¿Por qué la velocidad de un objeto afecta su trayectoria si la gravedad es espacio-tiempo deformado?

Estás usando la expresión "espacio-tiempo curvo", pero todavía estás pensando en "espacio curvo" con un tiempo lineal e independiente.

En su modelo de curvatura, asume que moverse a través de algún punto espacial 3D en una dirección 3D espacial experimentará la misma curvatura de ruta 3D independientemente de la velocidad (como si disparara una pelota a través de un tubo curvo). Sin duda estaría de acuerdo en que una dirección 3D inicial diferente dará como resultado un camino diferente.

Ahora estamos en 4D, lo que significa que dos velocidades iniciales diferentes son dos direcciones 4D diferentes, y dado que el tiempo no se puede tratar como un componente independiente, sino que se curva junto con el espacio, esto resulta fácilmente en un camino diferente.

Acerquémonos a esto tomando una analogía simple. Suponga que usted y yo estamos en dos autos en el ecuador y comenzamos a conducir hacia el norte. A pesar de que empezamos a conducir exactamente en paralelo, encontraremos que la distancia entre nosotros disminuye hasta que cuando lleguemos al polo norte chocaríamos. Nuestro movimiento se ve así:

(este diagrama está tomado de mi respuesta a Cuando los objetos caen a lo largo de trayectorias geodésicas de espacio-tiempo curvo, ¿por qué no hay ninguna fuerza que actúe sobre ellos? )

Entonces, la curvatura de la Tierra ha hecho que aceleremos el uno hacia el otro y finalmente choquemos, y esta aceleración depende de nuestra velocidad. Si conducimos muy despacio, nos acercaremos lentamente, mientras que si conducimos rápido, nos acercaremos rápidamente. Entonces, la fuerza aparente que hace que aceleremos el uno hacia el otro depende de nuestra velocidad.

Y esto es más o menos lo que sucede en la relatividad general. La aceleración de un objeto que cae en un espacio-tiempo curvo se describe mediante una ecuación llamada ecuación geodésica, y la velocidad del objeto, o más precisamente, la velocidad de cuatro, aparece en esta ecuación.

En mi analogía simplificada de la esfera, la velocidad afecta nuestra aceleración entre nosotros pero no el resultado final, es decir, terminaríamos chocando en el mismo lugar (el polo norte). Pero esto es un artefacto de la analogía simplificada que usé. Cuando hacemos el cálculo en el espacio-tiempo 4D encontramos que la velocidad también afecta la trayectoria. Diferentes cuatro velocidades producen diferentes cuatro aceleraciones y diferentes trayectorias.

Deshazte del planeta en tu escenario. Solo tenga dos objetos en el mismo lugar y al mismo tiempo en (1 + 1D) espacio-tiempo plano. Construyamos nuestro marco de referencia para que ambos comiencen en el origen$(t,x)=(0,0)$, con uno moviéndose en$1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$en el$+x$dirección y otra que se mueve a$2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$en el$+x$dirección. En el espacio-tiempo, ¿estos objetos se mueven en el mismo camino? Creo que podrías decir que sí, porque ambos están siguiendo el camino espacial.$t = 0$, pero la respuesta es enfáticamente ¡no! El camino de un objeto a través del espacio-tiempo es sólo eso : el camino a través del espacio y el tiempo. Nuestro objeto "lento" sigue el camino$x=t\cdot1\,\mathrm{m}/\mathrm{s},$y nuestro rapido$x=t\cdot2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.$

Lo que está pensando como el "camino" es la "sombra" de los caminos de espacio-tiempo completos en el "hiperplano espacial" (en este caso, en el eje x; en su pregunta, sería un "espacio" tridimensional ). Pero esto es SR/GR: el punto es que mirar solo el espacio no es suficiente. En cualquier caso, ahora que hemos establecido que los objetos con diferentes velocidades ya siguen caminos diferentes a través del espacio-tiempo, incluso si el espacio-tiempo es plano e incluso si comienzan en el mismo punto. Todo lo que realmente necesito decir es que un espacio-tiempo curvo puede permitir que esta diferencia, que parece "temporal" en este momento, se desangre y se convierta en "espacial".

