¿Cómo puedo obtener los ejes de la elipse de polarización del vector Jones de la luz?

Question

¿Cómo puedo obtener los ejes de la elipse de polarización del vector Jones de la luz?

Física
Óptica
Polarización
Electromagnetismo
Radiación-electromagnética

Emilio Pisanty

Estoy analizando el estado de polarización de una fuente de luz coherente monocromática, para lo cual conozco el vector Jones de la polarización,

mi = (\begin{matrix} {mi}_{X} \\ {mi}_{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} El | {mi}_{X} El | {mi}^{yo φ_{X}} \\ El | {mi}_{y} El | {mi}^{yo φ_{y}} \end{matrix}),

y me gustaría expandirlo en términos de un eje de elipticidad mayor y menor, es decir, en la forma

mi = {mi}^{yo φ} (UNA \hat{tu} + yo si \hat{v}) = {mi}^{yo φ} (UNA (\begin{matrix} \cos (θ) \\ pecado (θ) \end{matrix}) + yo si (\begin{matrix} - pecado (θ) \\ \cos (θ) \end{matrix})),

o como se muestra gráficamente de la siguiente manera:

^{Fuente de imagen}

Wikipedia proporciona un procedimiento de varios pasos que pasa por los parámetros de Stokes , pero creo que seguramente hay una forma más limpia y directa de obtener $A$ $A$ $UNA$ , $B$ $B$ $si$ , $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{tu}$ , $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ , $θ$ $θ$ $θ$ y los componentes $A \hat{u}$ $A \hat{u}$ $A \hat{u}$ $A \hat{u}$ $UNA \hat{tu}$ y $B \hat{v}$ $B \hat{v}$ $B \hat{v}$ $B \hat{v}$ $si \hat{v}$ , desde $E_{x}$ $E_{x}$ $E_{x}$ $E_{x}$ ${mi}_{X}$ y $E_{y}$ $E_{y}$ $E_{y}$ $E_{y}$ ${mi}_{y}$ , y no es particularmente obvio por los resultados de búsqueda que puedo encontrar. ¿Cuál es la forma más limpia de hacer esto?

Para ser claros: lo que creo que falta de los recursos existentes, y lo que la pregunta pregunta directamente, es un conjunto explícito de conexiones, lo más simple posible, para los parámetros nombrados (todos $A$ $A$ $UNA$ , $B$ $B$ $si$ , $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{tu}$ , $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ , $θ$ $θ$ $θ$ y los componentes $A \hat{u}$ $A \hat{u}$ $A \hat{u}$ $A \hat{u}$ $UNA \hat{tu}$ y $B \hat{v}$ $B \hat{v}$ $B \hat{v}$ $B \hat{v}$ $si \hat{v}$ ), en términos de los componentes cartesianos $E_{x}$ $E_{x}$ $E_{x}$ $E_{x}$ ${mi}_{X}$ y $E_{y}$ $E_{y}$ $E_{y}$ $E_{y}$ ${mi}_{y}$ . Los esquemas que simplemente envían a otro conjunto de manipulaciones complejas ya están disponibles en Wikipedia y no son lo que la pregunta está pidiendo.

CR Drost

Para ser claros, este gráfico que estás deslizando desde Wikipedia parece ser algo así como los puntos

(pag (ψ), q (ψ)) = (El | {mi}_{X} El | \cos (ψ + ϕ_{X}), El | {mi}_{y} El | \cos (ψ + ϕ_{y}) .

Lo que impide al estudiante emprendedor, por ejemplo, minimizar / maximizar

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

{pag}^{2} + q^{2}

encontrar algo como (método de extracción rectal)

bronceado (2 ψ_{C}) = - (El | {mi}_{X} {El |}^{2} pecado (2 ϕ_{X}) + El | {mi}_{y} {El |}^{2} pecado (2 ϕ_{y})) / / (El | {mi}_{X} {El |}^{2} \cos (2 ϕ_{X}) + El | {mi}_{y} {El |}^{2} \cos (2 ϕ_{y}))

y luego darle un montón de respuestas en términos de

ψ_{c}

ψ_{c}

ψ_{c}

ψ_{c}

ψ_{C}

? ¿Solo que no es lo suficientemente elegante como para tener este arcángel desordenado en el medio?

