Hice un cálculo ingenuo de la altura de la protuberancia ecuatorial de la Tierra y descubrí que debería ser de unos 10 km. La altura real es de unos 20 km. Mi pregunta es: ¿por qué existe esta discrepancia?
El cálculo que hice fue imaginar colocar una pelota sobre la Tierra que gira. Donde sea que lo coloque, no debe moverse.
El potencial gravitacional por unidad de masa de la bola es , con la altura sobre la distancia del polo al centro de la Tierra (llámese a eso ) y aceleración gravitacional.
La gravedad quiere tirar de la pelota hacia los polos, lejos del bulto. Está equilibrado por la fuerza centrífuga, que tiene un potencial por unidad de masa, con La velocidad angular de la Tierra y el ángulo desde el polo norte. Esto viene tomando lo que en un marco inercial sería la energía cinética de la pelota y convirtiéndola en un potencial en el marco acelerador.
Si la pelota no se mueve, este potencial debe ser constante, entonces
también podríamos dejar que la constante sea cero y escribir
para la tierra,
Esto da 10,8 km cuando , por lo que la protuberancia ecuatorial debería ser más o menos así de grande.
Según Wikipedia , la Tierra tiene un diámetro de 42,72 km más ancho en el ecuador que de polo a polo, lo que significa que la protuberancia es aproximadamente el doble de grande de lo que esperaba. (Wikipedia cita el diámetro; estimé el radio).
¿De dónde viene el bulto extra? Mis usos de cálculo simple y como constantes, pero ninguna varía más de un porcentaje o algo así. Es cierto que la Tierra no tiene una densidad uniforme, pero no me queda claro cómo debería afectar esto al cálculo, siempre que la distribución de la densidad siga siendo esféricamente simétrica (o casi).
(Wikipedia también incluye una expresión , sin derivación, que concuerda con la mía).
El error es que asume que la distribución de densidad es "casi esféricamente simétrica". Está lo suficientemente lejos de la simetría esférica si desea calcular los efectos de subdirección de primer orden, como la protuberancia ecuatorial. Si su objetivo es calcular las desviaciones del nivel del mar fuera de la simetría esférica (al primer orden), es inconsistente ignorar las correcciones igualmente grandes de primer orden a la simetría esférica en el otro lado: la fuente de gravedad. En otras palabras, el término en tu potencial está mal.
Solo imagine que la Tierra es un elipsoide con una protuberancia ecuatorial, no gira y no hay agua en la superficie. ¿Cuál sería el potencial en la superficie o el potencial a una distancia fija del centro del elipsoide? Ha asumido de facto que, en este caso, sería dónde es el radio fijo de la Tierra (de una distribución de materia esférica) y es la distancia real de la sonda desde el origen (centro de la Tierra). Sin embargo, con este Ansatz, solo ha reconocido la distancia variable de la sonda desde una fuente de gravedad esféricamente simétrica: aún ha ignorado la contribución de la protuberancia a la no esfericidad del campo gravitatorio.
Si incluye la corrección no esféricamente simétrica del campo gravitatorio de la Tierra, cambiará aproximadamente a , y correspondientemente, la protuberancia requerida tendrá que duplicarse para compensar el potencial de rotación. Una explicación heurística del factor de es que el verdadero potencial sobre un elipsoide depende de "algo intermedio" entre la distancia desde el centro de masa y la distancia desde la superficie. En otras palabras, una "superficie de potencial constante" alrededor de una fuente elipsoidal de materia está "exactamente entre" la superficie real del elipsoide y la esférica. superficie.
Intentaré agregar fórmulas más precisas para el campo gravitacional del elipsoide en una versión actualizada de esta respuesta.
Actualización: campo gravitatorio de un elipsoide
He verificado numéricamente que el campo gravitatorio del elipsoide tiene exactamente el efecto de reducción a la mitad que esbocé anteriormente, usando un código de Monte Carlo Mathematica, para evitar integrales dobles que podrían calcularse analíticamente, pero hasta ahora lo encontré molesto.