Ahora, no voy a entrar en GR, pero para objetos de baja masa como la Tierra, la mayor parte de la atracción gravitacional proviene de la curvatura del tiempo , no del espacio. Todos los objetos se mueven naturalmente hacia el futuro, y la gravedad de la Tierra significa que la dirección hacia el futuro adquiere un componente radial hacia el interior cerca de su superficie (en comparación con un observador en caída libre "lejos"). Caer hacia la Tierra es tan inevitable como moverse a través del tiempo... lo cual, como se muestra arriba, es bastante "evitable" si vas lo suficientemente rápido. En el caso de que evidentemente no caigamos al suelo, esto se debe a que la repulsión entre nuestros átomos y los de la Tierra nos acelera constantemente en$1 g$hacia arriba, siempre que estemos conectados mecánicamente a la superficie.

Ahora, dije que no iría a GR completo. En su lugar, diré esto: incluso aquí, en la superficie de la Tierra, podemos aproximarnos al espacio-tiempo como plano (por lo que estamos en tierra SR), y las cosas parecen acelerarse bajo la gravedad simplemente porque estamos en una zona no terrestre. marco de inercia que acelera constantemente hacia arriba bajo la fuerza normal del suelo. Como truco de SR, deberíamos usar las coordenadas de Rindler. Las coordenadas de Rindler en SR son las coordenadas de un marco de referencia no inercial que tiene una aceleración propia constante. Vistos desde un marco inercial, los ejes de coordenadas de Rindler son curvos. Visto desde el marco de Rindler, los ejes cartesianos del marco de inercia son curvos. Suponiendo que estamos acelerando en$a=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$a lo largo de$+y$dirección y dejamos que se comparta el origen, la transformación de la inercia$(t, x, y)$coordenadas a Rindler$(T, X, Y)$coordenadas es

(Nota: esto es casi pero no del todo (unas pocas partes en [insertar-gran-potencia-de-10-aquí] fuera) una parábola). En el gráfico anterior, la$X$-/$x$-el eje entra/sale de la pantalla. Si te imaginas tomando nuestro gráfico desde arriba, alineando sus$x$- y$y$-hachas con el$X$- y$Y$-ejes aquí, y luego doblar el$y$- y$t$-ejes para que se alineen con el$Y$- y$T$-ejes, entonces las líneas de mundo de los dos objetos también se doblan para dar la ruta como los vemos desde nuestro marco de referencia adjunto al "suelo". Como los objetos no tenían$y$-componente de su movimiento, sus líneas de tiempo están en realidad "encima" del$t$curva del eje anterior, por lo que el gráfico anterior también sirve para mostrar la relación (casi) cuadrática entre la altura y el tiempo transcurrido para los objetos a medida que caen bajo la gravedad. Nótese que su aparente aceleración y posterior desplazamiento en el$Y$-dirección (que podría considerar la dirección "espacial" "altura") proviene puramente de la flexión del eje del tiempo.

Ahora, si rotamos las gráficas superpuestas para que la$X$- y$Y$-los ejes son visibles pero el$T$-axis desaparece, por fin recuperamos sus caminos espaciales. Mientras que en el marco inercial las trayectorias espaciales de los dos objetos coincidían, la curvatura de las coordenadas de Rindler ha convertido la separación temporal entre ellos (debido a sus diferentes velocidades) en espacial. Mi demostración es puramente matemática: el espacio-tiempo descrito por las coordenadas de Rindler sigue siendo plano, incluso si las coordenadas son curvas, pero espero que pueda ver que en GR, donde el espacio-tiempo realmente se curva, esa curvatura puede "detectar" la diferencia entre los objetos que se mueven. a diferentes velocidades, porque los objetos simplemente van en diferentes direcciones de espacio-tiempo.

Diferentes velocidades iniciales determinan diferentes direcciones iniciales para la geodésica a través del espacio-tiempo. Por ejemplo, piense en un cono de luz en un espacio-tiempo plano simple. La línea de mundo de un objeto con velocidad cero está a lo largo del eje del cono. La línea de mundo de un objeto que se mueve a la velocidad de la luz está a lo largo de la superficie del cono. Otras líneas de mundo para varias velocidades se encuentran en varios ángulos entre estas.

