invariancia de Lorentz de las ecuaciones de Maxwell

Question

Demostración de la invariancia de Lorentz de las ecuaciones de Maxwell

usuario37252

He leído en alguna parte que no es necesario probar la invariancia de Lorentz de las ecuaciones de Maxwell $F_{\mu\nu,\sigma}+F_{\nu\sigma,\mu}+F_{\sigma\mu,\nu}=0$ porque es "manifiestamente invariante de Lorentz" o "porque son ecuaciones tensoriales"? ¿Qué significa eso? He leído que esto podría significar que el espacio y el tiempo se tratan "en pie de igualdad". ¿Cómo puede esto reemplazar una prueba matemática?

Jinawee

Deberías aprender qué son los tensores. Para ver por qué la ecuación es invariante de Lorentz, transforma cada componente de

F

$F$ , desde

F

$F$ es un tensor (invariante de Lorentz), la ecuación también es invariante. Supongo que esto podría afirmarse con más rigor, pero no sé si quieres que consideres una prueba matemática. Tal vez algo como Dada una variedad diferenciable M de n dimensiones. Sea F...

Webb

Realmente, si el Lagrangiano es invariante de Lorentz, las ecuaciones de movimiento derivadas también lo serán. Dado que el Lagrangiano EM está dado por

L_{E M} = F^{μ ν} F_{μ ν}

$\mathcal{L}_{EM} = F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}$ , que es un escalar invariante de Lorentz, sabe que las ecuaciones de movimiento resultantes tienen que ser invariantes de Lorentz.

hijo de saturno

Webb, sin embargo, la ecuación del OP no se deriva de ese Lagrangiano. Esa es la identidad de Bianchi y se mantiene tan pronto como dices que tu fuerza de campo

F

$F$ se deriva de un potencial.

L_{E M}

$\mathcal{L}_{EM}$ te da la otra ecuacion

\partial_{μ} F^{μ ν} = 0

$\partial_{\mu}F^{\mu \nu} = 0$ , si no me equivoco.

usuario37252

@jinawee: en realidad trato todo el día con el producto tensorial de los matemáticos, en álgebra conmutativa. ¿Y en qué sentido es invariante un tensor de Lorentz? ¿Quieres decir simplemente porque uno no se refiere a las transformaciones al definirlas?

nerviosxxx

Para agregar una nota rápida: en física, cuando decimos que un objeto es un tensor, en realidad queremos decir que es un tensor con respecto a la acción de algún grupo. Pero por lo general omitimos la última parte y somos descuidados con nuestro idioma. Por ejemplo

F_{μ ν}

$F_{\mu \nu}$ es un tensor (0,2) con respecto al grupo de Lorentz (o Poincaire en general), mientras que algo así como un espinor de Weyl es un vector que se transforma bajo la representación fundamental de SU(2). un vector 3 como el impulso es un vector bajo SO(3), mientras que un vector 4 como el vector 4 del impulso es un vector bajo el grupo de Lorentz.

usuario37252

@nervxxx gracias por eso, es muy útil saberlo. las diferencias culturales a veces son un poco grandes

Respuestas (1)

Demostración de la invariancia de Lorentz de las ecuaciones de Maxwell

Deberías aprender qué son los tensores. Para ver por qué la ecuación es invariante de Lorentz, transforma cada componente de $F$ , desde $F$ es un tensor (invariante de Lorentz), la ecuación también es invariante. Supongo que esto podría afirmarse con más rigor, pero no sé si quieres que consideres una prueba matemática. Tal vez algo como Dada una variedad diferenciable M de n dimensiones. Sea F...
Realmente, si el Lagrangiano es invariante de Lorentz, las ecuaciones de movimiento derivadas también lo serán. Dado que el Lagrangiano EM está dado por $\mathcal{L}_{EM} = F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}$ , que es un escalar invariante de Lorentz, sabe que las ecuaciones de movimiento resultantes tienen que ser invariantes de Lorentz.
Webb, sin embargo, la ecuación del OP no se deriva de ese Lagrangiano. Esa es la identidad de Bianchi y se mantiene tan pronto como dices que tu fuerza de campo $F$ se deriva de un potencial. $\mathcal{L}_{EM}$ te da la otra ecuacion $\partial_{\mu}F^{\mu \nu} = 0$ , si no me equivoco.
@jinawee: en realidad trato todo el día con el producto tensorial de los matemáticos, en álgebra conmutativa. ¿Y en qué sentido es invariante un tensor de Lorentz? ¿Quieres decir simplemente porque uno no se refiere a las transformaciones al definirlas?
Para agregar una nota rápida: en física, cuando decimos que un objeto es un tensor, en realidad queremos decir que es un tensor con respecto a la acción de algún grupo. Pero por lo general omitimos la última parte y somos descuidados con nuestro idioma. Por ejemplo $F_{\mu \nu}$ es un tensor (0,2) con respecto al grupo de Lorentz (o Poincaire en general), mientras que algo así como un espinor de Weyl es un vector que se transforma bajo la representación fundamental de SU(2). un vector 3 como el impulso es un vector bajo SO(3), mientras que un vector 4 como el vector 4 del impulso es un vector bajo el grupo de Lorentz.
@nervxxx gracias por eso, es muy útil saberlo. las diferencias culturales a veces son un poco grandes

