Visualización de la gravedad en 3D

El tipo de diagrama al que creo que te refieres se llama "diagrama incrustado", y no es solo esquemático o conceptual, existen reglas matemáticas bien definidas para crear dichos diagramas. Aquí hay un ejemplo de esta página :

Para comprender la idea, debe comprender los conceptos principales de cómo la relatividad general trata con la gravedad: la materia/energía hace que el espacio-tiempo se vuelva curvo, y las partículas en caída libre (sin fuerzas no gravitatorias que actúen sobre ellas) siguen trayectorias geodésicas en forma curva . espacio-tiempo, que para partículas más lentas que la luz significa caminos que maximizan el tiempo adecuado en relación con otros caminos cercanos. Si no se ha encontrado con estas ideas antes, le recomiendo leer una buena introducción no matemática a los conceptos de la relatividad general escrita para un público lego, como la Relatividad general de A a B.

Otra idea con la que debe familiarizarse es la relatividad de la simultaneidad : dado un espacio-tiempo 4D particular, hay varias formas diferentes de "foliarlo" en una pila de hipersuperficies 3D "similares al espacio" ('hipersuperficie' ya que normalmente usamos ' superficie' para referirse a algo con solo dos dimensiones), cada una de las cuales representa la curvatura del espacio en un momento particular en el tiempo de acuerdo con alguna definición de qué eventos sucedieron en el mismo "momento" (es decir, una definición particular de simultaneidad). La curvatura del espacio-tiempo 4D, y de las hipersuperficies 3D, se define utilizando la métrica para ese espacio-tiempo, lo que le permite calcular la "longitud" de cualquier camino arbitrario a través de ese espacio-tiempo, ya sea el tiempo propio a lo largo de "tiempo similar"artículo de espacio-tiempo para una discusión sobre el significado de estos términos, junto con esta respuesta mía donde discuto el significado físico de la distancia adecuada en caminos similares al espacio). En una hipersuperficie 3D similar al espacio particular, todos los caminos a través del espacio-tiempo que están confinados completamente a esa superficie deben ser caminos similares al espacio, y la métrica se puede usar para encontrar la distancia adecuada a lo largo de cualquier camino.

Una vez que comprenda estos antecedentes, podrá comprender el concepto de lo que se denomina "diagrama de incrustación isométrica". Básicamente, al igual que una hipersuperficie similar al espacio 3D representa un "rebanado" a través del espacio-tiempo más grande, puede tomar un "rebanado" 2D a través de la hipersuperficie curva 3D, y para cualquier ruta confinada a esta superficie 2D, la métrica se puede usar para calcular la distancia adecuada a lo largo de él también. Luego, la idea es encontrar para crear un "diagrama incrustado" de una superficie 2D curva en el espacio euclidiano 3D ordinario, de modo que todas las rutas en el diagrama se puedan mapear en rutas en el corte 2D a través de la hipersuperficie 3D curva, y la longitud de cada ruta en el diagrama es proporcional a la distancia adecuada a lo largo de la ruta correspondiente a través del corte 2D, según se calcula usando la métrica .

Así como un diagrama incrustado representa un corte 2D a través de un espacio 3D curvo (que en sí mismo es un corte de un espacio-tiempo 4D), como analogía, puede ser útil imaginar que se toma un corte 1D a través de una superficie 2D curva, como una lámina de goma con un depresión en él, como se muestra en esta página introductoria sobre diagramas integrados :

La imagen inferior muestra la superficie 2D curvada como aparecería si se ubicara en un espacio 3D superior. La imagen del medio muestra una versión 2D del espacio donde la "depresión" se representa simplemente como una región circular, como un ser bidimensional, un Flatlander ., podría visualizarlo. La línea punteada horizontal en la imagen del medio representa el "corte" 1D, y luego la parte superior muestra ese mismo corte como una curva (una sección transversal de la imagen inferior), una que podría limitarse a un plano 2D para que Flatlander ser capaz de visualizar su forma. Los diagramas de incrustación utilizados en la relatividad general son muy parecidos a este, pero con todas las dimensiones elevadas en uno, en lugar de un corte 1D a través de un espacio 2D que es realmente curvo, estamos hablando de un corte 2D a través de nuestro espacio 3D (lo que pensaría en a como un plano, como el plano ecuatorial de un planeta), cuya curvatura se puede representar de una manera que nos permita a los seres 3D visualizarla.

