Velocidad y energía cinética, violando la relatividad galileana

En todas tus cifras te estás refiriendo a la velocidad del vehículo con respecto a la superficie de la tierra. Como no puedes saber la velocidad de la Tierra, no tienes acceso a un marco de referencia absoluto. Tiene acceso a la velocidad relativa del vehículo, pero, por supuesto, eso también se puede hacer como un velocímetro.

Si, en cambio, quiere decir que podría determinar la velocidad del automóvil en relación con el suelo, entonces eso es cierto. Dado que el automóvil acelera empujando el suelo, la velocidad relativa del suelo es importante. Si tuvieras un auto que operara como un cohete puro y no interactuara con la superficie, esto no sería posible.

¿Cómo puedes realmente calcular esto sin pensar en la tierra?

Porque la tierra es tan masiva que en cualquier interacción humana, no podemos medir la aceleración o la velocidad resultante. Sí, la tierra acelerará hacia atrás cuando conduzca su automóvil, pero la energía que consume es muchos órdenes de magnitud menor que la energía que le da a su automóvil en ese marco. Ignorar esto está bien.

Solo en los fotogramas en los que la tierra ya se está moviendo tenemos una preocupación. El trabajo realizado sobre la tierra (o por la tierra) es igual a$F \times d$o$Fvt$. En el centro de masa en el marco de reposo,$v$es tan cercano a cero que este término desaparece.

El trabajo realizado por la batería depende del marco. Para aclarar mi punto y simplificar las matemáticas, asumo que la batería funciona aplicando la fuerza en un solo punto, en lugar de aplicar fuerzas en múltiples cargas para mover la corriente. También estaré haciendo cosas en 1d. Puede pensar en este caso particular de la batería como algo así como un resorte comprimido, si le ayuda. Suponiendo que inicialmente la energía potencial de la batería era$V$y finalmente fue$0$, y que el coche estaba inicialmente en reposo se puede decir

$$V = \frac{1}{2}mv_f^2$$ dónde$v_f$es la velocidad final del automóvil después de que se haya gastado toda la energía de la batería. Ahora, para un marco que se mueve con respecto al marco del suelo a una velocidad$v_{rel}$, podría estar tentado a decir que la ecuación de energía en ese marco sería $$\frac{1}{2}mv_{rel}^2 + V = \frac{1}{2}mv_f'^2$$ dónde $$v_f' = v_f - v_{rel}$$ Pero esto está mal. Para ver esto, sustituya la ecuación de transformación de Galileo en ella $$\frac{1}{2}mv_{rel}^2 + V = \frac{1}{2}m(v_f - v_{rel})^2$$ $$V = \frac{1}{2}mv_f^2 - mv_{rel}v_f$$ lo que claramente contradice la primera ecuación. La respuesta está en el principio de la energía del trabajo. Antes de aplicar esto en el cuadro en movimiento, recuerda que$x$y$x'$están relacionados por la regla de transformación de Galileo $$x' = x - v_{rel}t$$ y entonces $$dx' = dx - v_{rel}dt$$ Entonces, al integrar para calcular el trabajo, hay dos contribuciones. El punto de aplicación de la fuerza se mueve debido a la fuerza aplicada ($dx$) y también porque el punto en sí se está moviendo en relación con el marco en movimiento ($v_{rel}dt$). Ahora aplicando energía de trabajo, obtenemos $$\frac{1}{2}mv_f'^2 - \frac{1}{2}mv_{rel}^2 = \int F dx'$$ $$= \int F dx - v_{rel} \int F dt$$ $$= V - mv_{rel}(v_f' + v_{rel})$$ El primer término es simplemente el trabajo realizado por la batería en el marco estacionario, es decir, V. El segundo término tiene el impulso de la fuerza, por lo que es solo la diferencia entre el momento inicial y el final. El signo más está ahí porque el momento inicial en el marco móvil es$-mv_{rel}$. Esta es la ecuación de energía real que debe tener en el marco móvil. Para verificar su consistencia, reemplace todos los$v_f'$con$v_f - v_{rel}$Llegar $$\frac{1}{2}m(v_f - v_{rel})^2 - \frac{1}{2}mv_{rel}^2 = V - mv_{rel}v_f$$ $$\implies \frac{1}{2}mv_f^2 = V$$ que concuerda con la primera ecuación.

En esencia, sucede algo similar en 3 dimensiones con todas las fuerzas complicadas en su batería. La pantalla solo muestra el trabajo que puede hacer en el marco del suelo. El trabajo que puede hacer en cualquier otro marco móvil es diferente. La forma correcta de pensar en este tipo de problemas de energía es siempre a través del principio de trabajo y energía.

Tienes razón en que este es un truco sutil, porque la cantidad por la que se agota la batería (en efecto, cuántas moléculas de químicos de la batería reaccionan) no es algo lo suficientemente trivial como para ser transformado simplemente por un cambio en el marco de referencia, y puedes de hecho, use esto para señalar un marco de referencia "preferido" para el problema.

En particular, este marco de referencia especial será el de la Tierra, y eso debería ser una pista. Piense en cómo el vehículo realmente acelera hasta alcanzar la velocidad en primer lugar. ¿Puede hacer esto simplemente flotando en el espacio vacío? ¡No! Necesita estar en contacto físico con algo para moverse, y cuando estás en la Tierra, esa cosa es la superficie de la Tierra (en un sentido general). Y esto es lo que selecciona el marco de referencia que obtienes. Si lo ejecuta en un espacio vacío, la batería aún se agotará, pero las ruedas simplemente girarán inútilmente y no se producirán cambios problemáticos de energía cinética. Si coloca el vehículo en otro planeta, como la Luna o Marte, su batería también "seleccionará" ese planeta como su marco "preferido".

Por supuesto, esto es sólo un componente del problema. El otro componente es ¿cómo reconciliamos los 4 julios, digamos, quemados por la batería en cada marco de referencia, con la producción de más o menos julios en otro marco de referencia? Es decir, si cambiamos a un marco de referencia donde la ganancia de energía cinética es de solo 2 julios, ¿a dónde fueron los otros 2 julios? Y resulta que si lo resuelves, la respuesta es que entraron en la Tierra. Aumentaron su energía cinética en 2 julios. Del mismo modo, si estamos en un marco donde la ganancia de energía cinética es, digamos, 6 julios, el exceso de 2 julios más allá de lo que la batería colocada vinola Tierra: en tal marco, parece que la Tierra se desaceleró un poco; tenga en cuenta que con un marco de referencia que se mueve adecuadamente, cualquier objeto que "acelere" puede parecer que está "desacelerando", al menos por un tiempo, y viceversa.

(Finalmente, tenga en cuenta que en realidad no verá ninguno de estos cambios en el movimiento de la Tierra en ningún sentido razonable. Con una masa de$6 \times 10^{21}$toneladas, un cambio de dos julios en la energía cinética puede, como mucho, cambiar la órbita de la Tierra en aproximadamente$10^{-29}\ \mathrm{m/s}$, que es más o menos equivalente a un movimiento del tamaño de un protón, ¡durante todo el lapso transcurrido de existencia de la especie humana!)