hijo de saturno · Answer 1

No estás "reemplazando una prueba matemática". Lo que significan las declaraciones a las que te refieres es que en notación tensorial, la prueba es inmediata, por lo que no es necesario escribir nada. Esto se debe a que si tiene una ecuación de tensor como la anterior, para probar la invariancia de Lorentz, haga una transformación de Lorentz y vaya a otro conjunto de coordenadas. $x^{\mu'}$ . Entonces usando las leyes de transformación usuales obtenemos que ${\partial_{\mu}} = \Lambda^{\mu'}_{\mu}\partial_{\mu'}$ y $F_{\mu\nu} = \Lambda^{\mu'}_{\mu}\Lambda^{\nu'}_{\nu}F_{\mu'\nu'}$ , podemos escribir la ecuación de Maxwell en términos de las nuevas coordenadas para convertirse en

$\Lambda^{\mu'}_{\mu}\Lambda^{\nu'}_{\nu}\Lambda^{\sigma'}_{\sigma}(F_{\mu'\nu',\sigma'}+F_{\nu'\sigma',\mu'}+F_{\sigma'\mu',\nu'})=0.$

Sin embargo, esto solo se puede mantener si lo que está dentro de los paréntesis es cero. A saber, la ecuación de Maxwell en el sistema de coordenadas primadas también se cumple.

Más sucintamente, lo que significa una "ecuación tensorial" es que no había nada especial en el sistema de coordenadas en el que se derivaron las ecuaciones. Podrías haber elegido igualmente otro sistema y derivado las mismas ecuaciones. Por lo tanto, la invariancia bajo el cambio de coordenadas es inmediata.

Ya lo veo. Uno probablemente debería abolir las coordenadas por completo
Sí. También puedes escribir las ecuaciones de Maxwell en términos de formas diferenciales. Esta ecuación es simplemente $dF = 0$ en esa notación.
Simplemente canónico. Me sorprende que las otras versiones más primitivas todavía sobrevivan; después de todo, es la supervivencia del más apto (en inglés británico "fit" también significa atractivo;))
Bueno, en primer lugar, sería difícil enseñar la versión más sofisticada a personas que recién comienzan sus carreras de grado en Física. Ver cómo se comportan físicamente los campos eléctricos y magnéticos también es mucho más claro si los escribe en términos de notación de cálculo vectorial.
También sucede que en la práctica, el cálculo en modelos específicos es difícil o imposible sin coordenadas. Las coordenadas también conducen a mucha intuición física (que es probablemente la razón por la que, por ejemplo, Einstein pensó en términos de coordenadas cuando estaba formulando GR, aparte de que quizás la geometría diferencial moderna no esté disponible, aunque no estoy seguro de la historia) .
Einstein desconocía por completo la mayor parte de la geometría diferencial, así como muchos otros desarrollos contemporáneos. Él, por ejemplo, luchó enormemente con problemas que se habrían resuelto de inmediato si hubiera estado al tanto de las identidades de Bianchi. Todo esto se describe con sorprendente detalle en la excelente biografía Subtle is the Lord del colega físico e historiador de la física Abraham Pais.

Demostración de la invariancia de Lorentz de las ecuaciones de Maxwell

usuario37252

Jinawee

Webb

hijo de saturno

usuario37252

nerviosxxx

usuario37252

Respuestas (1)

hijo de saturno

usuario37252

hijo de saturno

usuario37252

hijo de saturno

joshfísica

danu

Confusión sobre la naturaleza matemática del tensor electromagnético y los campos E, B

Formulación tensorial de las ecuaciones de Maxwell

¿Dónde me he equivocado al derivar la Ley de Inducción de Faraday a partir de su forma manifiestamente covariante?

Demostración de la antisimetría del tensor electromagnético

Invariancia de Lorentz de la ley de fuerza de Lorentz

Derivación de 4-corriente jjj siendo un 4-vector en Landau-Lifschitz: ¿Formulación con tratamiento matemático riguroso?

Prueba de que existe un potencial de 4 a partir de la ecuación de campo de Gauss-Faraday

Derivación simple de las ecuaciones de Maxwell del tensor electromagnético

¿Por qué las ecuaciones de Maxwell contienen una ecuación escalar, vectorial, pseudovectorial y pseudoescalar?

Formulación covariante de la electrodinámica