¿Difractón en los bordes de un objeto opaco?

Una forma de estudiar este caso es a través del análisis numérico de la difracción, como se describe en mi otra respuesta .

También puede hacer esto más o menos como lo describe a través del principio de Huygens o como lo describe Feynman en su popular libro QED. Si establece una ecuación para describir lo que ha dicho, verá que la amplitud en un punto con coordenadas transversales$X$en una pantalla a una distancia axial$d$desde el plano con el filo de la navaja es:

$$\psi(X) \approx\int\limits_0^\infty\exp\left(i\,k\,\sqrt{(X-x)^2+d^2}\right)\,{\rm d}\,x\tag 1$$

de donde parte la línea de fuentes$x=0$a$w$(el ancho de la región brillante), donde podemos tomar$w\to+\infty$si nos gusta Hemos despreciado la dependencia de la magnitud de la contribución de cada fuente con la distancia$\sqrt{(X-x)^2+d^2}$. Esto se debe a que ahora invocamos una idea del método de la fase estacionaria , según la cual solo las contribuciones del integrando en la vecindad del punto$x=X$donde la fase del integrando es estacionaria será importante. Así para$x\approx 0$podemos asumir$|X-x|\ll d$y entonces:

$$\psi(X) \approx\int\limits_0^w\exp\left(i\,k\,\frac{(X-x)^2}{2\,d}\right)\,{\rm d}\,x\tag 2$$

una integral que se puede hacer en forma cerrada:

$$\begin{array}{lcl}\psi(X) &\approx& \sqrt{\frac{2\,d}{k}}\displaystyle \int\limits_{\sqrt{\frac{k}{2\,d}}(X-w)}^{\sqrt{\frac{k}{2\,d}} X} e^{i\,u^2}\,{\rm d}\,u \\ &=& \sqrt{\frac{d}{2\,k}} e^{i\frac{\pi}{4}} \sqrt{\pi} \left({\rm Erf}\left(e^{3\,i\frac{\pi}{4}}\sqrt{\frac{k}{2\,d}}(x-w)\right)-{\rm Erf}\left(e^{3\,i\frac{\pi}{4}}\sqrt{\frac{k}{2\,d}}\, x\right)\right) \\ &=& \sqrt{\frac{d}{2\,k}} \left(C\left(\sqrt{\frac{k}{2\,d}} X\right) + i\,S\left(\sqrt{\frac{k}{2\,d}}X\right) -\right.\\ & & \qquad\left.\left(C\left(\sqrt{\frac{k}{2\,d}}(X-w)\right) + i\,S\left(\sqrt{\frac{k}{2\,d}}(X-w)\right)\right)\right)\end{array}\tag 3$$

dónde:

$$\begin{array}{lcl} C(s) &=& \displaystyle \int\limits_0^s\, \cos(u^2)\,{\rm d}\,u\\ S(s) &=& \displaystyle \int\limits_0^s\, \sin(u^2)\,{\rm d}\,u\\ \end{array}\tag 4$$

dónde$C(s)$y$S(s)$se llaman integrales de Fresnel.

Si trazo la magnitud al cuadrado de esta función (relacionada con las integrales de Fresnel) en unidades normalizadas cuando$k=d=1$y$L\to\infty$(señalando$C(\infty)=S(\infty) = -1/2$) para$X\in[-10,20]$Obtengo la siguiente trama:

que creo que es exactamente su trama con un eje horizontal reducido (la suya es probablemente la mía con la transformación$x_S = 2\,\pi\,x_R$dónde$x_S$es de satwik$x$-coordinar y$x_R$de Rod).

Nota al pie: Una de las curvas más bellas de las matemáticas de los siglos XVIII y XIX es la Espiral de Cornu, que es un caso especial de la Espiral de Euler .$\psi(X)$en (3) traza un camino en el plano complejo parametrizado por$X$, que resulta ser la longitud de arco$s$de la trayectoria espiral en$\mathbb{C}$tal que:

$$\begin{array}{lcl}x &=& {\rm Re}(\psi(s)) \propto C(s) + \frac{1}{2}\\ y &=& {\rm Im}(\psi(s)) \propto S(s) + \frac{1}{2}\end{array}\tag 4$$

y trazo el camino normalizado y desplazado$z = C(s) + i\,S(s)$Obtengo la hermosa espiral a continuación. Los pedacitos rizados giran en espiral todo el camino hasta$\pm(1+i)/2$como$s\to\infty$. El cambio y luego la toma de la magnitud al cuadrado explica por qué la gráfica de intensidad anterior no es simétrica con respecto a$X=0$, oscilando como$X\to\infty$y disminuyendo monótonamente como$X\to-\infty$.