Misha

Para expresar el campo en el sistema de coordenadas de la elipse, debe encontrar los eigenaxes de esta elipse a partir del vector de polarización de Jones. La única forma de hacer esto que sé es la diagonalización de

2 \times 2

2 \times 2

2 \times 2

matriz. La matriz que se diagonaliza en el proceso es la matriz de densidad de la luz. La descomposición de esta matriz en las matrices de Pauli le proporciona los parámetros de Stokes. Entonces, esta no es la pregunta sobre física, sino la pregunta sobre cómo simplificar el cálculo, ¿no?

Jack

Tal vez podrías leer el capítulo seis [en este libro] [1]. [1]: optics.byu.edu/BYUOpticsBook_2015.pdf

Respuestas (3)

¿Cómo puedo obtener los ejes de la elipse de polarización del vector Jones de la luz?

Para ser claros, este gráfico que estás deslizando desde Wikipedia parece ser algo así como los puntos $(pag (ψ), q (ψ)) = (El | {mi}_{X} El | \cos (ψ + ϕ_{X}), El | {mi}_{y} El | \cos (ψ + ϕ_{y}) .$ Lo que impide al estudiante emprendedor, por ejemplo, minimizar / maximizar $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ ${pag}^{2} + q^{2}$ encontrar algo como (método de extracción rectal) $bronceado (2 ψ_{C}) = - (El | {mi}_{X} {El |}^{2} pecado (2 ϕ_{X}) + El | {mi}_{y} {El |}^{2} pecado (2 ϕ_{y})) / / (El | {mi}_{X} {El |}^{2} \cos (2 ϕ_{X}) + El | {mi}_{y} {El |}^{2} \cos (2 ϕ_{y}))$ y luego darle un montón de respuestas en términos de $ψ_{c}$ $ψ_{c}$ $ψ_{c}$ $ψ_{c}$ $ψ_{C}$ ? ¿Solo que no es lo suficientemente elegante como para tener este arcángel desordenado en el medio?
Para expresar el campo en el sistema de coordenadas de la elipse, debe encontrar los eigenaxes de esta elipse a partir del vector de polarización de Jones. La única forma de hacer esto que sé es la diagonalización de $2 \times 2$ $2 \times 2$ $2 \times 2$ matriz. La matriz que se diagonaliza en el proceso es la matriz de densidad de la luz. La descomposición de esta matriz en las matrices de Pauli le proporciona los parámetros de Stokes. Entonces, esta no es la pregunta sobre física, sino la pregunta sobre cómo simplificar el cálculo, ¿no?
Tal vez podrías leer el capítulo seis [en este libro] [1]. [1]: optics.byu.edu/BYUOpticsBook_2015.pdf

Wolpertinger · Answer 1

Déjame intentarlo por segunda vez. Yo uso https://math.stackexchange.com/questions/1204131/converting-a-rotated-ellipse-in-parametric-form-to-cartesian-form como un recurso.

Manipulaciones Previas

El campo eléctrico físico es

{mi}_{pag h y s} = R mi [mi {mi}^{yo ω t}] = R mi [(\begin{matrix} El | {mi}_{X} El | {mi}^{yo φ_{X}} \\ El | {mi}_{y} El | {mi}^{yo φ_{y}} \end{matrix}) {mi}^{yo ω t}] = (\begin{matrix} El | {mi}_{X} El | \cos (ω t + φ_{X}) \\ El | {mi}_{y} El | \cos (ω t + φ_{y}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} El | {mi}_{X} El | [\cos (ω t) \cos (φ_{X}) - pecado (ω t) pecado (φ_{X})] \\ El | {mi}_{y} El | [\cos (ω t) \cos (φ_{y}) - pecado (ω t) pecado (φ_{y})] \end{matrix})

Esta es una ecuación paramétrica para una elipse, que es trazada por el campo eléctrico.