Como han explicado otros, el punto principal es que la curvatura está en 4D, no solo en 3D. De hecho, la principal "deformación" ocurre en la dirección del tiempo.

Solo quiero ayudar a tu imaginación con dos imágenes.

Considere un espacio-tiempo 2D (horizontal) + tiempo (vertical) y un marco de referencia con la Tierra en reposo, como en la primera imagen a continuación. La Tierra es un disco 2D; su tubo-mundo (línea azul delgada) en este espacio-tiempo es un cilindro 3D.

Tome tres proyectiles que comiencen un movimiento tangencial sobre la superficie de la Tierra (líneas rojas gruesas). El primero tiene una velocidad inicial cero con respecto a la Tierra, por lo que su línea de mundo comienza verticalmente. El segundo tiene una velocidad tangencial que no desaparece, por lo que su línea de mundo comienza en algún ángulo con un plano horizontal. El tercero tiene una velocidad tangencial inicial más alta que el tercero, por lo que su línea de mundo comienza en un ángulo más pequeño con un plano horizontal (mismo espacio = tramo horizontal en menos tiempo = tramo vertical).

Si este espacio-tiempo fuera plano, como en la imagen de arriba, las tres líneas del mundo estarían dentro de un plano (verde) paralelo al tubo del mundo de la Tierra. El primer proyectil permanecería inmóvil, sin caer, con una línea de mundo vertical recta. Los otros dos también tendrían líneas de mundo rectas que continúan alejándose del tubo del mundo de la Tierra.

La energía-impulso-estrés de la tierra curva el espacio-tiempo, como se muestra en la segunda imagen a continuación. La línea de mundo del proyectil con velocidad cero inicial se dobla hacia el tubo del mundo de la Tierra, adquiriendo así una velocidad radial y finalmente tocando la superficie de la Tierra. La línea de mundo del segundo proyectil se dobla alrededor del tubo del mundo de la Tierra; esto se ve como un movimiento orbital. La línea del mundo del tercer proyectil también está doblada hacia el tubo del mundo de la Tierra, pero no tanto como el segundo. Eventualmente continúa lejos de la Tierra (y se vuelve "más recto", a medida que disminuye la curvatura); esto se ve como un escape de la gravitación de la Tierra.

Entonces, la curvatura del espacio-tiempo dobla las líneas del mundo con diferentes "inclinaciones" de diferentes maneras. De ahí la dependencia de la velocidad, que es como vemos tal inclinación.

El hecho de que la mayor parte de la curvatura está en la dirección del tiempo queda claro si se toman unidades naturales para la distancia espacial y el lapso de tiempo (1 s = 300 000 km). Las líneas de mundo de los proyectiles ordinarios son casi "verticales", y su flexión solo se produce en grandes distancias "verticales" en este espacio-tiempo de ejemplo.

La luna, por ejemplo, tiene una velocidad de aproximadamente 1 km/s. En unidades naturales sería una línea de mundo con un ángulo de 89,9998° desde el plano horizontal. Y la espiral de su línea de tiempo formaría una bobina solo después de una distancia vertical de aproximadamente$56\,000\,000$veces el diámetro del tubo del mundo de la Tierra que se muestra aquí; necesitaría aproximadamente$56\,000\,000$pantallas una encima de la otra para ver una bobina, si la imagen aquí respeta las unidades naturales.

Una imagen intuitiva aún más simple se obtiene considerando una pelota lanzada verticalmente, con diferentes velocidades iniciales. Los invito a dibujar una imagen de espacio-tiempo 1+1 de las líneas de mundo de la pelota con diferentes velocidades iniciales (se verán como parábolas): verá el efecto de la curvatura y su dependencia de la velocidad, directamente frente a usted. . También mira cómo se verían estas líneas de tiempo parabólicas, usando unidades naturales.

(Tenga en cuenta que las imágenes de arriba solo tienen un propósito ilustrativo, no son diagramas de soluciones de ecuaciones de Einstein 2+1 ni nada por el estilo; ¡perdón por la mala calidad del dibujo!)