En el caso de esas depresiones que a menudo se usan para mostrar la curvatura del espacio alrededor de un cuerpo esférico como el que incluí al principio, creo que lo más común es crearlas usando un espacio-tiempo de Schwarzschild que incluye un solo cuerpo esférico que no gira. , y usando coordenadas de Schwarzschilden ese espaciotiempo. Luego, las hipersuperficies 3D se pueden definir como valores fijos de la coordenada de tiempo de Schwarzschild y luego tomar un corte 2D a través de esa superficie eligiendo un valor fijo de una de las coordenadas angulares, mientras se permite que la coordenada radial y la otra coordenada angular varíen. Para la región del espacio en un radio mayor que el de la superficie del cuerpo esférico (o mayor que el horizonte de eventos, en el caso de un agujero negro), el diagrama de incrustación para esta "solución de Schwarzschild exterior" sería un paraboloide de Flamm .

Tenga en cuenta que dado que el espacio-tiempo curvo en este caso es esféricamente simétrico , en realidad no debería importar qué valor fijo elija para la coordenada angular; puede elegir un plano 2D que pase por el centro del cuerpo esférico (r = 0) en cualquierLa orientación y el diagrama incrustado que muestra la curvatura del espacio en ese segmento serían los mismos (en términos de la analogía de menor dimensión representada en el diagrama anterior, podría cambiar el ángulo de la línea punteada que representa el segmento 1D a través del espacio 2D curvo , pero siempre que la línea punteada atraviese el centro de la región esférica, la curva que representa la sección transversal parecería idéntica). Básicamente, así es como respondería a su solicitud de "un paralelo a la representación clásica, excepto con espacio en todas partes en lugar de solo un plano". Es la naturaleza de estos diagramas que solo pueden representar la curvatura en un solo corte 2D (ya que podemos visualizar una superficie 2D curva, pero no podemos visualizar directamente un espacio 3D curvo, solo modelarlo matemáticamente),

Otro punto es que debe resistir la tentación de pensar que estos diagramas están destinados a explicar la atracción de la gravedad en términos de objetos que caen "hacia abajo" en una depresión, como pareció hacer cuando dijo que estos diagramas muestran "la gravedad doblando el espacio hacia abajo". y así atraer objetos a la abolladura que crea". Todo lo que importa a estos diagramas es que representan con precisión las longitudes de los caminos a través de la superficie correspondiente del espacio-tiempo: ¡la orientación del diagrama incrustado es completamente irrelevante! Podrías darles la vuelta con la misma facilidad para que las "depresiones" se convirtieran en "colinas".

El espacio curvo significa que la geometría euclidiana no funciona en ese espacio.

La visualización común del espacio 2D curvo utilizado para el campo de gravedad utiliza un objeto 3D en forma de cuerno. La tercera dimensión no es necesaria para representar el espacio 2D curvo, pero se usa para demostrar la curvatura de una manera obvia; por ejemplo, los triángulos dibujados en el cuerno no son triángulos euclidianos reales, sino que consisten en segmentos curvos.

(La superficie en forma de cuerno es solo una metáfora del espacio-tiempo curvo alrededor de un objeto masivo. No tiene nada que ver con la física de la gravedad).

Por lo tanto, la visualización análoga del espacio 3D curvo parecería necesitar una representación en 4 dimensiones del espacio 3D en el espacio 4D, donde la cuarta dimensión se usaría para mostrar la curvatura; por ejemplo, como se indicó anteriormente, los triángulos dibujados en el espacio 3D no son euclidianos. triángulos en el espacio 4D.

Sin embargo, las personas no tienen acceso a la cuarta dimensión espacial y es posible que ni siquiera exista, por lo que este tipo de visualización es imposible.

Hay otras formas de visualizar la curvatura del espacio 3D. Por ejemplo, construyendo una nube de puntos con color que es función de la curvatura (número único). En el caso de un campo de gravedad central, los puntos tendrían la mayor concentración en el centro y se enrarecerían gradualmente a medida que aumenta la distancia desde el centro.

O alternativamente, puede dibujar superficies de curvatura que es constante en la superficie pero que cambia según la cantidad elegida constante entre las superficies, un conjunto que se asemeja a la estructura de una cebolla.