Tomé millones de puntos aleatorios dentro de un elipsoide alargado con "radios" ; tenga en cuenta que la diferencia entre los dos radios es . El valor medio de , la distancia inversa entre el punto aleatorio del elipsoide y un punto elegido sobre el elipsoide, es menor si el punto elegido está por encima del ecuador que si está por encima de un polo, suponiendo que la distancia desde el origen es la misma para ambos puntos elegidos.
Código:
{xt, yt, zt} = {1.1, 0, 0};
runs = 200000;
totalRinverse = 0;
total = 0;
For[i = 1, i < runs, i++,
x = RandomReal[]*2 - 1;
y = RandomReal[]*2 - 1;
z = RandomReal[]*2 - 1;
inside = x^2/0.81 + y^2/0.81 + z^2 < 1;
total = If[inside, total + 1, total];
totalRinverse =
totalRinverse +
If[inside, 1/Sqrt[(x - xt)^2 + (y - yt)^2 + (z - zt)^2], 0];
]
res1 = N[total/runs / (4 Pi/3/8)]
res2 = N[totalRinverse/runs / (4 Pi/3/8)]
res2/res1
Descripción
Use el código de Mathematica anterior: su objetivo es calcular una sola constante puramente numérica debido a la proporcionalidad de la no esfericidad del campo gravitacional al bulto; masa; La constante de Newton es evidente. El número final que imprime el código es el valor promedio de . Si se elige {1.1, 0, 0} en lugar de {0, 0, 1.1} al principio, el programa genera 0.89 en lugar de 0.94. Eso prueba que el potencial gravitatorio del elipsoide se comporta como a distancia del origen donde es la altura local de la superficie relativa a la superficie esférica idealizada.
En el código anterior, elegí el elipsoide con radios (0.9, 0.9, 1) que es un esferoide alargado (largo, con forma de palo), a diferencia de la Tierra, que está cerca de un esferoide achatado (plano, con forma de disco). Así que no te confundas con algunas señales: funcionan bien.
Bono de Isaac
Mariano C. ha señalado la siguiente solución de un autor bastante conocido:
I) Llanura. Aquí nos gustaría calcular analíticamente la solución de Lubos Motl al primer orden en el parámetro de planitud ,
dónde y son el radio ecuatorial y polar de la Tierra, respectivamente, y . (El de ahora en adelante el símbolo significará igualdad hasta términos de orden superior en .) Suponemos que la Tierra es un elipsoide achatado masivo
con densidad uniforme y volumen
La excentricidad es
II) Cuadrupolo. Supondremos que la gravedad es newtoniana. Lo que necesitamos calcular es la contribución del momento cuadripolar al potencial gravitacional
Por razones de simetría, una de las direcciones principales del momento cuadripolar debe estar a lo largo del polar -eje, y las otras dos direcciones principales deben tener los mismos valores propios y estar en el ecuatorial avión. De este modo debe ser de la forma
dónde y son los valores propios ecuatoriales y polares, respectivamente; donde hemos introducido la notación abreviada y ; y donde es el ángulo polar. Desde el momento cuadripolar no puede contribuir a la ley de Gauss, debemos exigir que el laplaciano desaparece, lo que lleva a que el valor propio polar sea menos dos veces el valor propio ecuatorial, . En otras palabras,
Por lo tanto, basta con calcular el potencial gravitacional en un punto en el polar -eje, donde tenemos azimutal simetría .
