¿Por qué los satélites parecen moverse más rápido cuando están arriba y más lentos cerca del horizonte?

Aquí hay una construcción geométrica para respaldar la respuesta de @ uhoh. Comience con un satélite en órbita alrededor de la tierra (radio$R$) en altura$h$.

El círculo interior es la superficie, el exterior es la órbita. Cada cuña azul es barrida en el mismo tiempo por el satélite. Cada cuña de oro muestra qué tan lejos usted, un observador en la superficie, la ve moverse en ese mismo tiempo. Explotando un poco:

El satélite en el horizonte tiene una cuña mucho más estrecha que el de arriba. Esto significa que se ve que se mueve más lentamente. Esto sucede por dos razones: está más lejos y el camino no es perpendicular a su vista.

Podemos hacer esto más exacto llamando al ángulo central (azul) barrido en la unidad de tiempo$\Delta \theta$y (oro) ángulo observado$\Delta \phi$.

Luego sobrecarga:

$\Delta \phi_\rm{overhead} = \frac{(R+h) \Delta \theta}{h}$

En el horizonte hay que tener en cuenta tanto la distancia a la órbita, que llamaremos$D$, y el ángulo relativo$\theta$:

$\Delta \phi_\rm{horizon} = \frac{(R+h) \Delta \theta \sin{\theta}}{D}$

Esto podría complicarse rápidamente, pero tenga en cuenta que$\sin{\theta}$es$D / (R+h)$. Entonces esto simplifica mucho a:

$\Delta \phi_\rm{horizon} = \frac{(R+h) \Delta \theta D / (R+h)}{D} = \Delta \theta$

$\frac{\Delta \phi_\rm{overhead}}{\Delta \phi_\rm{horizon}} = \frac{R+h}{h}$

Entonces, la sobrecarga de un satélite, sin tener en cuenta cosas como las ilusiones ópticas o la refracción atmosférica, parece ser un factor.$(R+h)/h$más rápido que uno en el horizonte. Para un satélite a 600 km, eso es un factor de 11; más aún si se trata de una órbita más baja.

¿Se están moviendo principalmente hacia mí o alejándose de mí en un ángulo de incidencia cercano a cero (incluso a 20 000 kilómetros o 30 000 millas por encima de la cabeza)?

Sobre todo esto creo. Pero tu distancia está apagada. Es muy difícil ver los satélites de gran altitud a simple vista. La mayoría de los que puedes ver están en órbita terrestre baja entre 400 y 1000 km de altitud.

tl; dr: mirando satélites entre 300 y 1000 km de altitud que pasan por encima, definitivamente se mueven más rápido cuando están por encima y bajan la velocidad. En el cenit se mueven 1,4 y 0,4 grados por segundo respectivamente, y caen en un factor de 10 o más a medida que se acercan al horizonte.

Lo interesante es que lo que se mueve más rápido frena más rápido, pero eso es solo porque se acerca más rápido al horizonte.

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OK, no puedo resistirme a dejar una respuesta de "yo también".

La única ecuación que conozco es la vis-viva

$$v^2(r) = GM_E\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$$

donde el parámetro gravitacional estándar $GM_E$o$\mu$para la Tierra es aproximadamente 3.986E+14 m^3/s^2 (uno de los pocos números que conozco) y$a$es el semieje mayor.

Para una órbita circular$r=a$y se convierte simplemente en:

$$v^2 = GM_E\ / a,$$

y la velocidad es solo la circunferencia dividida por el periodo$T$:

$$v = 2 \pi a / T.$$

Cuadrarlo y ponerlo igual al anterior, y se obtiene:

$$T = 2 \pi \sqrt{a^3 / GM_E},$$

y si define la tasa angular de rotación como$\omega = 2 \pi / T$, eso se convierte

$$\omega = \sqrt{GM_E/a^3}$$

Si me siento en la tierra en$\mathbf{r_{me}} = R \mathbf{\hat{x}}$y ver un satélite a una altitud$h$tal que su radio orbital es$R+h$, su posición será

$$\mathbf{r_{sat}} = (R+h) \left( \mathbf{\hat{x}} \cos(\omega t) + \mathbf{\hat{y}} \sin(\omega t) \right)$$

y el ángulo entre el satélite y el cenit suponiendo que pasa por el cenit será simplemente

$$\theta = \arctan\left( \frac{y_{me}-y_{sat}}{x_{me}-x_{sat}} \right).$$

Cambiaré a Python, la mayoría si solo está haciendo las tramas:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)]
degs, rads = 180/pi, pi/180

