¿Hay un límite de densidad de energía en GR?

Question

¿Hay un límite de densidad de energía en GR?

John

Estoy hablando de GR con campos y energía clásicos. Una pregunta, repartida en tres situaciones cada vez más estrictas:

¿Hay un límite de densidad de energía en GR? (literalmente, ¿puede la densidad de energía tener un valor arbitrariamente grande en algún punto del espacio en algún momento)

¿Existe un límite de densidad de energía más allá del cual siempre se formará un agujero negro?

Elijamos un volumen pequeño, porque aquí solo elegiré el volumen de Planck. ¿Existe un límite de densidad de energía promedio sobre este volumen más allá del cual siempre se formará un agujero negro?

Aclaración:

A la luz de http://en.wikipedia.org/wiki/Mass_in_general_relativity , ¿pueden aquellos que responden que la densidad de energía es limitada y se refieren a una masa? $M$ en algunas ecuaciones, indique específicamente cómo está definiendo el $M$ en términos de la densidad de energía, o definiendo $M$ en términos de $T^{\mu\nu}$ el tensor tensión-energía. Tu $M$ depende de la elección del sistema de coordenadas?

Además, al leer algunos comentarios, parece que hay confusión sobre lo que significa la densidad de energía. Basado en wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/File:StressEnergyTensor.svg , parece que podemos considerar la densidad de energía = $T^{00}$ del tensor tensión-energía. Si cree que esta no es la terminología correcta, explique y editaré la pregunta si es necesario.

John

Solía haber otra respuesta agradable que tenía votos positivos, y ahora ya no está. ¿Qué sucedió? ¿Un moderador censura las respuestas?

usuario346

@John, lo dudo. Los moderadores no borran las respuestas por casualidad. Debe haber sido el cartel que tuvo dudas sobre su respuesta.

Motl de Luboš

Querido John, sí y no. La respuesta fue eliminada por un moderador, de hecho, el moderador principal de este servidor. Sin embargo, la respuesta también fue eliminada por su autor. Es porque el autor de la respuesta y el moderador principal en este servidor es la misma persona, David Z. Se eliminó después de que otro usuario encontrara una falla en el argumento relacionado con la libertad de coordenadas.

John

Roy había escrito una pequeña discusión agradable. ¡Y ahora esa respuesta también ha sido eliminada! Esperaba que durante esta última semana Deepak también agregara su propia respuesta ya que aparentemente Edward está simplificando demasiado algo. En lugar de más discusión, casi literalmente una cantidad negativa. Todo lo contrario de lo que esperaba que hiciera la recompensa. :( ... Me rindo.

Roy Simpson

Tenía una respuesta y una respuesta extendida por escrito, pero las eliminé debido al hecho de que todavía hay demasiadas incertidumbres en torno a esta pregunta. Lo que inclinó la balanza para mí fue darme cuenta de último minuto de que el libro MM no necesariamente equipara "densidad de energía" con

T^{00}

$T^{00}$ o. El libro MM analiza la densidad de energía adecuada , pero el libro es débil en las explicaciones basadas en Tensor de sus términos. Entonces, otra incertidumbre es si el argumento MM ya acepta la respuesta de Edward, por así decirlo. Combinado con las incertidumbres de definición de aro y masa, hubo [cont.]

Roy Simpson

... no es lo suficientemente definitivo como para dar una respuesta diferente a un gran signo de interrogación. Sin embargo, la respuesta de Lawrence (y comentarios similares) se encuentran en la literatura (no solo en el libro MM), pero no están relacionados con

T^{00}

$T^{00}$ sí mismo, tal vez ni siquiera para

T^{a b}

$T^{ab}$ . No sé si están "equivocados" o si importa que

T^{00}

$T^{00}$ no se usa en estos argumentos. Estoy seguro de que la investigación continuará sobre estos temas.

Eduardo

Las definiciones de @Roy Mass y la conjetura del aro son, de hecho, algunos seguimientos interesantes de esta pregunta. Sin embargo, no estoy del todo seguro de que el libro de MM esté hablando de densidad de energía 'adecuada', ya que la usa para reclamar un límite en el campo eléctrico. Incluso en SR, no creo que tenga sentido tratar de definir una densidad adecuada para una onda plana electromagnética, ya que no hay un marco de inercia en el que esté en reposo. Teniendo en cuenta su "derivación" de GR, probablemente sea mejor simplemente ignorar el libro Motion Mountain cada vez que invoque GR.