III) Anillo. Calculemos la contribución a la energía potencial gravitatoria de un anillo paralelo al plano y con centro sobre el -eje. debido a la simetría azimutal, podemos enfocarnos en un punto en el anillo con y , y que se encuentran en el avión. Deje que este punto tenga coordenadas polares 2D . En otras palabras, el punto tiene coordenadas 3D. . De la ecuación de una elipse
obtenemos, después de un poco de álgebra elemental,
A continuación, la distancia del anillo al punto viene dada por la relación del coseno
El área superficial "exterior" del anillo es
con espesor infinitesimal "radial"
Entonces el volumen del anillo es
(Eventualmente queremos integrar sobre el ángulo polar de a . Esto corresponde a integrar sobre de a en la dirección negativa. Por lo tanto es negativo.)
IV) Potencial. La contribución del anillo a la energía potencial gravitacional. en el punto es
Integración sobre coseno del ángulo polar para formar rendimientos de caparazón delgado (con la ayuda del programa MAPLE)
A continuación integramos sobre para obtener el potencial polar de un elipsoide masivo
V) Monopolo y cuadrupolo. el primer termino es, por supuesto, precisamente el potencial monopolo
y el segundo termino es el potencial del cuadrupolo polar
Así sabemos que el potencial de cuadrupolo gravitacional en un punto arbitrario (no necesariamente en el -eje) es
y el potencial gravitatorio total es
VI) Superficie. A partir de ahora, consideremos sólo puntos con
en la superficie de la Tierra con forma de elipsoide. Entonces el potencial monopolar en se convierte
mientras que el potencial cuadripolar en se convierte
de modo que todo el potencial gravitatorio en se convierte
VII) Discusión. Usemos el polo norte como punto de referencia, es decir, restemos el potencial gravitacional en el polo norte. Entonces el potencial gravitacional en se convierte
dónde
es la diferencia entre los radios ecuatorial y polar, y
Ahora debemos agregar el potencial centrífugo
A la orden en que estamos trabajando, vemos que el potencial total es constante (independiente del punto de la superficie ), si
Conclusión: Encontramos un factor a diferencia del argumento original del monopolo de Mark Eichenlaub.
Actualización: medio año después de que se publicara esta respuesta en Phys.SE, el 18 de noviembre de 2011, la página de Wikipedia cambió su expresión matemática enumerada para el parámetro de planitud a , y ahora está totalmente de acuerdo con esta respuesta.
Hubo algunas dudas sobre la respuesta de Lubos (que acepté), por lo que esto es solo una verificación.
Copié el método descrito por Lubos y encontré la diferencia de potencial para un elipsoide con diferentes excentricidades. Efectivamente, para un esferoide achatado, si hace que la distancia entre el centro y el ecuador sea una fracción mayor que la distancia entre el centro y el polo, el potencial es aproximadamente una fracción menor en el ecuador.
Para hacer todo el problema, tendríamos que tener en cuenta la densidad variable de la Tierra, pero como una estimación aproximada, esto parece funcionar.
Por ejemplo, para el esferoide achatado
el valor medio de en es alrededor de .996, y el promedio en es aproximadamente .991.
Código de Python a continuación (disculpe la afición)
import random
import math
points = 10000000
e = .01
rad = 1+e
diam = 2*rad
pot= 0
count = 0
for i in range(1,points):
x = diam*random.random()-rad
y = diam*random.random()-rad
z = diam*random.random()-rad
r = math.sqrt((x-rad)*(x-rad)+y*y+z*z)
if x*x/(rad*rad)+y*y/(rad*rad) + z*z < 1:
pot = pot + 1/r
count = count + 1
print pot/count
pot2 = 0
count = 0
for j in range(1,points):
x = diam*random.random()-rad
y = diam*random.random()-rad
z = diam*random.random()-rad
r = math.sqrt(x*x+y*y+(z-1.0)*(z-1.0))
if x*x/(rad*rad)+y*y/(rad*rad) + z*z < 1:
pot2 = pot2 + 1/r
count = count + 1
print pot2/count
Comience con el potencial gravitacional no perturbado para una esfera uniforme de masa M y radio R, interior y exterior:
Agrega una perturbación de cuadrupolo, obtienes
Los factores de escala de M y R son solo para hacer adimensional, la caída de es solo para que la solución exterior resuelva la ecuación de Laplace, y el emparejamiento de las soluciones es para asegurar que en cualquier elipsoide cerca de la esfera de radio R, las dos soluciones son iguales al orden . La razón por la que esto funciona es porque el las soluciones se igualan tanto en valor como en primera derivada en x=R, por lo que se mantienen igualados en valor al orden principal incluso cuando se alejan de una esfera. El orden Los términos del cuadrupolo son iguales en la esfera y, por lo tanto, coinciden con el orden principal.
