¿Dónde me he equivocado al derivar la Ley de Inducción de Faraday a partir de su forma manifiestamente covariante?

EDITO: PROBLEMA RESUELTO

Esto es simplemente un error al expandir los componentes del tensor de mi parte, estoy seguro, pero estoy luchando por descubrir el error: ¿dónde está el signo menos?

Al expresar las leyes del electromagnetismo clásico (ecuaciones de Maxwell) en forma manifiestamente covariante, es decir, en una forma que es totalmente consistente con las transformaciones tensoriales, dos de las ecuaciones de Maxwell (ley de magnetismo de Gauss y ley de inducción de Faraday) se pueden expresar por la siguiente ecuación tensorial:

∂ m F ~ m v = 0

dónde ∂ m es el cuatro gradiente ( ∂ ∂ ( C t ) , ∇ → ) y F ~ m v es la forma contravariante del tensor de intensidad de campo dual (tensor electromagnético dual). m , v = 0 , 1 , 2 , 3 . He presentado la matriz completa al final para que esté completa y en todo momento estoy usando una firma (+---).

La Ley de Gauss para el magnetismo se puede realizar fácilmente evaluando

∂ i F ~ i 0 = 0

dónde i = 1 , 2 , 3 .

De manera similar, la Ley de Inducción de Faraday se puede realizar evaluando

∂ m F ~ m i = 0

donde aqui radica el problema. Al expandir esta ecuación tensorial en sus componentes sumados, obtengo lo siguiente (he entrado en detalles para explicar correctamente mi línea de razonamiento (o cuál es, de hecho, mi línea de razonamiento incorrecta)) donde cada una de las cuatro ecuaciones correspondientes a cada valor de i se pueden sumar porque todos son iguales a cero y los últimos tres términos entre paréntesis corresponden a los tres componentes cartesianos del rotacional:

− 1 C ( ∂ B X ∂ t + ∂ B y ∂ t + ∂ B z ∂ t ) + 1 C ( ∂ mi y ∂ z − ∂ mi z ∂ y ) + 1 C ( ∂ mi z ∂ X − ∂ mi X ∂ z ) + 1 C ( ∂ mi X ∂ y − ∂ mi y ∂ X ) = 0

donde los últimos tres términos entre paréntesis son los X , y y z componentes del rizo del mi -campo, ∇ → × mi → .

Ahora, finalmente llegamos a mi problema. ¿Dónde me equivoqué en esta ecuación porque el signo menos en el primer término derivado del tiempo significa que al simplificar esta ecuación se obtiene:

∇ → × mi → = ∂ B → ∂ t
que es la ley de inducción de Faraday sin el importantísimo signo menos que encapsula la ley de Lenz.

Agradecería un buen ojo que pueda señalar mi error en el cálculo.

Como se indicó, a continuación se muestra la forma matricial completa de F ~ m v :

( 0 − B X − B y − B z B X 0 mi z C − mi y C B y − mi z C 0 mi X C B z mi y C − mi X C 0 )

No he comprobado tus signos, pero tienes más problemas que eso, parece que también has resumido i en su ecuación larga, de modo que tenga solo una ecuación en lugar de tres ecuaciones, una para cada valor de i .
@mikestone Buen punto, había pasado por alto que inicialmente, aunque dado que todas son iguales a cero (es decir, cada una de las ecuaciones con un valor i diferente), se pueden sumar muy bien y, de hecho, debe ser para resolver el cálculo vectorial completo forma de la ley de Faraday. ¿Me estoy perdiendo de algo?
Como dijo @mike stone, su ecuación larga es incorrecta. Te faltan los vectores unitarios... ya que es una ecuación vectorial. Cero o no, no agrega componentes a lo largo de diferentes direcciones sin vectores unitarios. Para su problema de signo: verifique los componentes de su tensor. Tal como lo veo ahora, no es antisimétrico. ¿Cuál es la forma del tensor de campo (no dual)? Haz una transformación de dualidad para recuperar la forma no dual. ¿Son correctas las señales allí para Ampere?
@robphy Ah, sí, he corregido el error en la matriz en la parte inferior. Mis cálculos utilizaron la versión correcta que es antisimétrica. Y sí, gracias por señalar el problema del vector unitario. Supongo que los vectores unitarios no están incluidos explícitamente en la forma covariante de las ecuaciones. Por lo tanto, ¿cada paréntesis será el rotacional de B punteado con el vector unitario correspondiente entonces? Cuando los sumas, se convierte en el rizo completo. Todavía estoy perdido en cuanto al problema de los signos para la Ley de Lenz. Gracias por la ayuda.
Si desea precisar sus problemas de signos, debe aclarar sus convenciones de firmas y convenciones de signos (por ejemplo, con los términos fuente incluidos) y mostrar explícitamente cómo se obtiene cada término en su cálculo. Por ejemplo, ¿qué es ( ∂ 0 , ∂ 1 , ∂ 2 , ∂ 3 ) y ( ∂ 0 F 01 , ∂ 1 F 11 , ∂ 2 F 21 , ∂ 3 F 31 ) ?(Desafortunadamente, no hay convenciones universales... por lo que realmente debería especificar sus convenciones. Sin esto, todo lo que puedo sugerir es verificar la coherencia en las transformaciones... como obtener el tensor de campo de su dual).
He estado usando la firma estándar (+---) en todo momento. Editaré la pregunta con detalles adicionales. Consulte en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_tensor , aunque los tensores EM que estoy usando son los mismos que los de esa página.