Roy Simpson

@Edward, "No creo que tenga sentido tratar de definir una densidad adecuada..." - el concepto equivalente para EM sería

E^{2} + B^{2}

$E^2+B^2$ ¿no? Veo esta pregunta como sobre los aspectos físicos invariantes de la densidad de energía en general (principalmente la materia), y si se puede demostrar que se forma un BH, no sobre las variaciones e interpretaciones posibles a través de las libertades de coordenadas. Podría estar equivocado acerca de eso y tal vez John solo quería saber qué números podrían aparecer dentro

T^{a b}

$T^{ab}$ ?

Eduardo

@Roy

E^{2} + B^{2}

$E^2 + B^2$ es solo

T^{00}

$T^{00}$ para un campo electromagnético y, por lo tanto, depende de las coordenadas. La forma habitual de definir una "densidad adecuada" para un objeto o fluido es establecer la densidad en su marco de reposo. No tenemos ese lujo con una onda plana electromagnética, por ejemplo. Así que no creo que tenga sentido tratar de definir una densidad adecuada en ese caso. Podría haber una forma inteligente de redefinir la terminología que no es inmediatamente obvia, pero sin referirse a otros vectores como una velocidad, la única invariante escalar es la traza

T

$T$ que es 0 para la electrodinámica.

Respuestas (3)

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Solía haber otra respuesta agradable que tenía votos positivos, y ahora ya no está. ¿Qué sucedió? ¿Un moderador censura las respuestas?
@John, lo dudo. Los moderadores no borran las respuestas por casualidad. Debe haber sido el cartel que tuvo dudas sobre su respuesta.
Querido John, sí y no. La respuesta fue eliminada por un moderador, de hecho, el moderador principal de este servidor. Sin embargo, la respuesta también fue eliminada por su autor. Es porque el autor de la respuesta y el moderador principal en este servidor es la misma persona, David Z. Se eliminó después de que otro usuario encontrara una falla en el argumento relacionado con la libertad de coordenadas.
Roy había escrito una pequeña discusión agradable. ¡Y ahora esa respuesta también ha sido eliminada! Esperaba que durante esta última semana Deepak también agregara su propia respuesta ya que aparentemente Edward está simplificando demasiado algo. En lugar de más discusión, casi literalmente una cantidad negativa. Todo lo contrario de lo que esperaba que hiciera la recompensa. :( ... Me rindo.
Tenía una respuesta y una respuesta extendida por escrito, pero las eliminé debido al hecho de que todavía hay demasiadas incertidumbres en torno a esta pregunta. Lo que inclinó la balanza para mí fue darme cuenta de último minuto de que el libro MM no necesariamente equipara "densidad de energía" con $T^{00}$ o. El libro MM analiza la densidad de energía adecuada , pero el libro es débil en las explicaciones basadas en Tensor de sus términos. Entonces, otra incertidumbre es si el argumento MM ya acepta la respuesta de Edward, por así decirlo. Combinado con las incertidumbres de definición de aro y masa, hubo [cont.]
... no es lo suficientemente definitivo como para dar una respuesta diferente a un gran signo de interrogación. Sin embargo, la respuesta de Lawrence (y comentarios similares) se encuentran en la literatura (no solo en el libro MM), pero no están relacionados con $T^{00}$ sí mismo, tal vez ni siquiera para $T^{ab}$ . No sé si están "equivocados" o si importa que $T^{00}$ no se usa en estos argumentos. Estoy seguro de que la investigación continuará sobre estos temas.
Las definiciones de @Roy Mass y la conjetura del aro son, de hecho, algunos seguimientos interesantes de esta pregunta. Sin embargo, no estoy del todo seguro de que el libro de MM esté hablando de densidad de energía 'adecuada', ya que la usa para reclamar un límite en el campo eléctrico. Incluso en SR, no creo que tenga sentido tratar de definir una densidad adecuada para una onda plana electromagnética, ya que no hay un marco de inercia en el que esté en reposo. Teniendo en cuenta su "derivación" de GR, probablemente sea mejor simplemente ignorar el libro Motion Mountain cada vez que invoque GR.
@Edward, "No creo que tenga sentido tratar de definir una densidad adecuada..." - el concepto equivalente para EM sería $E^2+B^2$ ¿no? Veo esta pregunta como sobre los aspectos físicos invariantes de la densidad de energía en general (principalmente la materia), y si se puede demostrar que se forma un BH, no sobre las variaciones e interpretaciones posibles a través de las libertades de coordenadas. Podría estar equivocado acerca de eso y tal vez John solo quería saber qué números podrían aparecer dentro $T^{ab}$ ?
@Roy $E^2 + B^2$ es solo $T^{00}$ para un campo electromagnético y, por lo tanto, depende de las coordenadas. La forma habitual de definir una "densidad adecuada" para un objeto o fluido es establecer la densidad en su marco de reposo. No tenemos ese lujo con una onda plana electromagnética, por ejemplo. Así que no creo que tenga sentido tratar de definir una densidad adecuada en ese caso. Podría haber una forma inteligente de redefinir la terminología que no es inmediatamente obvia, pero sin referirse a otros vectores como una velocidad, la única invariante escalar es la traza $T$ que es 0 para la electrodinámica.