El elipsoide que elegiré resuelve la ecuación:
El diámetro z se incrementa en una fracción , mientras que el diámetro x disminuyó en . De modo que la relación entre el radio polar y el ecuatorial es . A orden de salida
Ya igualamos los valores de las soluciones interior y exterior, pero necesitamos igualar las derivadas. tomando la "d":
A primer orden en , solo el primer término de la segunda ecuación se modifica por el hecho de que r no es constante en el elipsoide. Especializando a la superficie del elipsoide:
Igualando las derivadas in y out, las partes proporcionales a cancelar (como deben--- las derivadas tangenciales son iguales porque las dos funciones son iguales en el elipsoide). El resto debe cancelar también, así que
Entonces encuentras la relación entre y . La solución para da
Lo que significa, mirando la ecuación entre paréntesis, que las equipotenciales están un 60% tan aplastadas como el elipsoide.
Ahora hay una condición de que esto se equilibre por rotación, lo que significa que el elipsoide es equipotencial una vez que agrega el potencial centrífugo:
para hacer el equipotencial elipsoide requiere que es igual al resto , para que, llamando (la aceleración de la gravedad) por el nombre "g", y por el nombre "C" (centrífugo)
La diferencia real en diámetros ecuatoriales y polares se encuentra multiplicando por 3/2 (ver arriba):
en lugar de la estimación ingenua de . Entonces, la estimación ingenua se multiplica por dos y medio para una esfera giratoria de densidad uniforme.
La solución anterior es tanto interior como exterior para un elipsoide rotatorio uniforme, y es exacta en r, es solo orden principal en la desviación de la simetría esférica. Entonces inmediatamente se extiende para dar la forma de la Tierra para una distribución de masa interior no uniforme. La estimación con una densidad uniforme es sorprendentemente buena, y esto se debe a que existen efectos competitivos que anulan en gran medida la corrección de la densidad no uniforme.
Los dos efectos en competencia son: 1. la distribución interior es más elíptica que la superficie, porque la solución interior siente que toda la Tierra elíptica circundante la deforma, con una densidad adicional que la deforma más. 2. La elipticidad del interior es suprimida por la caída de la solución cuadripolar de la ecuación de Laplace, que es más rápido que el potencial habitual. Entonces, aunque el interior está algo más deformado, la caída compensa con creces, y el efecto de la densidad adicional interior es hacer que la Tierra sea más esférica, aunque no mucho.
Estos efectos competitivos son los que cambian el factor de corrección de 2,5 a 2, que en realidad es bastante pequeño teniendo en cuenta que el interior de la Tierra es extremadamente irregular, con el centro más de tres veces más denso que las partes exteriores.
La solución exacta es un poco complicada, así que comenzaré con un modelo tonto. Esto supone que la Tierra es un elipsoide uniforme de masa M y parámetro de elipticidad , más una fuente puntual en el medio (o una esfera, no importa), lo que representa la masa extra en el interior, de masa M'. El potencial interior viene dado por superposición. Con el potencial centrífugo:
Esto tiene la forma esquemática de esférico más cuadrupolo (incluida la fuerza centrífuga dentro de F y G)
La condición de que el elipsoide es un equipotencial se encuentra reemplazando con dentro de F(r), y poniendo la parte D a cero:
En este caso, obtienes la siguiente ecuación, que se reduce al caso anterior cuando :
dónde es la fuerza centrífuga, y es la fuerza gravitacional en la superficie. Debo señalar que la parte esférica del potencial centrífugo siempre aporta un término subprincipal proporcional a a la ecuación y debe eliminarse. El resultado es
De modo que si elige que M' sea 0,2 M, obtiene la respuesta correcta, de modo que el radio ecuatorial adicional es el doble de la cantidad ingenua de .