Ángulo de ejes principales

Dejar

una = El | {mi}_{X} El | \cos (φ_{X})

si = El | {mi}_{X} El | pecado (φ_{X})

C = El | {mi}_{y} El | \cos (φ_{y})

re = El | {mi}_{y} El | pecado (φ_{y})

Luego, en comparación con la pregunta matemática vinculada. La respuesta aceptada establece que los ejes mayor y menor apuntan a la elipse (que se centra en el origen) cumplen

ω t = \frac{1}{2} \arctan \frac{2 (una si + C re)}{({una}^{2} + C^{2}) - ({si}^{2} + {re}^{2})} + \frac{k π}{2} (0 0 \leq k \leq 3) .

Expansión requerida por el OP

De hecho, esta cantidad es el ángulo $θ$ $θ$ $θ$ en la expansión que aparece en la pregunta de los PO. Sin embargo, dependiendo de qué valor para $k$ $k$ $k$ es elegido en puede ser $π / 2 - θ$ $π / 2 - θ$ $π / 2 - θ$ $π / 2 - θ$ $π / / 2 - θ$ , es necesaria una distinción de caso según el sector del arctan.

Por supuesto, esto también produce $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{tu}$ y $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ , por lo que la expansión ahora puede obtenerse fácilmente proyectando el vector Jones sobre esta base.

Las fórmulas pueden estar a lo largo, pero constituyen una solución cercana al problema hasta la distinción de caso de elegir $k$ $k$ $k$ . No veo cómo puede existir una solución más simple, ya que la fórmula dada para el ángulo dado no parece algebraicamente reducible.

Disculpas por no otorgar la recompensa, pero esto fue bastante inferior a lo que estaba buscando. Ahora he encontrado las expresiones limpias que buscaba y las agregué como respuesta.
@EmilioPisanty no te preocupes, ahora veo lo que quieres decir (ver comentario debajo de tu respuesta).

Emilio Pisanty · Answer 2

Michael Berry ofrece la forma más limpia de hacerlo en el periódico

Fórmulas de índice para líneas singulares de polarización. MV Berry, J. Opt. A: aplicación pura. Optar. 6 , 675–678 (2004) , autor eprint .

En la notación de Berry, el campo eléctrico se puede escribir como

mi = PAG + yo Q = {mi}^{yo γ} (UNA + yo si),

dónde

P

P

PAG

,

Q

Q

Q

,

A

A

UNA

y

B

B

si

son vectores de valor real,

A

A

UNA

y

B

B

si

son respectivamente los ejes mayor y menor de la elipse de polarización, y esos dos se definen hasta un signo por

A \cdot B = 0

A \cdot B = 0

UNA \cdot si = 0 0

y

| A | \geq | B |

| A | \geq | B |

| A | \geq | B |

| A | \geq | B |

| A | \geq | B |

El | UNA El | \geq El | si El |

. Con esta notación, los ejes de polarización y la fase se definen como

γ = \frac{1}{2} \arg (mi \cdot mi) y UNA + yo si = \frac{\sqrt{{mi}^{*} \cdot {mi}^{*}}}{El | \sqrt{{mi}^{*} \cdot {mi}^{*}} El |} mi,

o en otras palabras

UNA = \frac{1}{El | \sqrt{{mi}^{*} \cdot {mi}^{*}} El |} R mi [\sqrt{{mi}^{*} \cdot {mi}^{*}} mi] y si = \frac{1}{El | \sqrt{{mi}^{*} \cdot {mi}^{*}} El |} yo metro [\sqrt{{mi}^{*} \cdot {mi}^{*}} mi] .

Hay un signo evidente de ambigüedad, en eso voltear ambos

A

A

UNA

y

B

B

si

y agregando

π

π

π

a

γ

γ

γ

no cambiará nada (es decir, rotar la elipse de polarización 180 ° es equivalente a agregar una fase), lo que se refleja en los cortes de ramificación tanto del argumento como de las funciones de raíz cuadrada. Estos se combinan naturalmente siempre que ambos cortes de rama se realicen en el mismo corte, idealmente a lo largo del eje real negativo.