Sobre cómo tener en cuenta la velocidad existente:

Comience con la demostración de pensamiento estándar del Principio de Equivalencia: una nave espacial está acelerando en un espacio-tiempo no curvo. La nave espacial está acelerando; está tirando de G. Por el principio de equivalencia: todo movimiento de objetos en la nave espacial puede tratarse como movimiento sujeto a aceleración gravitatoria.

Siguiente paso: se lanza un proyectil desde un lado de la nave espacial, la velocidad inicial del proyectil es perpendicular a la carga G.

Cuando ese proyectil llega al otro lado de la nave espacial, ya no se mueve exactamente perpendicular. En el transcurso de su vuelo, el proyectil ha caído.

La cantidad de caída que espera depende de dos factores:
La magnitud de la carga G
La velocidad del proyectil

En términos de física relativista, cualquier proyectil está negociando espacio-tiempo .

El factor tiempo no puede en ningún caso omitirse del cuadro; si se omite, la imagen misma desaparece.

Volviendo al proyectil en la nave espacial: cuanto más rápido se mueve el proyectil, menos tiempo hay disponible para que la carga G haga que el proyectil caiga.

Ahora, al ejemplo de su pregunta: los satélites se ponen en órbita dándoles suficiente velocidad (en la dirección perpendicular a la gravedad de la Tierra).

Al igual que en la nave espacial: la cantidad de caída por unidad de tiempo es la misma para cualquier objeto. Pero cuando el objeto tiene una gran velocidad perpendicular, la cantidad de caída por unidad de distancia recorrida es comparativamente pequeña.

En términos más generales, no debería pensar en el espacio-tiempo curvo como una especie de conducto. La expresión 'espacio-tiempo curvo' expresa que un objeto que está negociando esa región del espacio-tiempo sufrirá un cambio de velocidad. Este cambio de velocidad se suma a la velocidad existente, si la hay.

Estoy de acuerdo con usted: una presentación adecuada de lo que es el espacio-tiempo curvo debería tener la capacidad de acomodar que una velocidad inicial diferente conducirá a un resultado diferente. Por el contrario: si una presentación no puede acomodar eso, entonces es fatalmente deficiente.

Observaciones adicionales:
incluso para los cuerpos celestes del sistema solar, la falta de rectitud espacial sigue siendo muy pequeña. En el caso del Sol y la órbita de Mercurio: la curvatura del espacio-tiempo en su conjunto da lugar a la órbita de Mercurio, la precesión del perihelio de la órbita de Mercurio se correlaciona con el grado de no rectitud espacial .

Para velocidades no relativistas, la contribución de la no rectitud espacial al efecto total es muy pequeña, ejemplificada por la órbita de Mercurio.

Por otro lado, la luz se mueve tan rápido que hay muy poco tiempo para que la curvatura del espacio-tiempo tenga efecto. Debido a ese muy poco tiempo, el efecto espacial es una proporción mayor del efecto total. (El efecto de la falta de rectitud espacial no depende del tiempo disponible; es un efecto espacial ).

Existe la curvatura de la luz por la curvatura del espacio-tiempo alrededor de una estrella. El experimento de Eddington de 1919 buscó medir la cantidad de desviación de la luz que roza el Sol. La predicción GR para eso es 1,75 segundos de arco. (La mitad de esos 1,75 segundos de arco se atribuye a la falta de rectitud espacial del espacio-tiempo). Esto subraya de nuevo que la falta de rectitud espacial del espacio alrededor del Sol es muy, muy pequeña.

Esta no es una respuesta completa a su pregunta, es más un complemento de las respuestas existentes y una respuesta a algunos de los comentarios que ha realizado.

En un comentario dijiste:

Visualizo el espacio-tiempo deformado como una especie de pista o cuadrícula y, obviamente, si curvas la pista o la cuadrícula, cualquier cosa que viaje 'hacia adelante' a lo largo de la pista/cuadrícula se dobla hasta el grado en que la pista/cuadrícula está doblada.