GMe   = 3.986E+14  # m^3/s^2
R     = 6378. * 1000.   # approx radius of Earth in meters

altitudes  = 1000. * np.arange(300, 1001, 100)  # meters

t  = np.arange(600.)  # 0 to 10 minutes, in seconds

thetas = []
for h in altitudes:

    a = R + h
    omega = np.sqrt(GMe/a**3)
    r_sat = (R + h) * np.array([np.cos(omega*t), np.sin(omega*t)])
    r_me  = R * np.array([1, 0])[:, None] * np.ones_like(t)
    theta = np.arctan2(r_sat[1]-r_me[1], r_sat[0]-r_me[0])
    theta[theta > halfpi] = np.nan
    thetas.append(theta)

if True:
    fs = 16
    plt.figure()

    plt.subplot(3, 1, 1)
    for theta in thetas:
        plt.plot(t/60., degs*theta)

    plt.xlabel('minutes', fontsize=fs)
    plt.ylabel('degs from zenith', fontsize=fs)
    plt.text(0.3, 70, '300km')
    plt.text(5.2, 70, '1000km')

    plt.subplot(3, 1, 2)
    for theta in thetas:
        plt.plot(t[1:]/60., degs*(theta[1:] - theta[:-1]))

    plt.xlabel('minutes', fontsize=fs)
    plt.ylabel('degs/sec', fontsize=fs)
    plt.text(0.3, 1.3, '300km')
    plt.text(0.3, 0.2, '1000km')

    plt.subplot(3, 1, 3)
    for theta in thetas:
        plt.plot(degs*theta[1:], degs*(theta[1:] - theta[:-1]))

    plt.xlabel('degs from zenith', fontsize=fs)
    plt.ylabel('degs/sec', fontsize=fs)
    plt.text(30, 1.3,  '300km')
    plt.text(20, 0.16, '1000km')

    plt.show()

Los satélites que ve en movimiento están solo a una altitud de 200 km a 500 km, por lo general. El movimiento más lento que percibes en el horizonte se debe en parte a la ilusión de la luna descrita por fred_dot_u y en parte al escorzo.

Los satélites de comunicaciones a 35000 km de altitud son geosincrónicos; no se mueven apreciablemente en relación con un observador terrestre.

Me gustaría ver ecuaciones relevantes para respaldar esto, pero sospecho que la respuesta es más de percepción que de matemáticas.

Hace poco vi un video en YouTube que sugiere que la interpretación del tamaño y, por extrapolación, del movimiento y la velocidad depende de otros elementos a la vista.

El video vinculado es de la Ópera de Sydney, grabado primero directamente desde la ventana, sin elementos a la vista que estén cerca del espectador/cámara. El famoso edificio parece tener un tamaño "normal", ya que no hay una referencia real, aparte de los edificios adyacentes, las carreteras, etc.

A medida que el operador de cámara se aleja de la ventana, aparece el marco de la ventana. Esto proporciona al espectador una nueva referencia, que resulta estar más cerca del teatro de la ópera que otras referencias. El teatro de la ópera no cambia de tamaño en el mundo real, obviamente, pero parece ser mucho más grande en el encuadre de la cámara.

He experimentado este fenómeno tanto con lunas de baja altitud como con lunas de gran altitud. Cerca del horizonte, la luna parece grande, porque hay árboles y edificios como referencia, pero por encima de mi cabeza, la luna es un círculo más pequeño, subjetivamente.

Sugiero que este fenómeno se aplica a los objetos orbitales en movimiento. He observado la Estación Espacial Internacional cuando es visible en mi área y he anotado tal como se describe la pregunta. El movimiento parece lento en la primera parte de la aparición, luego aumenta la velocidad y se lanza a través del cielo, disminuyendo la velocidad cerca del final a medida que se acerca al horizonte opuesto.

Una vez que mi cabeza se inclina hacia atrás lo suficiente como para perder la vista del horizonte perpendicular al recorrido de la ISS, se pierde la referencia.

Para un experimento, usando un solo satélite, considere cortar un rectángulo de un material rígido. Utilice el cuadro y un cronómetro para cronometrar el tránsito de un punto del cuadro al otro, cuando esté cerca de la parte baja del tránsito, luego realice la misma prueba cuando el satélite esté cerca del cenit.

Tienes razón, es tanto A como B, el ángulo de incidencia y la distancia.

Comencemos describiendo lo que sucedería si de hecho lo estuvieras viendo viajar en un ángulo perpendicular a tu línea de visión.

Un objeto directamente sobre ti (90 grados desde el horizonte) está a una distancia de ti igual a su altitud (digamos, 500 km).

Pero cuando el mismo objeto está cerca del horizonte, digamos por el bien del argumento que está a 10 grados por encima del horizonte, entonces su distancia desde usted es más como seis veces eso, aproximadamente 1/sen (ángulo sobre el horizonte).

Esa es solo una aproximación, que no tiene en cuenta la curvatura de la órbita o la curvatura del horizonte, pero debería ser una aproximación lo suficientemente buena para ilustrar por qué parece moverse más lentamente cuando está menos elevado en el cielo. Parece así porque está más lejos.

Además de eso, los objetos en órbita por encima de la cabeza ciertamente estarían viajando en un ángulo de incidencia casi cuadrado a través de su línea de visión, y los objetos cerca del horizonte podrían muy bien estar viajando en una dirección que es un ángulo de incidencia muy agudo, potencialmente acercándose a cero.