Gravedad en un planeta en forma de rosquilla/Möbius

Campo gravitacional de un anillo de masa

...la fuerza sobre una unidad de masa en$P$de las dos masas$M$es

$$F=-\frac{2GMx}{(x^2+a^2)^{3/2}}$$

Ahora bien, mientras nos fijemos sólo en el$x$-eje, esta fórmula idéntica funciona para un anillo de masa$2M$en el$y$,$z$¡plano! Es solo una versión tridimensional del argumento anterior, y se puede visualizar girando el diagrama de dos masas de arriba alrededor del$x$-eje, para dar un anillo perpendicular al papel, o imaginando el anillo como formado por muchas cuentas, y tomando las cuentas en pares opuestos entre sí. En pocas palabras : el campo de un anillo de masa total$M$, radio$a$, en un punto$P$en el eje de la distancia del anillo$x$desde el centro del anillo es

$$F=-\frac{GMx}{(x^2+a^2)^{3/2}}$$

Gravedad de un toro

La gente a veces piensa que, quizás por razones de simetría, un objeto en el interior de un anillo de materia sería atraído hacia el centro, pero este no es el caso, al menos no para los objetos en el plano del anillo. Para ver por qué, considere un anillo de masa muy delgado tratado como un círculo de radio$R$en el plano, y una partícula dentro de este anillo a una distancia$r$desde el centro Construya una línea arbitraria que pase a través de esta partícula, golpeando el anillo en dos direcciones opuestas a distancias$L_1$y$L_2$. Si rotamos esta línea alrededor de la partícula a través de un ángulo incremental$\mathrm{d}q$, barrerá secciones del anillo proporcionales a$L_1\cos(a)\mathrm{d}q$y$L_2\cos(a)\mathrm{d}q$, dónde$a$es el ángulo que forma la cuerda con las normales a la circunferencia en los puntos de intersección. La fuerza gravitacional neta ejercida por estas dos secciones opuestas del anillo es proporcional a las masas en estas pequeñas secciones divididas por los cuadrados de las distancias, es decir, la fuerza es proporcional a$\mathrm{d}q \cos(a) (\frac{1}{L_1} - \frac{1}{L_2}$) en la dirección de la$L_1$punto de intersección. Por lo tanto, la fuerza neta está en la dirección del punto más cercano del anillo, directamente lejos del centro.

Campo gravitatorio debido a cuerpos rígidos

Lectura adicional divertida: Ringworld :)

Estoy haciendo esto fuera de mi cabeza, así que espero que sea correcto, pero verifíquelo dos veces.

1. Cuando esté lo suficientemente lejos del objeto, las leyes se reducirán a la clásica solución de masa puntual, F = GMmr^-2.

2. Además, cuando se encuentre en el plano del orificio toroidal, las contribuciones de las direcciones "arriba" y "abajo" se cancelarán. El toro se puede considerar como un disco con un agujero. En este escenario, la gravedad dependerá únicamente de la cantidad de masa en el disco definida por el radio desde el observador hasta el centro del toro. Disminuirá linealmente (creo) desde el valor en el borde externo (que debería ser similar al definido en el punto 1 y el valor cero en el borde interior).

3. Dentro del toro en el plano del agujero, la gravedad debe ser cero.

4. En otros puntos, realmente necesitas integrar.

Sobre el toro:
Caminando hacia el lado interior del toro, uno se vuelve más liviano, porque tiene una atracción gravitatoria debajo de los pies (que es más fuerte porque está más cerca) y una atracción gravitatoria sobre la cabeza que lo hace más liviano. El lado exterior del toro es el lado donde las personas pesan más.

En la cinta de Möbius:
La atracción gravitacional varía como en el caso del toro, uno se vuelve más liviano y luego más pesado nuevamente mientras realiza un viaje alrededor del mundo. Caminar de un lado al "otro" lado [entre paréntesis porque es el mismo lado] a través del espesor de la tira - suponiendo que sea accesible, de lo contrario hay que volar al "otro" lado - la situación se invierte.

Como señala Sklivvz :
En el centro del toroide o cinta de Möbius se cancela toda la gravedad.
A una gran distancia, la forma del objeto puede despreciarse, puede tratarse como una masa puntual.