Eduardo · Answer 1

La respuesta es no. No hay límite de densidad de energía (para las tres preguntas).

La forma más fácil de ver esto es que la densidad de energía es solo la $T^{00}$ componente del tensor de energía de tensión. La solución en GR depende del tensor de energía de tensión total , por lo que no es suficiente hablar solo de la densidad de energía. Además, debido a que la densidad de energía es solo un componente de un tensor, es una cantidad dependiente del sistema de coordenadas. Entonces, a partir de una solución que no se convierte en un agujero negro y tiene algo de energía en alguna parte, siempre podemos elegir el sistema de coordenadas para hacer que la densidad de energía sea arbitrariamente grande.

Dicho más claramente: la simetría local de Lorentz por sí sola es suficiente para mostrar que la densidad de energía no está limitada en GR. Y además, dado que existen soluciones de energía distinta de cero que no se convierten en agujeros negros, esto también responde a su segunda pregunta.

Para que la respuesta a la tercera pregunta sea más clara, analicemos una solución exacta. Considere la solución de Robertson-Walker con un fluido perfecto. Aquí hay un tensor de energía de estrés de ejemplo para un fluido perfecto en el marco comóvil:

$T^{ab} =\left( \begin{matrix} \rho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p \end{matrix} \right)$

Ahora, si cambiamos a un sistema de coordenadas diferente, usando la transformación de coordenadas: $\Lambda^{\mu}{}_{\nu} =\left( \begin{matrix} \gamma &-\beta \gamma & 0 & 0 \\ -\beta \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix} \right)$

Vemos que la densidad de energía se transformará como: $\rho' = \gamma^2 \rho + p \beta^2 \gamma^2 = \gamma^2 (\rho + p \beta^2)$

Entonces, no solo la densidad de energía puede ser arbitrariamente grande, sino incluso en un volumen finito.