Esto dice que el potencial en la superficie de la Tierra solo se modifica a partir de la estimación del elipsoide uniforme al agregar una esfera con el 20% de la masa total en el centro. Esto es algo pequeño, considerando que la densidad no uniforme en el interior contiene alrededor del 25% de la masa de la Tierra (la masa perturbadora es el doble de la densidad en la mitad del radio, por lo tanto, alrededor del 25% del total). La ligera diferencia se debe a la elipticidad del núcleo.
Lo principal que se pasa por alto en lo anterior es que el centro también es no esférico y, por lo tanto, se suma a la parte no esférica D del potencial en la superficie. Este efecto contrarresta principalmente la tendencia general de la masa adicional en el centro a hacer que la superficie sea más esférica, aunque de manera imperfecta, de modo que sobra una corrección.
Se puede considerar como una superposición de elipsoides uniformes de radio medio s, con parámetro de elipticidad para aumentando a medida que avanza hacia el centro. Cada uno es uniforme en el interior, con densidad de masa dónde es la densidad adicional de la Tierra a una distancia s del centro, de modo que . Estos elipsoides se superponen encima de un elipsoide de densidad uniforme de densidad igual a la densidad superficial de la corteza terrestre:
consideraré y conocido, para que yo también sepa , es derivada (negativa) con respecto a s, que es la densidad del elipsoide que agregas en s, y también sé:
La cantidad es veces la masa adicional en el interior, en comparación con una Tierra uniforme en la densidad de la corteza. Tenga en cuenta que no se ve afectado por la forma elipsoidal en orden principal, porque todos los elipsoides anidados son perturbaciones de cuadrupolo y, por lo tanto, contienen el mismo volumen que las esferas.
Cada uno de estos elipsoides concéntricos es en sí mismo una superficie equipotencial para el potencial centrífugo más el potencial de los elipsoides interior y exterior. Así que una vez que conoces la forma del potencial de todos estos elipsoides superpuestos, que es de la forma esférico + cuadrupolo + cuadrupolo centrífugo (la parte esférica centrífuga siempre da una corrección sublime, así que la omito):
Sabes que cada uno de estos elipsoides anidados es un equipotencial
de modo que la ecuación que exige que esto sea equipotencial en cualquier s es
Para encontrar la forma de F y G, primero expresa la solución interior/exterior de un elipsoide uniforme en términos de la densidad y el radio R:
Puede verificar el signo y el valor numérico de los coeficientes utilizando la regla de 3/5 para los elipsoides equipotenciales interiores, la coincidencia separada de las perturbaciones esféricas y D en r=R y el análisis dimensional. pongo un factor en el fondo de de modo que el lado derecho resuelve la forma libre constante de la ecuación de Laplace.
Ahora puede superponer todos los elipsoides, configurando en cada elipsoide para ser , configuración en cada elipsoide para ser , y ser . Solo voy a dar la solución interior en r (haciendo integración por partes en la parte esférica, donde sabes que la respuesta va a ser, y descartando alguna constante aditiva C) es:
Los primeros dos términos son la solución interior para densidad constante . El tercer término es la contribución esférica total, que es igual que en el caso simétrico esférico. El cuarto término es el potencial exterior superpuesto de los elipsoides dentro de r, y el último término es el potencial interior superpuesto de los elipsoides fuera de r.
A partir de esto, puede leer las partes esféricas y cuadripolares:
De modo que la ecuación integral para afirma que el forma es una equipotencial a cualquier profundidad.