Eso está perfectamente bien, siempre que tenga en cuenta que mientras viaja por el espacio no puede evitar avanzar en el tiempo a 1 segundo por segundo según un reloj que lleva consigo. El tiempo medido por ese reloj se llama tu tiempo propio, y generalmente usamos la letra griega$\tau$(tau) para representar el tiempo adecuado.

En el espacio-tiempo plano, si te estás moviendo con una velocidad constante relativa a mí (por lo que nos medimos entre nosotros para tener una velocidad constante y movernos en una dirección espacial constante), puedes considerar que estás en reposo, por lo que tus coordenadas espaciales son constantes, pero, por supuesto, su tiempo adecuado sigue avanzando, como de costumbre. Como dije anteriormente en un comentario, dividiremos el espacio-tiempo en espacio y tiempo de manera ligeramente diferente, y habrá un ángulo entre nuestros ejes de tiempo.

Un punto en el espacio-tiempo se llama evento. Digamos que usted viaja de algún evento A a algún otro evento B. Está en reposo en su marco, por lo que en su marco A y B tienen las mismas coordenadas espaciales, pero B tendrá un tiempo adecuado posterior.

En mi marco, la "pista" del espacio-tiempo del evento A al evento B tiene un componente espacial distinto de cero, así como su componente temporal. Entonces, mientras dices que la "distancia" de tiempo entre A y B es$\tau$y la distancia espacial es 0, mido que la distancia espacial entre A y B es$s$y la distancia de tiempo es$t$(según mi tiempo adecuado), y hay una fórmula simple que conecta esos números, la versión de Minkowski de la fórmula de Pitágoras:

Ahora, en la Relatividad General, podemos dividir un trozo de espacio-tiempo curvo en pequeños trozos de espacio-tiempo, donde la curvatura de cada pequeño trozo es insignificante. Si el trozo grande está muy curvado, entonces solo tenemos que hacer esos trozos pequeños muy pequeños. (Este es exactamente el mismo proceso que usamos para hacer un atlas de mapas planos de la superficie curva de la Tierra. En cada página del atlas podemos ignorar la curvatura y usar geometría plana 2D simple, y los errores de ignorar la curvatura son despreciables). Entonces, en cada uno de esos pequeños fragmentos de espacio-tiempo podemos ignorar la curvatura del espacio-tiempo y hacer nuestros cálculos usando las ecuaciones del espacio-tiempo plano de la Relatividad Especial. Las matemáticas de la Relatividad General son esencialmente la maquinaria necesaria para dividir el espacio-tiempo en pequeños trozos utilizando técnicas de cálculo estándar.

Como mencioné en un comentario anterior, no es fácil visualizar el espacio-tiempo 4D, con su fórmula de distancia de Minkowski reemplazando la fórmula estándar de distancia de Pitágoras. Podemos simplificar un poco las cosas eliminando una dimensión espacial. Por ejemplo, si usamos un marco donde el Sol está en reposo, la órbita de la Tierra alrededor del Sol es más o menos plana. Entonces podemos usar ese plano para nuestras dos dimensiones espaciales, y podemos usar la dirección vertical para representar el tiempo (pero teniendo en cuenta que la dirección del tiempo es un poco extraña debido a la$\tau^2 = t^2 - s^2$fórmula de distancia). Para simplificar aún más las cosas, supongamos que la órbita de la Tierra es un círculo perfecto, por lo que orbita alrededor del Sol a una distancia constante de aproximadamente 499 segundos luz con una velocidad constante de$10^{-4}\,c$, eso es$10^{-4}$segundos luz por segundo, o 30 km/s en unidades más convencionales.

Tal círculo tiene una curvatura espacial bastante pequeña en relación con las escalas humanas típicas. Un arco de 55 km de largo de ese círculo se desvía de una línea perfectamente recta en poco más de 1 cm. (Es decir, si dibuja una cuerda de un extremo al otro del arco de 55 km, la distancia entre el arco y la cuerda en sus puntos medios es de alrededor de 1 cm). Sin embargo, esa curvatura espacial es enorme en comparación con la curvatura del espacio-tiempo.