¿Cómo se pasa exactamente del dicho de que la densidad de energía se transforma como ... a que la densidad de energía puede ser arbitrariamente grande, pero incluso en un volumen finito ?
@Deepak No entiendo los comentarios tuyos y de Roy sobre esto. ¿Esa transformación de coordenadas no muestra que la densidad de energía aumentará en más de un punto? Por ejemplo, ¿cómo afirma que será el nuevo tensor de energía de estrés? Continuamente no estás de acuerdo con Edward y haces insultos a continuación como "amateur agitando la mano" o algo peor en el otro hilo. Proporcione su propia respuesta si no está de acuerdo con Edward. Por favor muéstranos la respuesta correcta.
@ John, no importa qué transformación elija aplicar al tensor de energía y estrés. El hecho es que aquí se trata de una solución a las ecuaciones de Einstein. No importa lo que cualquier observador pueda experimentar, no va a cambiar las ecuaciones de movimiento, las ecuaciones de Friedmann en este caso. En consecuencia, para una métrica FLRW existe una densidad crítica $\rho_c$ (ref: Wald) que determina si la cosmología es abierta (hiperbólica), cerrada (esférica) o plana. En particular, hay una elección fiduciaria de observadores: aquellos que se mueven con la métrica.
Para una solución trivial como la de Minkowski, no existe tal elección fiduciaria y el razonamiento de Edward podría seguir adelante. Pero esto no sucederá con una métrica general dependiente del tiempo. En cuanto a los saludos con la mano y los insultos de aficionados, tienes razón. Estoy sobrepasando los límites de la conversación educada. Pero, de nuevo, Edward está tratando de proporcionar una respuesta demasiado simplista a una pregunta compleja para la que no existe una respuesta tan simple. Y señalar que este es el caso parece no tener ningún efecto. De todos modos, mis disculpas @Edward por referirse a usted como un aficionado. Estoy seguro de que no. ¡Salud!
@Deepak Proporcione su propia respuesta. Sería bueno ver tu razonamiento completo y las matemáticas mostradas como lo dieron Edward y Roy.
@Deepak Usted escribe "no importa qué transformación elija aplicar al tensor de estrés-energía". ¿Está de acuerdo con lo siguiente: (1) $T^{00}$ depende del sistema de coordenadas. (2) $T^{00}$ puede ser arbitrariamente grande sobre una región finita en el espacio como lo muestra Edward. (3) independientemente de la elección de coordenadas $T^{00}$ es la densidad de energía. ... Tengo problemas para entender, ya que parece que sigues respondiendo a una pregunta diferente a la formulada. Entonces, un sí/no directo para esos tres puntos ayudaría a aclarar las cosas. Parece que estás diciendo (1) sí, (2) sí, (3) no.
ya que parece que sigues respondiendo a una pregunta diferente a la que te hicieron ... sí, creo que es un defecto de nacimiento en mi caso :). Por favor proporcione su propia respuesta ... Lo haré, en mi propio tiempo dulce. No pretendo tener todas las respuestas. Esta es una pregunta difícil y responderé cuando sienta que tengo una respuesta físicamente razonable. Espero que puedas vivir con eso.
Mientras tanto, las respuestas de @Roy y @Lawrence son las más representativas de mi postura. Espero haberlo dejado claro también. Además, este no es un examen de opción múltiple y las buenas preguntas casi nunca tienen respuestas cortas y secas del tipo que parece estar buscando.
@Deepak "Lo haré, en mi propio momento dulce... Espero que puedas vivir con eso". Por supuesto, tómese su tiempo y espero ver su propia respuesta. Porque actualmente no entiendo cómo la respuesta de Edward es 'demasiado simplista', así que no veo qué limita su respuesta y, por lo tanto, cómo reconciliar sus comentarios con los tuyos. Espero ver los detalles de su respuesta sobre este tema.
@Edward, para que quede claro, ¿está diciendo que en cualquier espacio-tiempo no hay límite para el valor de la densidad de energía física (en un punto o región, y con cualquier tipo de materia/radiación)? ¿Por qué es esto diferente de decir que los agujeros negros (basados en la materia) no pueden formarse? Expresado en términos de $\rho$ arriba se podría pedir la prueba de que puede ser ilimitado en una solución GR (con materia). Creo (ahora) que la pregunta original siempre fue sobre la física GR y no sobre la libertad de coordenadas.
@Roy En mi opinión, parece que John todavía está luchando con el concepto de que solo las cantidades invariantes, no dependientes de las coordenadas, tienen un significado real. Entonces, esto lleva a asociaciones descuidadas como 'grandes cantidades de materia pueden colapsar en un agujero negro' -> 'E = mc ^ 2' -> 'la energía está limitada por la formación de agujeros negros' -> 'si me muevo demasiado rápido me convierto en un agujero negro'. Esto está claramente mal, pero es una pregunta/confusión común que tienen los estudiantes.
@Roy No estoy seguro de cómo responder a su pregunta allí. Si pudiera definir claramente lo que quiere decir con " densidad de energía física ", tal vez debería hacer su pregunta en el último comentario como seguimiento a la pregunta de John. Probablemente sería mucho más interesante que la discusión sobre los límites del dependiente de coordenadas $T^{00}$ .
@Edward, el valor físico de una cantidad es su medición en un laboratorio. Entonces, la densidad de masa física sería su medida en un laboratorio. Utilice E=mc^2 para convertir la densidad de energía física medida (E=m si c=1). Entonces, la pregunta es si esto puede volverse arbitrariamente alto sin que se forme un BH (en el laboratorio).
Esta última pregunta no es mi pregunta; es la pregunta original: ¿Existe un límite de densidad de energía promedio sobre este volumen más allá del cual siempre se formará un agujero negro? Solo estoy enfatizando lo físico para alejarme de las referencias a los tensores, que ha sido una distracción.
@Roy Nuevamente, el problema es que esta cantidad depende del sistema de coordenadas. El científico puede usar cualquier sistema de coordenadas que desee para describir un experimento de laboratorio. Las opciones del sistema de coordenadas no son "físicas", razón por la cual las leyes físicas son independientes de ellas. Así que necesitamos formular la pregunta en términos invariantes. En cambio, pareces estar diciendo $T^{00}$ ya es físico, ya que se puede medir con un sistema de coordenadas dado ... si toma esa postura sobre "físico", entonces la pregunta no es interesante y ya está respondida.
@Roy Debido a la confusión, John eligió una definición de densidad de energía para la pregunta. Si puede reformular esto apropiadamente para discutir una cantidad invariable en su lugar, la pregunta sería diferente (y mucho más interesante), así que lo animo a comenzar una nueva pregunta.
@Edward, no mencioné los sistemas de coordenadas, porque estoy de acuerdo en que también son arbitrarios. El laboratorio tendrá una duración fija, digamos. Una pregunta de coordenadas tensoriales aquí es sobre el rango de representaciones de esa longitud. Una pregunta física sería "¿puede un objeto de longitud ilimitada entrar y colocarse en el laboratorio"? Estoy de acuerdo en que hay al menos dos tipos de preguntas por aquí: unas sobre propiedades de coordenadas tensoriales y otras sobre propiedades físicas reales. El desafío de esta pregunta ha sido abordar la cuestión física: no creo que sea un tutorial sobre tensores.
Además, no fuiste Juan, sino tú quien introdujo $T^{00}$ en esta pregunta - sólo para probar que $T^{00}$ era dependiente de las coordenadas y no invariante. ¡Excelente! Así que la pregunta original sigue sin respuesta.
Aquí hay una discusión científica de la densidad con unidades SI y algunos valores reales: en.wikipedia.org/wiki/Density . Entonces, la afirmación que parece hacer de que este concepto (densidad - densidad de masa $\rho$ ) no tiene un significado constante o físico o de laboratorio, no tiene sentido para mí.

