La gravedad polar versus ecuatorial de Saturno

Parece que Britannica es más precisa.

Los valores británicos de$g$se remonta a la Tabla 2 de este documento: La atmósfera de Saturno: un análisis de las mediciones de ocultación de radio de la Voyager , Lindal et al (1985). Como se indica en el título, estos valores se derivan de las mediciones de la Voyager.

Al principio, pensé que el valor de wiki/Nasa se basaba en las mediciones Casini más recientes. Sin embargo, resulta que este valor en realidad proviene de un cálculo simplificado (e inexacto).

No he encontrado un valor reciente explícito de$g$en la literatura, pero descubrí cómo calcularlo: en la página 3 del artículo Interior Models of Saturn: Inclusive the Uncertainties in Shape and Rotation (Helled & Guillot, 2013), se afirma que el potencial efectivo de una rotación el planeta es

$$U(r,\varphi) = \frac{GM}{r}\!\left(1 - \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{r_\text{s}}{r}\right)^{2n}J_{2n}P_{2n}(\sin\varphi)\right) + \frac{1}{2}\omega^2r^2\cos^2\varphi,$$ dónde$M$es la masa del planeta,$r_\text{s}$es un radio ecuatorial de referencia,$\varphi$es la latitud,$\omega=2\pi/P$es la velocidad angular (y$P$es el período de rotación),$P_{2n}(x)$son polinomios de Legendre y$J_{2n}$son coeficientes que expresan la desviación del planeta de una esfera perfecta. La aceleración gravitacional$\mathbf{g}$es entonces un vector con componentes $$\begin{align} g_r(r,\varphi) &= -\frac{\partial U}{\partial r},\\ g_\varphi(r,\varphi) &= -\frac{\partial U}{\partial \varphi}. \end{align}$$ Desde$g_\varphi=0$en los polos y el ecuador, concentrémonos en$g_r$solo. Encontramos $$g_r = \frac{GM}{r^2}\!\left(1 - \sum_{n=1}^\infty(2n+1)\left(\frac{r_\text{s}}{r}\right)^{2n}J_{2n}P_{2n}(\sin\varphi)\right) - \omega^2r\cos^2\varphi,$$ que es igual a la fórmula dada en el Apéndice de Lindal et al (1985). Ahora conectemos algunos números: de Helled & Guillot tenemos $$\begin{align} r_\text{s} &= 60,330\;\text{km},\\ J_2 &= 16,290.71\times 10^{-6}, \end{align}$$ ignorando los coeficientes de orden superior más pequeños$J_4$,$J_6$,...

En la Tabla 2 de Anderson & Schubert (2006) encontramos:

$$\begin{align} a &= 60,357.3\;\text{km},\\ q &= 0.158904,\\ P &= 10^\text{h}32^\text{m}35^\text{s} = 37,955\;\text{s}, \end{align}$$ dónde$a$es el radio ecuatorial y$q$el llamado parámetro de pequeñez. De esto, obtenemos $$\begin{align} \omega &= 2\pi/P = 1.65543\times 10^{-4}\;\text{rad}\,\text{s}^{-1},\\ GM &= \omega^2a^3/q = 3.79207\times 10^{16}\;\text{m}^3\,\text{s}^{-2}. \end{align}$$ Finalmente, necesitamos el radio ecuatorial y polar a 1 bar. Según el informe de la IAU sobre coordenadas cartográficas y elementos de rotación (2006) , pág. 173, encontramos $$\begin{align} r_\text{eq} &= 60,268\;\text{km},\\ r_\text{pol} &= 54,364\;\text{km}. \end{align}$$ Así, en el ecuador tenemos (ignorando los términos de orden superior) $$\begin{align} g_r(r_\text{eq},0^\circ) &= g_1 + g_2 + g_3\\ &= \frac{GM}{r_\text{eq}^2} + \frac{GM}{r_\text{eq}^2}\frac{3}{2}\!\frac{r_\text{s}^2}{r_\text{eq}^2}\!J_2 - \omega^2r_\text{eq}, \end{align}$$ así, la aceleración gravitatoria proviene de tres aportes: la gravedad de un planeta esférico, una corrección por no esfericidad y una influencia centrífuga por la rotación. Obtenemos $$\begin{align} g_1 &= 10.44\;\text{m}\,\text{s}^{-2},\\ g_2 &= 0.256\;\text{m}\,\text{s}^{-2},\\ g_3 &= -1.652\;\text{m}\,\text{s}^{-2}, \end{align}$$ de modo que la aceleración en un marco que gira con el planeta es $$g_r(r_\text{eq},0^\circ) = 9.04\;\text{m}\,\text{s}^{-2}.$$ Aportes de la$J_4$,$J_6$términos pueden cambiar el último dígito.