Un camino en el espacio-tiempo se llama línea de mundo. En nuestro marco donde el Sol está en reposo, la línea de tiempo del Sol es una línea vertical. La línea de tiempo de la Tierra es entonces una hélice , con una vuelta de hélice por año. Ahora bien, un año son unos 31 557 000 segundos, por lo que el paso de la hélice (la distancia vertical entre vueltas) es unas 63 240 veces su radio.

En unidades de segundos luz recíprocos, la curvatura del círculo de la órbita es$1 / 499 \approx 0.002$. Por el contrario, la curvatura de la hélice de la órbita es

que es mucho más pequeño. Así que no se necesita mucha curvatura del espacio-tiempo para mantener un planeta en órbita.

En realidad, probablemente debería usar un signo menos en el denominador de ese cálculo de curvatura de hélice, para respetar la métrica de Minkowski. Sin embargo, eso no afecta el resultado numérico en este nivel de precisión, todavía es$\approx 1.978\times 10^{-11}$.

La expresión espacio-tiempo curvo puede dar lugar a este tipo de asociación de ideas. Es mejor pensar que el efecto de la gravedad es imponer algún tipo de coordenadas curvilíneas.

Lo que ocurre en GR es que el típico movimiento acelerado seguido de cuerpos en órbita, pasa a ser no acelerado si:

1. se utilizan las coordenadas curvilíneas de la métrica,

2. el cálculo de la aceleración se corrige por el hecho de que las coordenadas son curvilíneas.

Si bien no puedo imaginar cómo visualizar 4D, es posible explicar cómo las coordenadas curvilíneas son complicadas en un ejemplo 2D.

Un avión elige el camino más corto entre 2 ciudades, a menos que haya alguna otra razón para no hacerlo. Debido a que las longitudes y latitudes son coordenadas curvilíneas, un vuelo entre 2 puntos en casi la misma latitud (por ejemplo, San Francisco a Washington DC) no toma una ruta constante hacia el este. Si ve en un gráfico de revista de moscas, la mosca parece ser una curva, con el avión teniendo algún componente de velocidad hacia el norte en la primera mitad y hacia el sur en la segunda mitad del viaje.

Pero si ves la ruta en un globo terráqueo, es fácil ver que es el camino más corto. La brújula siempre muestra que la dirección de la velocidad está cambiando, pero en realidad no es así. Hay una maquinaria pesada matemática llamada derivada covariante que corrige las entradas de la brújula, lo que da como resultado una velocidad constante.

Es similar para el espacio-tiempo 4D. Nuestras coordenadas muestran un movimiento acelerado. Pero cuando se corrige por la derivada covariante, se convierte en un movimiento con velocidad constante.

De acuerdo con tu razonamiento, si una partícula no se mueve hacia el espacio curvo, se quedaría en el espacio.
Pero si el espacio es curvo, el tiempo (siendo una parte integral del espacio-tiempo, en contraste con la visión newtoniana donde se consideran separados y absolutos) también es curvo. El espacio y el tiempo conectados son la entidad absoluta en la relatividad en lugar del espacio absoluto y el tiempo absoluto separados en la mecánica newtoniana.

Feynman explica muy bien la razón por la que los relojes funcionan a diferentes velocidades en diferentes lugares del espacio-tiempo en su pequeño libro "Seis piezas no tan fáciles" (puedes ver este bonito libro aquí ; la parte del cohete se centra en la página 162), donde analiza lo que sucede con el ritmo de dos relojes colocados en la parte superior e inferior de un cohete (en el espacio exterior) cuando se acelera el cohete (lo que, de acuerdo con el principio de equivalencia de Einstein, significa que también podemos decir que el cohete se encuentra en un campo de gravedad).

Debido a esta conexión íntima entre el espacio y el tiempo, si viaja en un espacio curvo (como supone en su pregunta), ignora el tiempo curvo que lo acompaña.
La razón por la que caí a la Tierra es el componente de tiempo (curvo) del espacio-tiempo curvo.

