¿Quién descubrió el homomorfismo de cobertura entre SU(2) y SO(3)?

Hamilton y Klein, Klein fue más explícito al respecto. Hamilton en Lectures on Quaternions (1853) se dio cuenta de que su representación de las rotaciones de cuerpos rígidos por la unidad de cuaterniones no era$1$-$1$, pero$2$-$1$. Klein en Lectures on the Ikosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Grade (1888) reemplazó la unidad de cuaterniones por$2 × 2$matrices unitarias con el determinante$1$, ahora denotado$SU(2)$. Luego más o menos explicó que la unidad de cuaterniones y$SU(2)$son grupos isomorfos, que son$2$-$1$epimórfico en el grupo de rotaciones 3D$SO(3)$.

Pauli propuso el " bivalor no describible clásicamente ", que luego se identificó con el espín del electrón , en 1924, y lo formalizó en forma de matriz en 1927. En 1932, Heisenberg e Ivanenko supusieron que el mismo efecto regula los protones/neutrones que el estados de una sola partícula, más tarde denominada nucleón, y lo incorporaron en su modelo protón-neutrón del núcleo .

Steiner cita este homomorfismo como un excelente ejemplo de "eficacia irrazonable" de las matemáticas. En ambas ocasiones la maquinaria matemática desarrollada no estaba dirigida, ni siquiera indirectamente, a la aplicación para la que acababa siendo útil. En el caso del núcleo, falta por completo cualquier conexión visible con las rotaciones y el espacio 3D.

Antes de Hamilton (1847) habría que citar a Euler (1771), Gauss (1819), Rodrigues (1840) y Cayley (1845). Referencias detalladas en, por ejemplo

Pujol, J. , Hamilton, Rodrigues, Gauss, cuaterniones y rotaciones: una reevaluación histórica , Commun. Matemáticas. Anal. 13, núm. 2, 1-14 (2012). ZBL1268.01010 .

En concreto, a cuatro números$p,q,r,s$con$pp+qq+rr+ss=u$, Euler (1771, §33) adjunto

que es precisamente (la transposición de) la rotación unida a$(a,b,c,d)=\dfrac{(p,q,r,s)}{\sqrt u}$en Wikipedia :

$$R = \begin{pmatrix} a^2+b^2-c^2-d^2&2bc-2ad &2bd+2ac \\ 2bc+2ad &a^2-b^2+c^2-d^2&2cd-2ab \\ 2bd-2ac &2cd+2ab &a^2-b^2-c^2+d^2\\ \end{pmatrix}. \tag1$$ Así que tenía el mapa , aunque tal vez no la ley de grupo sobre 4 tuplas que lo convierte en un homomorfismo : ¹ que (o menos anacrónicamente, una "fórmula para los parámetros de una rotación compuesta") se atribuye comúnmente a Rodrigues (1840, p. . 408), quien puso todo en la notación $$(a,b,c,d)=\left(\cos\tfrac\theta2,\ \sin\tfrac\theta2\cos g,\ \sin\tfrac\theta2\cos h,\ \sin\tfrac\theta2\cos l\right). \tag2$$ Entonces Cayley (1845, pp. 123-124) identificó la multiplicación de Rodrigues de 4 tuplas$(2)$como multiplicación de cuaterniones, y el mapa$(a,b,c,d)\mapsto R$como lo que llamaríamos la representación adjunta de$\mathit{Sp}(1)$; y Hamilton (1847, pp. 13-14) coincidieron, al igual que Boole (1848) y Donkin (1851).

Uno puede preguntarse por qué Euler no fue citado en ese momento. Por lo que puedo decir, es porque Monge (1786) había publicado (ostensiblemente de forma independiente)$(1)$en la notación alternativa

$$(a,b,c,d)=\left(\sqrt{\tfrac{M\vphantom Q}4},\sqrt{\tfrac{N\vphantom Q}4},\sqrt{\tfrac{P\vphantom Q}4},\sqrt{\tfrac{Q}4}\,\right), \tag3$$ y durante muchos años todo el mundo, ² hasta Rodrigues (p. 405) inclusive, citaron eso en su lugar. Sólo una vez que el artículo de Euler se reimprimió en un libro (1849, p. 440) todo el mundo ^pasó a citarlo.

Hasta ahora todo ha sido en términos de la esfera.$S^3\subset\mathbb R^4$, o cuaterniones unitarios. Si quieres el homomorfismo en términos de literalmente

$$SU(2) =\left\{\begin{pmatrix}a+bi &-c+di\\c+di&\phantom{-}a-bi\end{pmatrix}: (a,b,c,d)\in S^3\right\}, \tag4$$ la pregunta es quién representó por primera vez los cuaterniones de esta manera. Las primeras memorias sobre matrices de Cayley (1858), Laguerre (1867) y Frobenius (1877) mencionan la posibilidad , pero aparentemente dejaron que Peirce (1882) lo hiciera explícitamente y cuatro artículos de Sylvester (1882-83). Por otro lado, se podría argumentar que Hermite (1850, nota al pie) lo tenía "antes de las matrices", o preguntar quién identificó por primera vez las rotaciones de la esfera (Riemann) como homografías.$\smash{z\mapsto\frac{Az+B}{Cz+D}}$con$\smash{\left(\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}\right)}$en$(4)$: por esto, Klein claramente acredita a Cayley (1879).

Finalmente, como suele ser el caso, más tarde se supo que los artículos inéditos de Gauss (c. 1819) ya tenían tanto la multiplicación de cuaterniones (p. 359) como las rotaciones como homografías (p. 355).

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^{1. Las opiniones difieren: por ejemplo, Cartan-Study (enlace a continuación) dice que Euler tenía la fórmula de composición. Tal vez consideren que lo habría encontrado obvio, o pensó en la biyección $\smash{\mathbb{RP}^3}\to SO(3)$en lugar de la cubierta$\smash{S^3}\to SO(3)$, haciendo que la pregunta sea discutible; o entienden, mejor que yo, por qué su siguiente § mostraba una matriz de 4 x 4 que es casi un producto de cuaterniones: es}

$$\left(\begin{array}{rr|rr} p&-q&-r&-s\\ q&p&s&-r\\ \hline r&-s&p&q\\ s&r&-q&p \end{array}\right) \begin{pmatrix} 1&\\ &-1\\ &&-1\\ &&&-1 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{rr|rr} a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ \hline c&-d&a&b\\ d&c&-b&a \end{array}\right). \tag5$$ (La primera columna de este conjunto está sacada directamente de su famosa carta a Goldbach (1748), y también está en sus artículos E242 (1760) y E445 (1773), así como en Lagrange (1772), Legendre (1797) y la traducción al inglés de su Álgebra (1810).)

^{2. Por ejemplo , Monge (1787), Lacroix (1797), Hachette (1813), Encke (1830), Grunert (1832), Grunert (1833), Cayley (1862).}

^{3. Por ejemplo , Hamilton (1853), Cayley (1855), Lebesgue (1856), Salmon (1866), Hankel (1867), Hoüel (1874), Jacobi (1884), Darboux (1887), Study (1890), Beez ( 1896), Koenigs (1897), Schoenflies (1902), Cartan-Study (1908), Müller (1910), Muir (1911), Whittaker (1917), Bourbaki .}