Esta ecuación se puede resolver numéricamente para cualquier perfil de masa en el interior, para encontrar el . Esto es difícil de hacer a mano, pero puede obtener información cualitativa.
Considere una perturbación elipsoidal dentro de un elipsoide de densidad uniforme. Si deja que esta masa se asiente a lo largo de una equipotencial, se asentará con la misma forma elipsoidal que la superficie, porque la solución interior para el elipsoide uniforme es cuadrática y, por lo tanto, tiene elipsoides anidados exactos de la misma forma que las equipotenciales. Pero esta densidad adicional contribuirá menos de lo que le corresponde al potencial elíptico de la superficie, disminuyendo como la tercera potencia de la relación entre el radio de la Tierra y el radio de la perturbación. Pero producirá elipses más fuertes en el interior, de modo que el interior sea siempre más elíptico que la superficie.
La solución exacta es demasiado difícil para los cálculos con papel y lápiz, pero mirando [aquí]( http://www.google.com/imgres?hl=en&client=ubuntu&hs=dhf&sa=X&channel=fs&tbm=isch&prmd=imvns&tbnid=hjMCgNhAjHnRiM:&imgrefurl= http://www.springerimages.com/Images/Geosciences/1-10.1007_978-90-481-8702-7_100-1&docid=ijMBfCAOC1GhEM&imgurl=http://img.springerimages.com/Images/SpringerBooks/BSE%253D5898/BOK %253D978-90-481-8702-7/PRT%253D5/MediaObjects/WATER_978-90-481-8702-7_5_Part_Fig1-100_HTML.jpg&w=300&h=228&ei=ZccgUJCTK8iH6QHEuoHICQ&zoom=1&iact=hc&vpx=210&vpy=153&dur=4872&hovh=182&hovw=240&tx =134&ty=82&sig=108672344460589538944&page=1&tbnh=129&tbnw=170&start=0&ndsp=8&ved=1t:429,r:1,s:0,i:79&biw=729&bih=483 ) ,ves que es sensato modelar la Tierra como dos esferas concéntricas de radio y con masa total y y y .
voy a tomar
y
es decir, la esfera interior tiene 3000 km de ancho, con el doble de densidad, lo que es más o menos exacto. Superponiendo los potenciales y encontrando la ecuación para el s (el truncamiento de dos puntos de la ecuación integral), se encuentra
Dónde
son la fuerza gravitacional y la fuerza centrífuga por unidad de masa, como de costumbre. Usando los parámetros y definiendo y , uno encuentra:
(estas son fracciones decimales exactas, hay denominadores de 100 y 25). Restar las dos ecuaciones da:
(todavía fracciones exactas) Lo que da la ecuación
De modo que el factor de enfrente es , en lugar del ingenuo 2. Esto da un diámetro ecuatorial de 44,3 km, en lugar de 42,73, que está lo suficientemente cerca como para que el modelo básicamente explique todo lo que querías saber.
El valor de también es interesante, te dice que el núcleo de la Tierra es un 9% más excéntrico que el elipsoide exterior de la Tierra misma. Dado que la precisión del modelo está en el nivel del 3%, esto debería ser muy preciso.
En esta respuesta, presentaré un marco para usar y luego enmarcaré las respuestas anteriores dentro de ese marco. Permítanme resumir los valores que tenemos aquí. Usaré la misma notación (lo mejor posible) que todos los demás y Wikipedia para un esferoide achatado donde es el radio ecuatorial grande.
Aquí está mi enfoque:
La masa de la tierra se puede tomar como una combinación de dos formas, una esfera interior con radio y un volumen de borde, que es el esferoide achatado menos la esfera interior. La Tierra tiene una cierta densidad media definida por , pero esto se puede dividir en dos tipos diferentes de materiales, el núcleo y la corteza. El requerimiento de masa total entonces requerirá que , mientras que la densidad media de la Tierra requiere , restringiendo y por un grado de libertad. Al escribir un código podemos decir que siempre implica de acuerdo a , la densidad de la corteza también se puede tomar para implicar la densidad del núcleo. Luego, la restricción de superficie equipotencial registra otro grado de libertad, que se puede usar para encontrar iterativamente el valor de . Ilustración:
El potencial de la esfera interna es fácil. Lo escribiré para un punto en el ecuador y en el polo, combinado con los otros potenciales.
