¿Qué significa el momento monopolo/cuadripolar de la Tierra?

Un monopolo (gravitatorio) de un sistema es básicamente la cantidad de masa-energía que tiene el sistema.

Un dipolo es una medida de cómo se distribuye la masa lejos de algún centro.

El momento cuadripolar describe cuán estirada está la distribución de masa a lo largo de un eje. El cuadrupolo sería cero para una esfera, pero distinto de cero para una barra, por ejemplo. También es distinto de cero para la Tierra, porque la Tierra es un esferoide achatado.

La contribución gravitacional de un cuadrupolo cae más rápido que la de un monopolo. (razón por la cual el momento cuadripolar de la Tierra es importante para estudiar satélites y no realmente para estudiar la luna, debido a la$r^{-3}$dependencia de la contribución al potencial)

Los cuadrupolos y otros momentos de orden superior son importantes en GR porque el cambio en su distribución puede producir ondas gravitacionales.

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Ejemplo:

Consideremos dos casos, en ambos casos, los cuerpos grandes son de masa$M$y el pequeño de masa$m$, y el pequeño está en el eje de simetría a una distancia$r$.

Caso 1: Sin momento cuadripolar.

La fuerza aquí es simple:

$$\frac{GMm}{r^2}$$ .

Caso 2: Momento cuadripolar distinto de cero. (las esferas más grandes están separadas por cierta distancia$2R$.)

La fuerza en este caso es:

$$\frac{2GMmr}{(r^2+R^2)^{3/2}}$$

Esto, para grandes$r$, se puede aproximar a (expansión de series de dos términos):

$$F \sim \frac{2GMm}{r^2}-\frac{3GMmR^2}{r^4}$$

El término extraño aquí se debe al momento cuadripolar del sistema. A medida que te alejas ($r>>R$), la fuerza,$F$es más o menos:

$$F \sim \frac{2GMm}{r^2}$$

Esta es la razón por la cual el "efecto del momento cuadripolar" se desvanece con la distancia.

Disculpas por los desagradables diagramas de MS Paint.

Imagina tener una distribución masiva.$\rho(x,y,z)$alrededor del origen O y queremos calcular la energía potencial y la fuerza en un cierto punto P en el eje z. La energía potencial se puede expresar fácilmente mediante la integral:

$$U=-GM\int_{V}\frac{\rho(x,y,z)}{R}dv$$ Sin embargo, esta integral puede ser difícil de calcular y, a menudo, es más fácil expresar el integrando mediante una serie, esto se denomina expansión multipolar y se puede hacer tanto para la fuerza gravitacional como para la fuerza electrostática.

Debido a la ley de los cosenos, expresamos R en función de$\theta$,$r'$yr:$R^2 = r^2 +r'^2 - 2rr'\cos(\theta)$, ahora podemos simplificar esta integral usando esta identidad y una serie de Taylor:

$$\frac{1}{R} = \frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1+\alpha}} = \frac{1}{r}\left(1-\frac{1}{2}\alpha+\frac{3}{8}\alpha^2-...\right)$$ dónde$\alpha=\left(\frac{r'}{r}\right)^2-\frac{2r'}{r}\cos(\theta)$

La energía potencial ahora se convierte en:

$$U=\frac{-GM}{r}\int_{V}\rho dv+\frac{-GM}{r^2}\int_{V}r'\cos(\theta)\rho dv+\frac{-GM}{r^3}\int_{V}r'^2\frac{3\cos^2(\theta)-1}{2}\rho dv +...$$ Como puede ver, en cada término, la potencia de r se vuelve cada vez más pequeña. A menudo reescribimos esta expresión como: $$U=-GM\left(\frac{C_0}{r}+\frac{C_1}{r^2}+\frac{C^2}{r^3}...\right)$$ Dónde$C_0$es el momento monopolar,$C_1$el momento dipolar,$C_2$el momento cuadripolar y así sucesivamente. Estos pueden interpretarse fácilmente por lo que me refiero a @Hritik Narayan.