Energía del objeto decaído en energía cinética

No mostraste tus ecuaciones, así que es difícil decir por qué obtuviste esa respuesta no física. Quizás trató de sumar velocidades linealmente en lugar de usar la fórmula relativista adecuada para la composición de velocidades .

Para el movimiento colineal, la fórmula (que se puede derivar fácilmente de las transformaciones de Lorentz ) es

$$w = \frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}}$$

Digamos que tenemos un cuerpo$A$moviéndose en el$x$dirección con velocidad constante$u$según un observador inercial$O$. Un cuerpo$B$moviéndose en el$x$dirección que tiene velocidad$v$en$A$El marco de referencia de no tendrá una velocidad de$u+v$en$O$marco de . En cambio, su velocidad será$w$calculado por la fórmula anterior.

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Para calcular la velocidad correcta para su problema de aniquilación total, solo necesitamos usar las leyes de conservación de la energía y del momento, junto con las fórmulas relevantes de la Relatividad Especial para la energía y el momento. Por supuesto, este es un escenario muy idealizado, ya que los fotones producidos en la aniquilación se emitirán en direcciones aleatorias y no es posible forzarlos a ir en una dirección: necesitarías una cámara de reacción revestida con algún material asombroso que pueda reflejan perfectamente los fotones gamma, sin producir calor residual (que se emite en direcciones aleatorias). Pero de todos modos...

Estas son las ecuaciones que necesitamos para nuestros cálculos. En primer lugar, la relación energía-cantidad de la Relatividad Especial:

$$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 \tag{1}$$

dónde$E$es la energía total,$p$es el impulso y$m$es la masa (en reposo) del objeto;$c$, por supuesto, es la velocidad de la luz.

También necesitamos la ecuación relativista para el momento:

$$p = mv\gamma \tag{2}$$

dónde$\gamma$es el factor de Lorentz :

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \tag{3}$$

Tenga en cuenta que

$$\gamma^2 = \frac{c^2}{c^2 - v^2} \tag{3a}$$

Para un cuerpo sin masa (por ejemplo, un fotón), la ecuación (1) se simplifica a

$$E = |pc| \tag{1a}$$

Y al combinar (1) y (2) obtenemos

$$E = mc^2\gamma \tag{1b}$$

para un cuerpo de masa distinta de cero. Para un objeto en reposo, que simplifica al famoso

$$E = mc^2 \tag{1c}$$

Sea la masa inicial del cuerpo$m$, y su masa final (después de que parte de ella sea aniquilada) sea$km$, dónde$0 < k \le 1$.

Dejar$E_i$Sea la energía inicial del cuerpo,$E_f$su energía final y$E_l$la energía de la luz emitida. Por conservación de la energía,

$$E_i = E_l + E_f \tag{4}$$

El momento inicial del cuerpo (en el marco de reposo) es cero, sea$v$Sea su velocidad final y$p$ser su impulso final. Por conservación de la cantidad de movimiento, la cantidad de movimiento de la luz emitida debe ser$-p$y por lo tanto su energía es$pc$. La masa final del objeto es$km$, entonces de (2)$p = kmv\gamma$

De este modo

$$\begin{align}\\ E_i & = mc^2\\ E_f & = kmc^2\gamma\\ E_l & = kmvc\gamma\\ \end{align}$$

Tenga en cuenta que$E_l/E_f = v/c$

Poniendolo todo junto:

$$\begin{align}\\ E_i & = E_f + E_l\\ mc^2 & = kmc^2\gamma + kmvc\gamma\\ mc^2 & = kmc(c+v)\gamma\\ c & = k(c+v)\gamma\\ c^2 & = k^2(c+v)^2\frac{c^2}{c^2 - v^2}\\ k^2 & = \frac{c^2 - v^2}{(c+v)^2}\\ k^2 & = \frac{c-v}{c+v}\\ k^2c + k^2v & = c-v\\ v + k^2v & = c - k^2c\\ v(1 + k^2) & = c(1 - k^2)\\ v & = \frac{1 - k^2}{1 + k^2}\,c \tag{5}\\ \end{align}$$

Así cuando$k=1/2$,$v=3c/5$

Con un poco más de álgebra, se puede demostrar que

$$\begin{align}\\ \gamma & = \frac{1+k^2}{2k}\\ E_f/E_i & = \frac{1+k^2}{2}\\ E_l/E_i & = \frac{1-k^2}{2}\\ \end{align}$$

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Si el cuerpo se descompone exponencialmente , entonces experimentará una aceleración constante, en el sentido de que si estuvieras viajando en una nave espacial impulsada por este proceso, experimentarías una aceleración que se siente como una fuerza gravitatoria constante. Para mostrar esto, necesitamos algunos cálculos y la fórmula para la composición de velocidades dada al comienzo de esta respuesta. Primero, reorganizaremos ligeramente la ecuación (5).

