Aproximación de campo lejano en el experimento de doble rendija de Young

Estoy estudiando algunas cosas relacionadas con el experimento de la doble rendija de Young y estoy tratando de comprender las derivaciones. La parte que no me queda clara es la aproximación de campo lejano. Es decir, entiendo lo que significa, pero no puedo obtener la misma ecuación que el tutorial.

Empezamos con una onda de longitud de onda λ = 2 π k incidente en una placa con dos agujeros de alfiler. Cada agujero de alfiler o rendija actúa como una fuente de longitud de onda λ .

La onda resultante en un punto con distancias r 1 , r 2 de las rendijas es mi i ( k r 1 − ω t ) r 1 + mi i ( k r 2 − ω t ) r 2

La aproximación de campo lejano que hacemos es r 1 , r 2 ≫ d , dónde d es la distancia entre las rendijas.

La expresión de la onda resultante debe ser 2 mi i ( k r − ω t ) r porque ⁡ ( k d 2 θ ) , dónde r = r 1 + r 2 2 y θ - pequeño ángulo de desviación de la normal a la pantalla en la que se encuentran las rendijas.

Es esta última expresión la que me gustaría obtener. Cualquier consejo o pista (preferiblemente) es apreciada.

Respuestas (2)

Pediste una pista... expresa tus ecuaciones como r 1 = r + d y r 2 = r − d ; luego tenga en cuenta que el término de intensidad ( 1 / r 1 y 1 / r 2 ) será básicamente el mismo para ambos (reemplazar como arriba, y el d el término se desvanecerá), y las cosas encajarán en su lugar. Es posible que deba recordar que mi i ϕ = porque ⁡ ϕ + i pecado ⁡ ϕ

Lo dejare como ejercicio a ver como d se relaciona con d , λ y θ ... como señala Emilio Pisanty en el comentario, es posible que deba recordar que para pequeños θ , θ ≈ pecado ⁡ θ ≈ broncearse ⁡ θ .

Podría valer la pena señalar que la estricta relación geométrica entre d , λ y θ no producirá el resultado citado en la pregunta. Además de la geometría, es necesario considerar la relación entre pecado ⁡ ( θ ) , broncearse ⁡ ( θ ) , y θ cuando este último es pequeño.
Gracias. Cuál es el d ¿término? ¿Es algún valor arbitrariamente pequeño?
@MadPhysicist: no es arbitrariamente pequeño: si dibuja un diagrama de los rayos de los dos agujeros que llegan a la pantalla, verá que a medida que aumenta la distancia a la pantalla, los dos rayos se volverán "más y más paralelos"; la diferencia en la distancia a la pantalla se sigue de la geometría simple.
Está bien. Entiendo. Es la diferencia en la longitud de los caminos recorridos.
¡Agradezco la ayuda de ambos! He publicado mi propia respuesta basada en las sugerencias que me diste. Como última parte, ¿figura la longitud de onda en la derivación? ¿Hay algún caso límite o intuición al acecho?
la longitud de onda "se esconde" en k , por supuesto, pero en realidad no proporciona ninguna intuición útil (aparte de que está suponiendo que el ángulo es pequeño, por lo que k d debe ser pequeño, entonces λ ≪ d

Estoy respondiendo mi propia pregunta con la ayuda de @Emilio Pisanty y @Floris. ¡Muy apreciado!

Aquí va.

Considere la diferencia entre los caminos recorridos por la onda emitida por la rendija 1 y la onda emitida por la rendija 2. Llámelos r 1 y r 2 . La diferencia es 2 d = r 1 − r 2 . Entonces, r 1 = r + d y r 2 = r − d . Eso es, r - promedio entre r 1 y r 2 .

Además, considere los términos de intensidad 1 r 1 = 1 r + d y 1 r 2 = 1 r − d . Como r 1 , r 2 >> d , los dos rayos se vuelven cada vez más paralelos. Es decir, la diferencia entre ellos se vuelve cada vez más pequeña. Desde d = d pecado ⁡ θ , dónde θ → 0 , tenemos d → 0 . Las intensidades son las mismas para todos los propósitos prácticos en la aproximación de campo lejano. Esto tiene sentido intuitivamente.

Consideremos la expresión original:

mi i ( k r 1 − ω t ) r 1 + mi i ( k r 2 − ω t ) r 2 = mi i ( k r + k d − ω t ) r + mi i ( k r − k d − ω t ) r = mi i ( k r − ω t ) r ( mi i k d − mi − i k d ) = 2 mi i ( k r − ω t ) r porque ⁡ k d

Desde d = ( pecado ⁡ θ ) d 2 y pecado ⁡ θ → θ como θ → 0 , obtenemos las expresiones finales:

2 mi i ( k r − ω t ) r porque ⁡ ( k d 2 θ )

Me alegro de que hayas podido obtener la derivación con "un poco de ayuda de tus amigos". Bien hecho.
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