En la Figura-01 anterior, un sistema inercialS′
se traduce con respecto al sistema inercialS
con velocidad constante
tu1= (tu1x _,tu1 año,tu1z _)∥norte1∥2= (tu1norte1x _,tu1norte1 año,tu1norte1z _) =tu1norte1,tu1∈ ( - do , 0 ) ∪ ( 0 , do )=norte21x _+norte21 año+norte21z _= 1(01a)(01b)
La transformación de Lorentz
S ⟶S′
es
dr′dt′γ1= re + ( _γ1− 1 ) (norte1⋅ re ) _norte1−γ1tu1dt _=γ1( re t -tu1⋅ re _C2)=( 1 −tu21C2)−12(02a)(02b)(02c)
mientras que es inversa
S′⟶ S
es
dr _dt _= rer′+ (γ1− 1 ) (norte1⋅ rer′)norte1+γ1tu1dt′=γ1( ret′+tu1⋅ rer′C2)(03a)(03b)
Ahora, deja que una partícula puntualPAG
moviéndose con velocidadtu2
con respecto al sistemaS′
dónde
tu2=dr′dt′= (tu2X′,tu2y′,tu2z′)∥norte2∥2γ2= (tu2norte2X′,tu2norte2y′,tu2norte1z′) =tu2norte2,tu2∈ ( - do , do )=norte22X′+norte22y′+norte22z′= 1=( 1 −tu22C2)−12(04a)(04b)(04c)
Para encontrar su velocidad
tu
con respecto al sistema
S
dónde
tu =dr _dt _= (tuX,tuy,tuz)∥ norte∥2γ= ( tunorteX, tunortey, tunortez) =tu norte,tu ∈ ( - do , do )=norte2X+norte2y+norte2z= 1=( 1 −tu2C2)−12(05a)(05b)(05c)
dividimos ecuaciones
(03a)
,
(03b)
uno al lado del otro y tener
tu =tu2+ (γ1− 1 ) (norte1⋅tu2)norte1+γ1tu1γ1( 1 +tu1⋅tu2C2)(06)
reemplazando
norte1⟶tu1/tu1
tu =tu2+γ21(tu1⋅tu2)C2(γ1+ 1 )tu1+γ1tu1γ1( 1 +tu1⋅tu2C2)(07)
La ecuación anterior, más allá de ser la ley de transformación para 3 velocidades, es la ley de la suma relativista de 3 velocidades, más exactamente es la suma relativista de
tu1,tu2
.
Ahora bien, entre elγ−
factoresγ,γ1,γ2
la siguiente ecuacion es valida
γ=γ1γ2( 1 +tu1⋅tu2C2)abab(08)
Esta relación se demuestra de la siguiente manera:
DejarSPAG
el resto del sistema de la partículaPAG
. en este sistemaSPAG
el tiempo es el adecuadoτ
. El sistema de descansoSPAG
se mueve con velocidadtu2
con respecto al sistemaS′
por lo que según la transformación de Lorentz entre estos sistemas tenemos
dt′d τ=γ2(09)
En el mismo paso, ya que el sistema de descanso
SPAG
se mueve con velocidad
tu
con respecto al sistema
S
tenemos
dt _′d τ= γ(10)
Por otra parte de la transformación de Lorentz entre los sistemas
S
y
S′
tenemos, mira
(03b)
dt _′dt′=γ1( 1 +tu1⋅tu2C2)(11)
De ecuaciones
(09)
,
(10)
y
(11)
la relación
(08)
está probado, es decir
γ=dt _′d τ=dt _′dt′dt′d τ=γ1γ2( 1 +tu1⋅tu2C2)(12)
En cuanto a la rapidez
ζ1,ζ2, ζ
dónde
bronceadoζ1=tu1C,bronceadoζ2=tu2C,bronceadoζ=tuC(13)
ecuación
(08)
se reescribe como
aporrearζ= golpeζ1aporrearζ2+(norte1⋅norte2)porqueωpecadoζ1pecadoζ2abab(14)
dónde
ω ∈ [ 0 , π]
el ángulo entre los vectores unitarios
norte1
y
norte2
, consulte la Figura-01.
En caso de paralelonorte1,norte2
tenemos
ζ={ζ1+ζ2ζ1−ζ2siω = 0siω = π}(15)
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Ahora, haremos una correlación con la composición de dos rotaciones en el espacio.
Como veremos a continuación (Figura-04), la Figura-02 se utiliza para la representación geométrica (construcción) de la composición de dos rotaciones en el espacio. En esta figura dos planospag1,pag2
en un anguloω
intersección en líneaϵ
. Dos lineasϵ1,ϵ2
en avionespag1,pag2
respectivamente están pasando por un punto común en la líneaϵ
en ángulosϕ1,ϕ2
con respecto a esta línea. Por trigonometría elemental tenemos
porqueϕ = cosϕ1porqueϕ2− porqueω pecadoϕ1pecadoϕ2(dieciséis)
Si en la ecuación anterior reemplazamos los ángulos reales
ϕ1,ϕ2, ϕ
con unos imaginarios
ϕ1= yoζ1,ϕ2= yoζ2,ϕ = yoζ(17)
eso es
porque( yoζ) = porque( yoζ1) porque( yoζ2) − porqueω pecado( yoζ1) pecado( yoζ2)(18)
entonces encontraremos la ecuación
(14)
de nuevo
aporrearζ= golpeζ1aporrearζ2+ porqueω senζ1pecadoζ2(19)
desde
porque( yoρ ) = cosρ,pecado( yoρ ) = yopecadoρρ ∈ R(20)
y formalmente tenemos la Figura-03.