Circuito LC con diodo en serie (encontrar el promedio lineal)

Tengo el siguiente circuito LC en serie :

Encuentre el promedio (lineal) de la corriente a través del diodo . El ideal es un componente ideal. Las condiciones iniciales en el circuito son iguales a cero.

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MI TRABAJO

Primero cortocircuité el diodo (así que finja que el diodo ideal no está en el circuito). Usando la ley de Faraday puedo escribir:

$$\text{V}_{\space\text{in}}\left(t\right)+\text{V}_{\space\text{C}}\left(t\right)=-\text{L}\cdot\text{I}_{\space\text{in}}'\left(t\right)\tag1$$

Ahora, también sé que$\text{V}_{\space\text{in}}\left(t\right)=\sin\left(2\pi\cdot t\right)$,$\text{I}_{\space\text{C}}\left(t\right)=\text{V}_{\space\text{C}}'\left(t\right)\cdot\text{C}$y$\text{I}_{\space\text{C}}\left(t\right)=\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)$. Dónde$\text{L}$es el valor del inductor (en Henry) y$\text{C}$es el valor del condensador (en Farad).

Entonces, también puedo escribir:

$$\begin{cases} \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\sin\left(2\pi\cdot t\right)\right)+\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)\cdot\frac{1}{\text{C}}=-\text{L}\cdot\text{I}_{\space\text{in}}''\left(t\right)\\ \\ \text{I}_{\space\text{in}}\left(0\right)=0\\ \\ \text{I}_{\space\text{in}}'\left(t\right)=0 \end{cases}\tag2$$

Lo que da:

$$\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)=\frac{2\pi\cdot\text{C}\cdot\left(\cos\left(2\pi\cdot t\right)-\cos\left(\frac{t}{\sqrt{\text{C}\cdot\text{L}}}\right)\right)}{4\pi^2\cdot\text{C}\cdot\text{L}-1}\tag3$$

Usando los valores dados:

$$\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)=\frac{6\pi\cdot\left(\cos\left(2\pi\cdot t\right)-\cos\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)\right)}{12\pi^2-1}\tag4$$

Función de trazado$\left(4\right)$, da:

(Usé Mathematica para hacer la trama)

Ahora vuelvo a colocar el diodo en el circuito y cortará todas las partes negativas de la corriente. Entonces, cada parte negativa de la corriente se convertirá en cero y solo las partes positivas de la corriente fluirán en el circuito.

Para encontrar el promedio (lineal) necesito encontrar:

$$\overline{\text{I}}_{\space\text{D}}=\overline{\text{I}}_{\space\text{in}}=\lim_{\text{n}\to\infty}\frac{1}{\text{n}}\int_0^\text{n}\text{I}_{\space\text{D}}\left(t\right)\space\text{d}t\tag5$$

Dónde$\text{I}_{\space\text{D}}\left(t\right)$es la corriente de entrada ($\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)$) con todas las partes negativas bloqueadas.

Ahora, traté de encontrar los valores para$t$cuando$\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)$es igual a cero:

$$\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)=\frac{6\pi\cdot\left(\cos\left(2\pi\cdot t\right)-\cos\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)\right)}{12\pi^2-1}=0\space\Longleftrightarrow\space t=\frac{6\pi\cdot\text{k}}{\sqrt{3}\pm6\pi}\tag6$$

Dónde$\text{k}\in\mathbb{Z}$

A partir de ahora no sé cómo continuar.