Hay tres regímenes:

1. Me muevo muy lento a través del espacio-tiempo curvo. En ese caso, el espacio curvo tiene el mayor control sobre mí al hacerme mover libremente.
2. Me muevo con una velocidad que tiene un valor entre cero y la velocidad de la luz. En ese caso, tanto la curvatura del tiempo como la del espacio tienen una influencia comparable en mi trayectoria.
3. No yo, sino fotones que siempre, desde cualquier marco de referencia en el que se observen, viajan a la velocidad de la luz. La curvatura del espacio solo agarra los fotones (como el tiempo se detiene para los fotones, la curvatura del tiempo no los agarra). Son desviados por la Tierra (aunque muy levemente) debido a la parte de curvatura espacial del espacio-tiempo curvo conectado.

Es por eso que la velocidad con la que viaja un objeto da resultados diferentes para la trayectoria en el espacio , como dijiste.

Si está interesado, en este artículo (que puede descargar) se analiza el "famoso" factor 2 en la desviación de la luz por una masa esférica:

El problema de la desviación de la luz en un medio con índice de refracción variable se aplica al movimiento de la luz en un campo gravitacional débil de Schwarzschild. En contraste con la derivación estándar, el presente método es físicamente transparente, proporcionando una razón clara para la desviación del factor de 2 del resultado de la relatividad general del de la teoría newtoniana sin ningún cálculo detallado.

En aras del argumento, supongamos que los dos objetos pequeños tienen exactamente la misma cantidad de energía de tensión y que son relativamente pequeños (poca energía de tensión) en comparación con el planeta, y supongamos que el planeta es la Tierra.

Ahora la respuesta a tu pregunta es:

1. el objeto más lento pasa más tiempo dentro del campo gravitatorio de la Tierra

2. dilatación del tiempo GR

3. la magnitud de los cuatro vectores de velocidad tiene que permanecer constante

4. 1,2,3 hará que el objeto más lento se desvíe más en su trayectoria

Ahora 1,2 son bastante claros, la dilatación del tiempo GR es un efecto causado por el campo gravitatorio de la Tierra, lo que hace que el objeto que se encuentra dentro del campo gravitatorio se ralentice (relativamente) en el tiempo.

Ahora, lo que necesita más explicación es la conexión entre la dilatación del tiempo GR y el vector de cuatro velocidades y esto hace que el objeto más lento se desvíe más en su camino.

La dilatación del tiempo gravitacional es una forma de dilatación del tiempo, una diferencia real del tiempo transcurrido entre dos eventos medido por observadores situados a diferentes distancias de una masa gravitatoria. Cuanto más bajo es el potencial gravitatorio (cuanto más cerca está el reloj de la fuente de gravitación), más lento pasa el tiempo, acelerándose a medida que aumenta el potencial gravitatorio (el reloj se aleja de la fuente de gravitación).

https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_time_dilation

Si acepta que el universo está configurado de tal manera que el vector de cuatro velocidades debe permanecer constante, entonces es muy importante comprender que la dilatación del tiempo GR hace que los cuatro vectores de velocidad del objeto componente temporal a cambiar. A esto nos referimos cuando decimos que el objeto se ralentiza (relativamente) en el tiempo.

en resumen, la magnitud de la velocidad de cuatro para cualquier objeto es siempre una constante fija:

https://en.wikipedia.org/wiki/Cuatro-velocidad

Ahora recuerda, la magnitud del vector de cuatro velocidades tiene que permanecer constante. Si su componente temporal cambia, los componentes espaciales tienen que compensar. Esto es muy importante. Esto significa que el objeto se desviará en su camino hacia el centro de la Tierra.

Cuanto más tiempo (período de tiempo más grande en relación con el objeto más rápido) pasa el objeto lento bajo la influencia del campo gravitatorio de la Tierra, más cambiará el componente temporal de sus cuatro vectores de velocidad (más se ralentizará relativamente en el tiempo). Cuanto más cambie su componente temporal, más tendrá que compensar el componente espacial (más se desviará de su camino hacia el centro de la Tierra).

Tenga en cuenta que esta es una de las razones por las que decimos que el espacio y el tiempo están interconectados.

En una forma muy simplificada, lo que está pensando solo ocurre en un agujero negro, donde el espacio-tiempo en realidad forma un círculo completo alrededor del cuerpo, por lo que incluso la luz simplemente viajará en un círculo completo. De lo contrario, con algo menos que un agujero negro, la curvatura en la que estás pensando es solo parcial.

