¿Cómo puedo saber que el movimiento circular es una solución para una partícula confinada a la superficie de un cono?

Si desea ver si una función en particular$z(t)$representa un movimiento permitido de la partícula, todo lo que necesita hacer es verificar si satisface la ecuación de movimiento (la ecuación diferencial en su pregunta). Si conecta la función y obtiene una contradicción matemática, no es una solución. De lo contrario, lo es. (A veces hay que tener cuidado con los casos de esquina, pero este no es uno de esos casos).

Tal vez te ayude pensarlo de esta manera: cuando el problema dice

se 'puede ver' que una solución a esto viene dada por un movimiento circular a altura constante$z_c$

eso significa que hay algo constante$z_c$tal que$z(t) = z_c$es una solución a la ecuación diferencial. Ahora, en teoría, podría probar sistemáticamente todas las alturas posibles hasta encontrar una que funcione, es decir, enchufe$z(t) = 1\text{ m}$,$z(t) = 2\text{ m}$, etc. en la ecuación diferencial y ver si resulta ser igual a cero, pero, por supuesto, la forma más inteligente es usar el álgebra para identificar el único valor que podría funcionar, lo cual hiciste. Encontraste eso

Si no tiene claro cómo esto muestra que el movimiento circular es una posible solución, le sugiero que conecte

en la ecuación diferencial y verificando por ti mismo que el lado izquierdo se simplifica a cero cuando haces esto.

Ahora a la parte sobre la perturbación. Olvídese del cono por un momento y piense en una pelota que rueda por el fondo de algún tipo de valle (una zanja, un canal o un tubo). Una forma en que esto puede suceder, por supuesto, es que la pelota ruede hacia el centro. Pero otro movimiento permisible es que la bola esté un poco descentrada y que se mueva ligeramente de lado a lado mientras rueda, trazando una especie de patrón oscilatorio centrado en el fondo del valle.

Este es un patrón común para cualquier tipo de sistema físico en un equilibrio estable centrado en alguna coordenada$x_c$: mientras que un movimiento permisible simplemente está atascado en$x_c$, otro movimiento permisible es algún tipo de pequeña oscilación alrededor$x_c$. Así que en lugar de resolver para$x(t)$directamente, cambias las variables a$\delta(t) = x(t) - x_c$, Con frecuencia es más fácil de resolver para$\delta(t)$de lo que es para$x(t)$, porque sabes que$\delta(t)$está centrado alrededor de cero y por lo tanto es pequeño, y cuando escribes tus fórmulas en términos de$\delta$en lugar de$x$puede expandirlos en series de Taylor y descartar todo menos los términos no triviales más grandes.

En tu caso, estás haciendo esto con$z(t) = z_c + \eta(t)$, en lugar de$x(t) = x_c + \delta(t)$. Diferentes nombres (y significados) para las variables, pero el procedimiento es el mismo. Cambias las variables de$z$a$\eta$. Entonces puedes expandir en una serie de Taylor en$\eta$y mantener sólo los términos no triviales de orden más bajo en$\eta$. Tenga en cuenta que digo no trivial porque debe mantener algunos términos que realmente involucran$\eta$para poder solucionarlo. Por lo general, esto significa mantenerse al día$\eta^1$, pero en algunos casos hay una razón para mantener también los términos de orden superior, digamos, si todos los$O(\eta^1)$términos se cancelan, o si desea una mejor aproximación.

Cada vez que linearizas algo (que es lo que estás haciendo con$z = z_c + \eta$), estás sustituyendo en un valor constante$z_c$y una perturbación$\eta$. El constante$z_c$es independiente del tiempo mientras que$\eta$es una función del tiempo. Además, el promedio de tiempo de$\eta$es 0 porque$z_c$se define como la media de$z$a tiempo.

Entonces, con eso fuera del camino, cuando conectes la ecuación gobernante, obtendrás una función que tiene$\ddot{\eta}$en eso. Esta es la ecuación gobernante para la perturbación$\eta$acerca de$z_c$.

Esta es la ecuación gobernante que necesitas usar para encontrar el período de movimiento.