¿Cómo determino el período de seguimiento en tierra de un satélite LEO?

¡Interesante pregunta!

Caso abstracto/simplificado:

Supongamos que una nave espacial orbita alrededor de un planeta sin atmósfera, una distribución de masa esféricamente simétrica perfecta, tal que el campo gravitacional se puede expresar como el de un punto en el origen utilizando el teorema de la capa de Newton , y no hay otras fuerzas o cuerpos en el universo.

Se repetirá la trayectoria terrestre sólo cuando la relación de los períodos de rotación del planeta y la nave espacial sea un número racional , es decir, la relación de dos números enteros.

Entonces, el período de una pista de tierra repetida será el más corto de los dos períodos multiplicado por el mayor de los dos enteros, o viceversa. Una forma sencilla de pensar en esto es simplemente imaginar el momento en que el satélite cruza el ecuador, o pasa por x=0 (suponiendo que z es el eje de rotación del planeta). Tienes que tener un poco de cuidado con tu imaginación si es una órbita puramente polar, pero las mismas matemáticas funcionan.

Por ejemplo, supongamos que el planeta gira cada 1440 minutos y el satélite lo orbita en el espacio con un período de 115,2 minutos.

encontrar los enteros$m, n$tal que

$m \times 1440 - n \times 115.2 = 0$

la solucion seria$m, \ n = 2, \ 25$, por lo que el período sería de dos días, o$2 \times 1444$o$25 \times 115.2$minutos.

Si no hay una solución exacta para dos enteros, ¡entonces no hay una pista de tierra repetida exacta!

El mundo real:

El campo de gravedad de la Tierra es irregular, por lo que las órbitas circulares o elípticas Kepler puras no existen realmente en la naturaleza. Hay efectos gravitacionales de la Luna y el Sol, y efectos de arrastre de la atmósfera en LEO.

Así que " nunca " es la respuesta corta.

Aquí hay un GIF de una animación que hice una vez de una trayectoria terrestre hipotética de un satélite similar a la ISS, por ejemplo. Usé las matemáticas del artículo de Wikipedia de la subsección Detalles técnicos Sun-synchronous_orbit, incluida la precesión de los nodos debido a la oblación de la Tierra. Es un cálculo simple y no incluye muchos efectos.

Calculé para 15,00,000 segundos (alrededor de 17 días).

Si bien hay ciertas altitudes que crean una aparente repetición de la trayectoria terrestre por un corto tiempo, es solo una ilusión.

Consulte también esta respuesta a la pregunta ¿Cuánto tiempo tarda la ISS en viajar por todos los lugares posibles del mundo una vez? para más que pensar.

abajo: GIF de baja resolución de un fragmento de una animación simple que una vez hice de una pista terrestre durante ~17 días de una órbita circular de altitud variable, incluye precesión de nodos debido a J2.

Por diversión, aquí se explica cómo hacerlo en Python. Skyfield introdujo un .subpoint()método en la versión 1.3 (ahora está en la 1.4), ¡así que obtener el seguimiento terrestre de los satélites es fácil!

Aquí está la trayectoria terrestre de la ISS durante los primeros siete días de junio de 2018:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from skyfield.api import Loader, Topos, EarthSatellite

# https://www.celestrak.com/NORAD/elements/stations.txt
TLE = """1 25544U 98067A   18157.92534723  .00001336  00000-0  27412-4 0  9990
2 25544  51.6425  69.8674 0003675 158.7495 276.7873 15.54142131116921"""

L1, L2 = TLE.splitlines()

load = Loader('~/Documents/fishing/SkyData')  # avoids multiple copies of large files
ts   = load.timescale()

data    = load('de421.bsp')
earth   = data['earth']
ts      = load.timescale()

minutes = np.arange(60. * 24 * 7)         # seven days
time    = ts.utc(2018, 6, 1, 0, minutes)  # start June 1, 2018

ISS     = EarthSatellite(L1, L2)

subpoint = ISS.at(time).subpoint()

lon      = subpoint.longitude.degrees
lat      = subpoint.latitude.degrees
breaks   = np.where(np.abs(lon[1:]-lon[:-1]) > 30)  #don't plot wrap-around

lon, lat    = lon[:-1], lat[:-1]
lon[breaks] = np.nan
plt.figure()
plt.plot(lon, lat)
plt.show()