Como otro punto difícil, uno debe tener en cuenta que estas fórmulas no están definidas cuando $E \cdot E = 0$ $E \cdot E = 0$ $mi \cdot mi = 0 0$ , que corresponde a la polarización circular; en este caso, tanto los ejes de polarización como la fase $γ$ $γ$ $γ$ en el eje mayor, están mal definidos, por lo que esto no es un problema.

Como una ventaja adicional, este enfoque también da naturalmente la dirección de lo normal al plano de la elipse de polarización, en la forma

C = \frac{1}{2} yo metro ({mi}^{*} \times mi) = PAG \times Q = UNA \times si,

donde el producto cruzado

E^{*} \times E

E^{*} \times E

E^{*} \times E

E^{*} \times E

E^{*} \times E

E^{*} \times E

{mi}^{*} \times mi

es naturalmente imaginario, ya que su conjugado es menos en sí mismo. Por supuesto, esto desaparecerá si

E

E

mi

y

E^{*}

E^{*}

E^{*}

E^{*}

{mi}^{*}

(o

P

P

PAG

y

Q

Q

Q

) son linealmente dependientes, lo que corresponde a la polarización lineal; en este caso,

B

B

si

desaparecerá, porque

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{{mi}^{*} \cdot {mi}^{*}} mi

es naturalmente real

Créditos de bayas

Singularidades de polarización en campos vectoriales paraxiales: morfología y estadística. Sr. Dennis, Opt. Commun. 213 , 201–21 (2002) , eprint .

para este formulario, y esa referencia contiene una prueba más completa de cómo y por qué funciona la descomposición.

Esto es, de hecho, bastante simple, una vez que te das cuenta de que la descomposición como $E = e^{i γ} (A + i B)$ $E = e^{i γ} (A + i B)$ $E = e^{i γ} (A + i B)$ $E = e^{i γ} (A + i B)$ $E = e^{i γ} (A + i B)$ $E = e^{i γ} (A + i B)$ $mi = {mi}^{yo γ} (UNA + yo si)$ , como arriba, debe existir, porque bajo esas condiciones el producto punto se reduce a

mi \cdot mi = {mi}^{2 yo γ} (UNA + yo si) \cdot (UNA + yo si) = {mi}^{2 yo γ} ({UNA}^{2} - {si}^{2}),

dónde

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

{UNA}^{2} - {si}^{2}

es real y positivo, por lo que tomar el argumento de ambos lados naturalmente da la fase como

2 γ = \arg (E \cdot E) .

2 γ = \arg (E \cdot E) .

2 γ = \arg (E \cdot E) .

2 γ = \arg (E \cdot E) .

2 γ = \arg (E \cdot E) .

2 γ = \arg (E \cdot E) .

2 γ = \arg (mi \cdot mi) .

Del mismo modo, tomar el módulo de esa ecuación devuelve

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

{UNA}^{2} - {si}^{2} = El | mi \cdot mi El |

, así que simplemente podemos obtener el factor de fase como

{mi}^{2 yo γ} = \frac{mi \cdot mi}{{UNA}^{2} - {si}^{2}} = \frac{mi \cdot mi}{El | mi \cdot mi El |}, entonces {mi}^{yo γ} = \frac{\sqrt{mi \cdot mi}}{El | \sqrt{mi \cdot mi} El |}, y por lo tanto {mi}^{- yo γ} = \frac{\sqrt{{mi}^{*} \cdot {mi}^{*}}}{El | \sqrt{{mi}^{*} \cdot {mi}^{*}} El |};

la caracterización para

A + i B

A + i B

UNA + yo si

luego se sigue de

E = e^{i γ} (A + i B)

E = e^{i γ} (A + i B)

E = e^{i γ} (A + i B)

E = e^{i γ} (A + i B)

E = e^{i γ} (A + i B)

E = e^{i γ} (A + i B)

mi = {mi}^{yo γ} (UNA + yo si)

simplemente dividiendo por

e^{i γ}

e^{i γ}

e^{i γ}

e^{i γ}

{mi}^{yo γ}

.