Respuestas (2)

No cometiste un error en tu cálculo.

Bueno, está bien, entonces cometiste el error obvio de tratar de aplanar todo junto. Pero si eliminamos ese error, derivaste (multiplicando por C ) eso

− ∂ B X ∂ t + ∂ mi y ∂ z − ∂ mi z ∂ y = 0.
Esta es una expresión totalmente correcta .

Tu único error es que te descuidaste al razonar sobre los signos menos. De hecho

∇ × mi = ∇ × [ mi X mi y mi z ] = [ ∂ y mi z − ∂ z mi y ∂ z mi X − ∂ X mi z ∂ X mi y − ∂ y mi X ]
para que cuando veamos ∂ z mi y − ∂ y mi z inmediatamente debemos verlo como − ( ∇ × mi ) X . Por lo tanto, la promoción adecuada de la ecuación anterior es
− B ˙ − ∇ × mi = 0
mientras que tuviste un extraviado + firmar en medio de esos dos términos incorrectamente.

yo suelo GRAMO m v para el tensor dual. Usando la convención ( + , − , − , − )

GRAMO m v = ( 0 − B X − B y − B z B X 0 mi z / C − mi y / C B y − mi z / C 0 mi X / C B z mi y / C − mi X / C 0 )

Parece que tiene varios errores en su derivación. En primer lugar, en la ecuación ∂ m GRAMO m v = 0 , solo sumamos sobre índices repetidos, una covariante y una contravariante. De este modo, v determina cuatro ecuaciones, no cuatro partes de una ecuación. En segundo lugar, no debe tener ningún vector unitario; esta ecuación está completamente basada en componentes. A continuación, cuando encuentre el componente GRAMO m ′ v ′ , primero vas a la m ′ th fila (comenzando en cero), y luego el v ′ columna. Entonces, GRAMO 01 = B X , no − B X . Finalmente, has confundido el rizo por un signo negativo: el X componente del vector ∇ × mi es ∂ y mi z − ∂ z mi y , no ∂ z mi y − ∂ y mi z , ya que tienes. La corrección de estas tres cosas da la respuesta correcta. Así, por ejemplo, el v = 1 la ecuación daría

0 = 1 C ( ∂ B X ∂ t + ∂ mi z ∂ y − ∂ mi y ∂ z ) = ∂ B X ∂ t + ( ∇ × mi ) X
v = 2 , 3 sigue exactamente de la misma manera. Podemos combinar estas tres ecuaciones en una ecuación vectorial:

Gracias por tu comentario. Lamentablemente, no creo que su GRAMO m v es el tensor EM dual contravariante correcto. en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_tensor ¿Wikipedia y mis notas lo tienen como lo he escrito? Ahora entiendo que el tuyo muestra el signo menos, pero aparentemente solo hace que la pregunta vuelva a ser ¿cómo pueden las notas de clase y la wikipedia equivocarse tanto (si es que lo han hecho)? No estoy seguro de lo que ha escrito para su matriz (hay un extra mi y por cierto).
@JamieSmith Ah, sé lo que salió mal. Yo uso el ( − , + , + , + ) convención para la métrica de Minkowski, mientras que Wikipedia y sus notas usan ( + , − , − , − ) .
He editado mi respuesta para ayudarte mejor. ¡Perdón por la confusion!
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