$$\begin{align}\\ v & = \frac{1 - k^2}{1 + k^2}\,c\\ v & = \frac{k^{-1} - k}{k^{-1} + k}\,c\\ \end{align}$$ Ahora deja $k = e^{-\lambda T}$, dónde $\lambda$es la tasa de decaimiento y $T$es el tiempo propio del objeto. Así, el cuerpo sufre un decaimiento exponencial, según los relojes que viajan con él.

$$\begin{align}\\ v & = \frac{e^{\lambda T} - e^{-\lambda T}}{e^{\lambda T} + e^{-\lambda T}}\,c\\ v & = c \tanh(\lambda T) \tag{5a}\\ \end{align}$$

Ahora necesitamos mostrar que esta es la misma fórmula que surge para un objeto que sufre una aceleración constante. A veces se dice que las fórmulas de la Relatividad Especial solo se aplican a la velocidad constante, pero eso no es estrictamente cierto: pueden usarse para acelerar objetos en un espacio-tiempo plano, solo debes tener cuidado. ;) El truco consiste en usar una secuencia de marcos de referencia inerciales que en cada paso coincidan las velocidades con el cuerpo que acelera.

Dejar$a$Sea la aceleración y$v$la velocidad actual del cuerpo. Aplicamos un pequeño impulso$a\Delta T$a su velocidad y use la fórmula de composición de velocidad para ver cuánto aumenta numéricamente su velocidad.

$$\begin{align}\\ v + \Delta v & = \frac{v + a \Delta T}{1 + va \Delta T / c^2}\\ \Delta v & = \frac{v + a \Delta T - v - v^2a \Delta T / c^2}{1 + va \Delta T / c^2}\\ \frac{\Delta v}{\Delta T} & = \frac{a (1 - v^2 / c^2)}{1 + va \Delta T / c^2}\\ \frac{\Delta T}{\Delta v} & = \left(\frac{1}{a}\right) \frac{1 + va \Delta T / c^2}{1 - v^2 / c^2}\\ \end{align}$$

Tomando el límite como$\Delta T \to 0$, el$va \Delta T / c^2$término se desvanece,

$$\frac{dT}{dv} = \left(\frac{1}{a}\right) \frac{1}{1 - v^2 / c^2}$$

integrando,

$$\begin{align}\\ T & = \frac{1}{a} \int \frac{dv}{1 - v^2 / c^2}\\ T & = \frac{c}{a} \tanh^{-1} \left(\frac{v}{c}\right)\\ v & = c \tanh \left(\frac{aT}{c}\right) \tag{6}\\ \end{align}$$

La constante de integración es cero porque$v=0$cuando$T=0$.

Vemos que la ecuación (6) tiene la misma forma que la ecuación (5a), con$\lambda = a/c$, entonces la aceleración del objeto es simplemente$c\lambda$.

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Apéndice

Para responder a su pregunta original (totalmente no física), donde la masa aniquilada se convierte mágicamente en energía cinética del objeto sin que se emita nada , podemos usar$mc^2 = kmc^2\gamma$, es decir,$k\gamma = 1$, y$v = c \sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}}$. Entonces para$k = 1/2$(la mitad de la masa original es aniquilada),$\gamma = 2$y$v = c \sqrt 3 / 2 \approx 0.866c$.

Aunque tal descomposición es físicamente casi imposible, abordaré algunos problemas aquí.

Creo que no ha calculado que la energía liberada disminuye con el tiempo, ya que queda cada vez menos sustancia radiactiva y la velocidad tampoco debería acercarse al infinito (si hay suficiente energía disponible, que no lo está ), debería acercarse a la velocidad de la luz, ya que cuando aumenta la energía cinética de un objeto, su masa aumenta (ya que ya no está en reposo), por lo que requiere más y más energía para aumentar su velocidad, por lo que, a medida que se acerca a la velocidad de la luz, necesitará una cantidad infinita de energía para llegar a esa velocidad.

Ahora recalco nuevamente que incluso si toda la masa se convirtiera en energía, se liberaría una cantidad finita , por lo que al final, incluso la masa más pequeña no puede alcanzar el límite de velocidad (velocidad de la luz). Al final los restos de masa obtendrían una velocidad menor que la velocidad de la luz.

A medida que la descomposición se acerca al último átomo y la energía de la masa original,$M$todo se convierte en energía cinética, dependiendo de la masa original,$M$La ecuación para calcular dicha velocidad,$v$se da a continuación donde$M$es la masa original y$m$es la masa del último átomo radiactivo que queda si todos$M$finalmente se convierte en energía cinética.