eso es justo, puedo ver cómo esto es más ordenado. Inicialmente, me pareció un problema geométrico, por eso respondí con una respuesta bastante corta. También creo que su solución aquí proporciona más información física a través del uso inteligente de la parametrización y operaciones complejas. Por lo tanto +1 de mi parte

LedHead · Answer 3

Creo que puedes lograr esto con una descomposición de valor singular. Comenzaré escribiendo $E$ $E$ $mi$ en la siguiente forma

$E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $mi = {mi}_{X} \hat{X} + {mi}_{y} \hat{y} = {mi}_{tu} \hat{tu} + {mi}_{v} \hat{v}$

dónde $E_{x}$ $E_{x}$ $E_{x}$ $E_{x}$ ${mi}_{X}$ y $E_{y}$ $E_{y}$ $E_{y}$ $E_{y}$ ${mi}_{y}$ Se conocen los números complejos. En general $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ ${mi}_{X} {mi}_{y}^{*} \neq 0 0$ , pero queremos $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ ${mi}_{tu} {mi}_{v}^{*} = 0 0$ . Podemos escribir esto en forma de matriz como

$(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{X} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} {mi}_{X} \\ {mi}_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{tu} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} {mi}_{tu} \\ {mi}_{v} \end{matrix})$

Deberíamos poder escribir

$(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{X} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{tu} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$

dónde $Λ$ $Λ$ $Λ$ es una matriz real, ortogonal que describe una rotación de sistemas de coordenadas. Actualmente es desconocido. Como suponemos que $\hat{x}$ $\hat{x}$ $\hat{x}$ $\hat{x}$ $\hat{X}$ y $\hat{y}$ $\hat{y}$ $\hat{y}$ $\hat{y}$ $\hat{y}$ son ortogonales, entonces $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{tu}$ y $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ También será ortogonal. Y también podemos escribir

$(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} {mi}_{X} \\ {mi}_{y} \end{matrix}) = UNA (\begin{matrix} 1 \\ yo \end{matrix})$

dónde $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $UNA = (\begin{array}{cc} una & si \\ C & re \end{array})$ Es una matriz real conocida. Podemos descomponer $A$ $A$ $UNA$ usando una descomposición de valor singular

$A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $UNA = U S V^{T}$

dónde $U$ $U$ $U$ , $S$ $S$ $S$ y $V$ $V$ $V$ son matrices reales $U$ $U$ $U$ y $V$ $V$ $V$ son matrices ortogonales y $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} UNA & 0 0 \\ 0 0 & si \end{array})$ dónde $A$ $A$ $UNA$ y $B$ $B$ $si$ son positivos con $A \geq B$ $A \geq B$ $UNA \geq si$ .

Todo esto rinde

$Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ yo \end{matrix}) = (\begin{matrix} {mi}_{tu} \\ {mi}_{v} \end{matrix})$

Si elegimos $Λ = U$ $Λ = U$ $Λ = U$ , lo que da $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{tu}$ y $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ , entonces esto se reduce a

$S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ yo \end{matrix}) = (\begin{matrix} {mi}_{tu} \\ {mi}_{v} \end{matrix})$

Ya que $V$ $V$ $V$ es una matriz ortogonal, también lo es $V^{T}$ $V^{T}$ $V^{T}$ $V^{T}$ $V^{T}$ y $S$ $S$ $S$ es diagonal y real, entonces $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ ${mi}_{tu} {mi}_{v}^{*} = 0 0$ .

Escribí esto con un poco de prisa, por lo que podría haber perdido algo o haber sido impreciso. Pido disculpas si ese es el caso.

¿Cómo puedo obtener los ejes de la elipse de polarización del vector Jones de la luz?

Emilio Pisanty

CR Drost

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Respuestas (3)

Wolpertinger

Emilio Pisanty

Wolpertinger

Emilio Pisanty

Wolpertinger

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LedHead

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Gran adsorción molecular canónica sobre una superficie