Algunos cálculos sobre el consumo de energía de un cohete relativista

Creo que tienes la fórmula equivocada. No estoy seguro de entender todos los pasos que tomó para derivarlo.

Quieres un motor de materia-antimateria. Básicamente, esto produce fotones que disparas detrás de tu nave, en un proceso que conserva el 4-momentum. Ahora, suponga que parte del reposo y acelera. Si$m_0$es la masa inicial de su barco,$m$es la masa final y$E$es la energía de la luz emitida, por conservación del impulso-4 tenemos:

$$m_0 c^2 = \gamma m c^2 + E$$ $$0 = \gamma m v -E/c$$ La primera ecuación expresa la conservación de la energía, mientras que la segunda expresa la conservación del impulso. eliminando $E$obtenemos: $$\frac{m}{m_0}=\sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}$$ o usando la masa como variable: $$v=c\frac{m_0^2-m^2}{m_0^2+m^2}$$ Esto es mucho más favorable que una función exponencial.

quieres hacer$m/m_0$lo más pequeño posible. La limitación real para viajar, además del motor real que tienes que construir, es la cantidad de antimateria que necesitas. Di que quieres llegar a$v=0.9c$y suponga que la masa del cohete en sí es una conservativa$m\approx 1000 kg$. Si quemas todo el combustible, necesitarás una masa de combustible igual a:

$$m_f = \left(\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}-1 \right) m \approx 4400 kg$$ Por lo tanto, necesitará aproximadamente dos toneladas de antimateria.

Tenga en cuenta, sin embargo, que esto no dice nada sobre el tiempo que llevará alcanzar esa velocidad.

EDITAR: Algunas personas pueden estar confundidas en cuanto a por qué otras respuestas dan fórmulas diferentes. La fórmula más general para el movimiento de un cohete viene dada por:

$$v=c\tanh{\left(\frac{I}{c}\log{\frac{m_0}{m}}\right)}$$ que también se puede formular en términos de la rapidez $r=\tanh^{-1}(v/c)$. $I$se conoce como el impulso específico. En el caso de un impulsor de fotones, para el cual $I=c$, esto se reduce a la fórmula que doy arriba. Observe que la fórmula general es más difícil de obtener.

Has cometido dos errores aquí.

El primer error es que no puedes simplemente convertir la energía de la masa en energía cinética, ya que eso claramente viola la conservación del impulso. La relación entre el impulso entregado y la masa de combustible se llama impulso específico, denotado por$I$. Tenga en cuenta que esto tiene unidades de velocidad. El valor más alto posible para el impulso específico incluso en principio es$c$, logrado cuando el combustible se puede convertir en fotones directamente, exactamente en la dirección correcta.

Se puede demostrar que la ecuación relativista del cohete está dada por:

$$\Delta r= \frac{I}{c}\ln\frac{m_0}{m}$$ dónde $r$es la rapidez.

Con el mejor impulso específico posible, en términos de$\gamma$, y suponiendo que inicialmente está en reposo, esto se convierte en

$$\gamma=\cosh\ln\frac{m_0}{m}$$

Suponiendo la final$\gamma$es grande, esto se simplifica a

$$m_0=2\gamma m$$

Su otro error fue en los diferenciales. El segundo debe ser$dE=\gamma c^2 dm+mc^2 d\gamma$.

El problema con este enfoque es la suposición de que la masa en reposo "perdida" del cohete es igual a la energía cinética del cohete. No puede hacer esa suposición, sobre todo porque el escape también tiene energía cinética. Realmente tienes que volver al enfoque fundamental, por la conservación del momento en el marco que siempre se mueve momentáneamente con el cohete. Puede trabajar con algo como el enfoque que propone, pero debe tener en cuenta la energía cinética del combustible expulsado y también debe tener en cuenta la conservación del impulso: esta segunda ecuación le dice cuánto de la masa en reposo expulsada se convierte en energía cinética. del cohete John Baez cuenta bien la historia de un problema similar en su sitio web(busque "Cohete relativista John Baez" si el enlace se rompe). Mire la sección "Cuánto combustible se necesita". Está asumiendo la condición óptima donde el escape es expulsado a la velocidad de la luz y se logra una conversión perfecta de combustible a luz. Su situación es un poco más general (sin velocidad de la luz, escape de masa en reposo no cero).

Trabajemos en el marco adecuado del Rocket. En el marco inercial momentáneamente comóvil, el cohete convierte una pequeña cantidad de combustible de masa en reposo$\delta\,m$en energía total del escape - cuidado: la masa restante del escape$\delta\,m_e$es diferente de$m$porque parte del combustible contribuye a la energía total representada por el impulso del escape. La energía total del escape es$\sqrt{(\delta\,m_e)^2+(\delta\,p)^2}$(estoy trabajando con$c=1$para que eso sea,$\delta\,m^2 = \delta\,m_e^2 + \delta\,p_e^2$(estoy trabajando con$c=1$). En el cálculo de John Baez, está asumiendo un haz de luz como escape, de modo que$\delta\,m = \delta\,p_e$porque el escape no tiene masa en reposo. En general, tenemos una relación.$\delta\,p_e = \kappa_e\,\delta\,m$, donde el$\kappa_e\leq 1$depende de la mezcla de partículas que se arroja. Para un cohete simplificado, asumimos un proceso uniforme de combustión de combustible, de modo que$\kappa_e$se supone constante y caracteriza completamente el proceso de quemado para los propósitos de este problema. De nuevo,$\kappa_e=1$para el caso de John Baez con escape a la velocidad de la luz y sin masa.

Como en la mecánica newtoniana, simplemente aplicamos la conservación de la cantidad de movimiento al marco que se mueve momentáneamente, pero debemos reemplazar el incremento en la velocidad con el incremento en la rapidez. Esto se debe a que las rapidezes de las transformaciones de Lorentz colineales se suman linealmente y queremos calcular el cambio total en el movimiento en relación con nuestro marco inicial como una composición de aumentos infinitesimales (hablo más sobre esta idea aquí) como una suma simple (integral). Así que ahora tenemos la ecuación diferencial para la rapidez del cohete en relación con su marco inicial:

$$m\,\mathrm{d}\eta = -\kappa_e \mathrm{d} m$$

de modo que$\eta = -\kappa_e\,\log\left(\frac{m}{m_0}\right)$. A continuación, puede convertir esto en una ecuación para$\gamma$factores a través de$\cosh\eta = \gamma$. Para grande$\gamma$, y para el caso perfectamente eficiente de escape a la velocidad de la luz ($\kappa_e=1$), tenemos$m_0\approx 2\,\gamma\, m$; es decir, necesitas un cohete que convierta$\frac{1\,999}{2\,000}$de su masa para agotar y tener una carga útil de$5\times 10^{-4}$de su masa inicial.

Uno puede, por supuesto, ceñirse a las velocidades relativas al marco inicial, pero la integral va a ser mucho más complicada para tener en cuenta la dilatación del tiempo en el camino.

Desafortunadamente, si ahora agrega la restricción de que la aceleración adecuada debe ser razonable ( es decir, que los humanos puedan sobrevivir, por ejemplo), tomará un tiempo terriblemente largo para alcanzar la altura.$\gamma$y viajar distancias significativas. Para llegar a la galaxia de Andrómeda en$1\,g$la aceleración toma del orden de$3\,000$años.

También asegúrese de leer la Sección 6.2 de Misner Thorne y Wheeler "Gravitation" para conocer los antecedentes. Una observación clave útil en estos cálculos es que las cuatro velocidades de cualquier objeto siempre tienen la norma unitaria de Minkowski.