Partición de la energía cinética en componentes en relatividad

Lo que estás buscando es una función de$f(v_i)$tal que$f(v_x) + f(v_y) + f(v_z) = KE$.

En el caso de la física newtoniana,$f(v_i) = \frac{1}{2}mv_i^2$.

En el caso de la relatividad especial, es imposible encontrar tal función.

Prueba por contradicción: Supongamos que tal$f$existió Ahora imagina tres objetos de masa$m$, cada uno con una velocidad diferente:

Objeto$A$es estacionario Su energía cinética, denotada$KE_A$, es igual a$0$. Esto implica que$f(0)+f(0)+f(0)=0$, y por lo tanto$f(0)=0$.

El objeto B viaja en el$x$dirección con velocidad$v_x=\frac{3c}{5}$. Por lo tanto tiene energía cinética.$KE_B = \frac{1}{4}mc^2$. Junto con el resultado para el objeto A, esto implica que$f(\frac{3c}{5}) = \frac{1}{4}mc^2$.

El objeto C viaja tanto en el$x$dirección y la$y$dirección. Sus componentes de velocidad son$v_x=v_y=\frac{3c}{5}$. Su velocidad total es$v = \sqrt{2}\frac{3c}{5}$. Tenemos:$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{18}{25}}} = \frac{5}{\sqrt{7}}$. Por lo tanto,$KE_C=\frac{5\sqrt{7}-7}{7}mc^2$. Sin embargo, también debe ser cierto que$KE_c = f(\frac{3c}{5}) + f(\frac{3c}{5}) = \frac{1}{2}mc^2$.

Como estas dos respuestas son diferentes, tenemos una contradicción.

QED

Creo que todavía sería posible determinar componentes relativistas en cada dirección espacial. Habría que saber las velocidades relativas$\beta = \frac{v}{c}$escriba la luz para cada dirección y multiplique cada componente por los valores gamma x, y y z.$\gamma = \frac{1}{\sqrt(1-\beta^2)}$

Aunque Ricky Tensor tiene toda la razón, me gusta entender visualmente la relatividad especial a través de hipérbolas. Considere este diagrama de espacio-tiempo:

La pendiente de las líneas verdes representa la velocidad de la luz. La flecha morada representa tu movimiento durante 1 segundo, tal como lo percibes tú mismo: no te mueves. La flecha azul representa el mismo movimiento percibido por alguien por el que pasas en el origen; en este caso, puedes ver que tu velocidad, tal como la ve ese observador, es aproximadamente$\frac35$de la velocidad de la luz.

La ley de la relatividad especial dice que tu desplazamiento alcanzará la misma hipérbola roja (cuya asíntota es la velocidad de la luz) independientemente de tu velocidad con respecto al observador. Por el contrario, cualquier desplazamiento que termine en esa hipérbola debe haber tomado 1 segundo para la persona que se mueve. Eso es lo que llaman el "momento adecuado" de la moción.

Al mismo tiempo, al cambiar las etiquetas de los ejes, puede pensar que estas flechas representan su "velocidad del espacio-tiempo": se mueve según la flecha púrpura por segundo del tiempo propio tal como lo ve usted mismo, o se mueve según la flecha azul por segundo. del tiempo propio visto por ese otro observador. Eso es lo que llaman la 4-velocidad, porque tiene un componente de tiempo además de los espaciales. En esta imagen, por ejemplo, el componente de tiempo que usted ve es 1 segundo de tiempo percibido por 1 segundo de tiempo propio, mientras que lo que ve el observador es aproximadamente 1,2 segundos de tiempo de observador por 1 segundo de tiempo propio. Sin embargo, multiplicamos la componente del tiempo por la velocidad de la luz para que tenga unidades de velocidad como las demás. Entonces, el componente de tiempo aquí es en realidad solo$c$por ti mismo, o$1.2c$para el observador.

Sin relatividad, esperaríamos que la flecha azul terminara en el mismo valor de tiempo que la violeta, porque pensaríamos que el tiempo de tu movimiento es el mismo para todos. Pero como puedes ver, en relatividad es más largo.

Del mismo modo, el componente espacial de su velocidad 4 es mayor que su velocidad normal, porque la distancia se alarga, pero el tiempo adecuado sigue siendo 1 segundo.

Ahora, para obtener energía relativista, en realidad solo multiplicas la velocidad 4 por$mc$, y observe el componente de tiempo. Para la velocidad 4 púrpura, recuerda que el componente de tiempo es$c$, por lo que se convierte en$mc^2$. Pero para el azul, es un poco más grande; de ​​hecho, cuando haces los cálculos, resulta ser más grande por$\frac12mv^2$, a primer orden . Y realmente, es por eso que llamamos "energía" a ese componente del tiempo: porque para velocidades bajas, tiene la misma fórmula que la energía cinética newtoniana ... más esta curiosa compensación constante de$mc^2$, que Einstein, por asociación, se dio cuenta de que debe ser energía ligada a la masa misma.

Pero ese término newtoniano es sólo la aproximación de primer orden; para velocidades altas, debe agregar términos adicionales. Y eso es porque la curva roja es una hipérbola , NO una parábola. Simplemente parece una parábola cerca del centro (velocidades bajas).

Y para responder a su pregunta, puede ver lo que sucede cuando agrega más dimensiones espaciales. Con una segunda dimensión espacial, la hipérbola se convierte en un hiperboloide de revolución sobre el eje del tiempo. De nuevo, cerca del centro parece un parabaloide cuyo valor es$mc^2 + \frac12mv^2$, y desde$v^2 = v_x^2 + v_y^2$, puede separar las contribuciones de los componentes. En realidad, eso se debe a que las secciones transversales de un paraboloide son parábolas idénticas con diferentes compensaciones. Pero no ocurre lo mismo con un hiperboloide, por lo que la fórmula general (de alta velocidad) no es separable así.