Obviamente, la parte difícil es calcular el potencial de la forma del borde ridículamente irregular. Antes de eso, sin embargo, es importante pensar en las implicaciones físicas de ver el problema de esta manera. Para empezar, ¿cuáles son las densidades relevantes para la Tierra? Aquí está la densidad promedio, y luego la densidad dentro de aproximadamente 0 a 200 km de la superficie.
Cuando realmente resolvamos el problema, especificaremos la densidad de la corteza, y eso implicará una densidad de la esfera central. ¿Es preciso este método? No. Lo principal que pasa por alto es que la esfera central no es una distribución de materia esféricamente simétrica. Las densidades teóricamente se estratificarán según líneas de potencial constante. En otras palabras, si hubiera un núcleo de alta densidad de la Tierra, también sería un esferoide achatado. Por esa razón, la introducción de la esfera interior pierde algunos detalles, pero este modelo aún podría ser bastante bueno.
Implementar esto es un poco complicado, como han señalado otros, pero centrar los cálculos en el volumen del borde ayuda mucho. También usé un método de Monte Carlo, pero resté el volumen central. Es decir, disparé puntos al azar en el volumen del borde de la manera más eficiente posible. Para hacer esto, utilicé un método ponderado y parece haber funcionado bien. Con 5 millones de iteraciones encontré variaciones aleatorias en el cálculo del potencial en tener una desviación estándar de aproximadamente de potencial gravitacional equivalente y alrededor de potencial gravitatorio equivalente en . La razón de la mayor desviación en es porque tiene más masa cerca de él, y el muestreo fue imparcial en el plano yz para los cálculos de la potencial e imparcial en el plano xy para los cálculos de la potencial. De todos modos, como iteré en el valor, establezco una tolerancia para , porque esto debería ser considerablemente más alto que la variación estadística y es lo suficientemente bueno para el cálculo de la protuberancia. En resumen, este es mi método:
Para el cálculo del potencial en
Hice esto, y para los diferentes valores de la densidad de la corteza, obtuve lo siguiente.
Pensé que estos son buenos resultados porque el primero y el último se acercan a las respuestas anteriores dentro del error numérico y el valor razonable para la densidad de la corteza se acerca al valor real de .
Si alguien está interesado, puedo considerar poner el código para esto en github o algo similar. De lo contrario, es un poco más largo que los otros publicados aquí, así que por ahora evitaré abarrotar este espacio.
Miro dos modelos de una "tierra gorda":
Para ambos análisis, uso el siguiente resultado: considere una capa delgada de material con densidad , radio medio y espesor
(Estas son coordenadas polares con , el segundo polinomio de Legendre.) Tenga en cuenta que , entonces es el aplanamiento. Es fácil demostrar que el radio medio es de hecho y la masa neta del caparazón es 0. (Piense en una densidad de masa superficial , que es negativo donde . Ignora por el momento la afisicalidad de la masa negativa; en la práctica, esta capa se superpondrá a una esfera.)
Entonces, a primer orden en f, el campo generado por esta shell es
(Aquí es el volumen de una esfera de radio .) Incluyo un resumen del cálculo al final.)
1. interior esféricamente simétrico + capa superficial
Sea la densidad media del interior y la densidad en la superficie . Entonces, con la capa superficial asférica descrita anteriormente, el potencial en la superficie es (de primer orden en f):
donde el primer término incluye el cambio en el potencial esférico (el " "término) el segundo es el potencial de cuadrupolo, y el último es el pseudo-potencial de la rotación (escrito en términos de polinomios de Legendre). En términos generales, en los polos la superficie está más cerca del centro y, por lo tanto, más profundo en el potencial bien, pero la reducción de la masa cercana contrarresta en parte este efecto.