Ahora vemos de dónde viene el valor 10.44: es solo el término esférico, ignorando incorrectamente los efectos de la no esfericidad y la rotación. En los polos tenemos

$$\begin{align} g_r(r_\text{pol},90^\circ) &= g_1 + g_2\\ &= \frac{GM}{r_\text{pol}^2} - \frac{GM}{r_\text{pol}^2}\!3\!\frac{r_\text{s}^2}{r_\text{pol}^2}\!J_2, \end{align}$$ lo que resulta en $$\begin{align} g_1 &= 12.83\;\text{m}\,\text{s}^{-2},\\ g_2 &= -0.772\;\text{m}\,\text{s}^{-2},\\ g_r(r_\text{pol},90^\circ) &= 12.06\;\text{m}\,\text{s}^{-2}. \end{align}$$ Entonces, la aceleración ecuatorial es de hecho alrededor del 75% de la aceleración en los polos. Conclusión: Britannica es más precisa, aunque los valores no están actualizados.

Aunque algo tangencial, quiero mostrar un enfoque separado para obtener números válidos para la gravedad de Saturno. Para esto, usaré la Ley de Gauss de gravitación y rotación para obtener la gravedad promedio del planeta. Resumí algunos métodos aquí , así que no entraré en ellos ahora.

Para la gravedad aparente promedio (es decir, incluida la aceleración rotacional), podemos dividir el flujo gravitatorio aparente total por el área de la superficie. Ese flujo gravitacional (o quizás más exactamente, "flujo de aceleración") se compone de dos términos, uno de la materia y otro de la rotación. La gravedad aparente es siempre normal a la "superficie", y por superficie la superficie isobárica de 1 bar. Por lo tanto, este promedio es la aceleración hacia abajo promediada por área.

$$g_{avg} = \frac{ 4 \pi G M - 2 \omega^2 V}{ SA }$$

El mérito de este enfoque puede estar abierto a discusión, porque si usó la gravedad local para derivar la masa o la densidad, entonces podría estar calculando de nuevo la cantidad medida que obtuvo en primer lugar. Todavía hay esperanza, sin embargo, de que la masa de Saturno se derivó de la dinámica orbital a gran escala (probable), y que el área de superficie y el volumen podrían haberse obtenido a partir de evidencia puramente observacional/geométrica (también probable). Siguiendo el conjunto de datos de Wikipedia (que es cuestionable, como hemos mostrado), obtengo este resultado:

$$g_{avg} = \frac{ 4 \pi G \left( 5.6846 \times 10^{26} kg \right) - 2 \left( \frac{2 \pi}{10.57 hr} \right)^2 \left(8.27 \times 10^{14} km^3 \right) }{ 4.27 \times 10^{10} km^2 } = 10.109 \frac{m}{s^2}$$

Comparar con cifras correctas conocidas que oscilan alrededor$9.0 m/s^2$por el ecuador y$12.1 m/s^2$para el polo Estas son la cifra significativa más cercana y el promedio aproximado de los números proporcionados por la Enciclopedia Británica y el usuario Pulsar. El primero puede ser preferible, pero estas son buenas cifras de consenso en general. Todos los números que estoy citando aquí son lo que llamo gravedad "aparente", que incluye la resta debida a la rotación.

Encontramos que mi cálculo para la gravedad superficial aparente promedio es de aproximadamente$35.4 \text{%}$entre los dos. Es decir, mi cálculo de gravedad promedio está más cerca de la gravedad ecuatorial experimentada que de la gravedad polar. Esto suena consistente con un valor promedio por área. Si la rotación fuera el único factor (sin importar la redistribución), podríamos integrar$\sqrt{x^2+y^2}$en la esfera unitaria para encontrar el valor promedio, y al hacer esto encuentro que el promedio sería$21 \text{%}$la diferencia entre los valores de gravedad ecuatorial y polar. Creo que esto muestra consistencia con los resultados de la pregunta "¿por qué la Tierra es tan gorda?" donde las personas encontraron consistentemente que los modelos que no incluían la redistribución de la materia estaban equivocados por un factor significativo.

Con confianza, reportaría estas cifras de gravedad con rotación incluida, en$m/s^2$

• Ecuador 9.0
• promedio 10.1
• Polo 12.1

Para obtener los números excluyendo la rotación, puede repetir mi cálculo excluyendo el$-2 \omega^2 V$término. El número polar es el mismo para ambos porque no tiene aceleración de rotación. Luego, el número del ecuador es más complicado, pero otros lo han encontrado para mí.

• promedio 11.2
• Ecuador 10.7 (de Pulsar)

En cierto sentido, todos estos son números válidos para la gravedad de Saturno para varias estipulaciones. No entre estos está el número 10.44, que no tiene una interpretación física válida.