John · Answer 2

Hay un límite de densidad de energía en la física (imagine un volumen de Hubble lleno de fotones con una longitud de onda reducida a la longitud de un tablón empaquetado 1 por volumen de tablón, colapsando en una singularidad). Sin embargo, la relatividad general no tiene cantidades fundamentales además de c y, por lo tanto, no tiene tal restricción.

Lawrence B Crowell · Answer 3

El radio de Schwarzschild es $R~=~2GM/c^2$ , donde si empaca una masa $M$ en un volumen de radio $R$ obtienes un agujero negro. El término límite de masa-energía no es un uso estándar del lenguaje, pero si colocas suficiente masa en un volumen, se convertirá en un agujero negro y quedará causalmente aislado del mundo exterior.

Como aclaración para John, a lo que Lawrence se refiere esencialmente aquí es a la conjetura del aro ( en.wikipedia.org/wiki/Hoop_Conjecture ). Sin embargo, la masa a la que se hace referencia aquí no puede relacionarse simplemente con la densidad de energía, de lo contrario, la conjetura del aro es trivialmente incorrecta. Siempre podemos cambiar las coordenadas para agregar tanta energía cinética como queramos y claramente no cambia si se forma un agujero negro o no. Entonces, si hablamos solo de la densidad de energía, no, no hay un límite. La masa en la relatividad general puede ser un concepto complicado en.wikipedia.org/wiki/Mass_in_general_relativity
Nunca mencionas la densidad de energía en tu respuesta. Entonces, aunque parece que dices 'sí', hay un límite de densidad de energía, no puedo entender cómo encaja esto con la respuesta 'no' de Edward. ¿Puede proporcionar algún detalle de conexión de su declaración con un 'sí'/'no' para la pregunta del título?

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