Para el equilibrio hidrostático, este potencial debe ser independiente de , entonces:
Resolviendo:
o
Números: estoy usando kilómetros, kg/m2 , y
Casos.
2. Dos esferas achatadas superpuestas, cada una con densidad constante
Siguiendo el análisis de Ron Maimon, ahora agrego una masa central. Notación:
Se supone que ambas superficies esféricas están en equilibrio hidrostático (y, por lo tanto, achatadas). Los dos coeficientes de aplanamiento se acoplan a través de sus campos cuadripolares.
Superponiendo los campos de las dos masas, el potencial en la superficie del núcleo es:
El potencial en la superficie exterior es:
Requerir, para el equilibrio hidrostático, que no haya -dependencia da el par de ecuaciones:
Resolviendo:
Tenga en cuenta que , en consonancia con el análisis anterior.
numéricos. Usando los valores de Ron Maimon: , uno calcula y , con el resultado de que el valor de calculado en la parte 1 caso 4, , se incrementa a 2.002 (+4%) cuando se incluye la oblación del núcleo. Este efecto es menor que el efecto de la masa del núcleo en la reducción , que redujo de 2,5 a 1,923 (-23%).
Finalmente, aquí hay un resumen del cálculo del potencial debido a una capa de "cuadrupolo": aproxime la capa como una superficie de densidad de masa variable en el radio medio . Esta superficie se puede descomponer en anillos de constante con masa
El potencial generado por este anillo se calcula en Jackson, Classical EM , Sección 3.3:
Sustituyendo la densidad de masa (que es proporcional a ) e integrando sobre pone a cero todos los términos excepto el término, debido a la ortogonalidad de los polinomios de Legendre, dando el resultado indicado. (El desarrollo de es similar.)
Aquí me gustaría comprobar numéricamente la predicción teórica de un factor a diferencia del argumento original del monopolo de Mark Eichenlaub. En la práctica, esto significa calcular la diferencia de potencial gravitacional entre el polo norte y el ecuador, y dividirla por la diferencia correspondiente de potencial de monopolo. Por razones numéricas, en la práctica es mejor calcular la fracción inversa (=reciprocidad), que luego debe compararse con . Como mis habilidades de programación son limitadas, acabo de escribir un código MAPLE lento para hacer el trabajo.
b:=100; f:=.10; a:=b*(1+f); V1:=evalf(4*Pi*a^2*b/3);
xa:=a; ya:= 0; za:=0; xb:=0; yb:=0; zb:=b;
U1a := evalf(V1/sqrt(xa^2 + ya^2 + za^2));
U1b := evalf(V1/sqrt(xb^2 + yb^2 + zb^2));
Ua:=0;Ub:=0;V:=0;
for x from -a-.5 by 1 to a+.5 do
for y from -a-.5 by 1 to a+.5 do
for z from -b-.5 by 1 to b+.5 do
if (x/a)^2 + (y/a)^2 + (z/b)^2 < 1 then
Ua:=Ua + 1/sqrt((x-xa)^2 + (y-ya)^2 + (z-za)^2);
Ub:=Ub + 1/sqrt((x-xb)^2 + (y-yb)^2 + (z-zb)^2);
V:=V+1;
end if;od;od;od;
b;f;Ua;U1a;Ub;U1b;V;V1;Ub-Ua;U1b-U1a;(U1b-U1a)/(Ub-Ua);
El resultado con radio polar era
El hecho de que la estimación no mejore de la planitud. a es un artefacto de celosía, porque el espaciado de la celosía es del mismo orden que la diferencia de radio entre el polo norte y el ecuador.
Martín Gales
CAZADOR DE TROLLS
Marcos Eichenlaub
Marcos Eichenlaub
marca c
qmecanico
Ron Maimón