Probablemente sepa que si deja caer una bala de su mano y si dispara una bala horizontalmente, ambas golpearán el suelo al mismo tiempo. (Digamos 1 segundo). Esto se debe a que ambos se ven afectados por la gravedad (la curvatura del espacio-tiempo) al mismo ritmo. Pero, ¿qué pasa si disparas una bala de muy alta velocidad horizontalmente? Aunque caerá a la misma velocidad que las otras balas, viaja mucho más en 1 segundo, por lo que la curvatura de la tierra se convierte en un factor. Por lo tanto, no tocará el suelo en 1 segundo porque el suelo se ha alejado de él. Lo mismo sucede si te mueves a objetos aún más rápidos, como un avión de combate que viaja a mach 3, tomará aún más tiempo porque la curvatura de la tierra y el suelo se han alejado aún más. Esto se vuelve muy evidente con un haz de luz. La luz se doblará de la misma manera, pero en 1 segundo habrá viajado mucho más allá de la tierra y ya no estará sujeto a la gravedad de la tierra. Pero, si tuvieras un planeta que fuera muy, muy grande y muy, muy plano, entonces, de hecho, la bala arrojada, la bala disparada y el rayo de luz tocarían el suelo exactamente al mismo tiempo.

Exactamente esta pregunta fue abordada en las páginas 32-33 de Gravitation por Misner, Thorne y Wheeler:

¿Cómo pueden curvarse de manera tan diferente las trayectorias de una pelota y de una bala si esa curvatura surge de la geometría del espacio? ... Representadas en el espacio-tiempo (C), las huellas de la bola y la bala parecen tener una curvatura comparable.

En 4 dimensiones una velocidad diferente ya es un camino diferente.

Dado que el espacio-tiempo está deformado, no debería ser notable que la parte del camino en las tres dimensiones espaciales también pueda diferir dependiendo de la pendiente en la cuarta.

Tienes toda la razón cuando dijiste que la razón por la que las cosas caen es porque toman caminos rectos en el espacio-tiempo y es el espacio-tiempo el que se curva... Tengo dos argumentos... el segundo es una conjetura (pero proviene de la relatividad especial, es depende de ti aceptar la respuesta que creas más acertada)-

el primer argumento-

La razón por la que algo tiene que tomar un camino recto es porque se mueve en el tiempo. Por ejemplo, la razón por la que algo cae cuando dejas caer algo es porque tiene que avanzar en el tiempo y el espacio-tiempo está curvado alrededor y dentro de la tierra. Sigue una línea de espacio-tiempo de coordenadas rectas (esa línea, por supuesto, va hacia el infinito en la dirección del tiempo como en el gráfico y=1 donde x es la coordenada de tiempo)... Ahora piense en las dimensiones del espacio-tiempo que tienen los objetos. moviéndose a través... se están moviendo a través del espacio y el tiempo, ambos... a diferencia del último ejemplo donde un objeto simplemente se movió a través del tiempo... por lo que realmente (en absoluto) tiene que seguir un camino recto. Podría desviarse de la línea de coordenadas del espacio-tiempo... Y si se desvía lo suficiente, entonces no queda atrapado por la gravedad...

Aquí está mi segundo argumento (mi favorito)-

En la relatividad especial, un objeto en movimiento dilataría el tiempo, es decir, el tiempo fluiría más lento para él... ahora la tasa de flujo de tiempo para el objeto que se mueve más rápido es menor que la del otro que se mueve más lento... Como dije antes, la razón por la que un objeto cae es porque tiene que seguir un camino recto a través del espacio-tiempo ya que se está moviendo a través del tiempo. Pero aquí el tiempo se ralentiza, por lo que el componente de tiempo no es tan fuerte como el componente de espacio para el objeto que se mueve más rápido. Entonces se mueve lentamente en la línea de coordenadas del tiempo y más rápido en la línea de coordenadas del espacio. En cuanto al otro objeto, sucede lo contrario (¿no fue genial? conectando las principales teorías de einstein...)

Espero que hayas obtenido la respuesta a tu pregunta.