Dilatación del tiempo gravitacional en el centro de la tierra

Me gustaría saber qué sucede con la dilatación del tiempo (en relación con la superficie) en el centro de la tierra.

Hay alguna forma de calcularlo?

¿El tiempo va más rápido en el centro de la tierra?

He hecho otras preguntas sobre este asunto y las respuestas se refieren a:

Δ Φ (diferencia en el potencial gravitacional newtoniano entre las ubicaciones) como directamente relacionado, pero creo que esa ecuación no se puede aplicar a esto porque se derivó para la vecindad de una masa pero no dentro de ella.

¿Alguna pista? Gracias

¿Puedo sugerirle que dedique algún tiempo a leer acerca de los potenciales en la mecánica clásica? Descartar líneas como "pero creo que esas ecuaciones no se pueden aplicar a esto porque se derivaron de la vecindad de una masa pero no dentro de ella" no mejora la recepción aquí, y estos problemas se abordan en todos los libros de texto sobre el tema. . O al menos haga preguntas sobre el tema (potencial) que no entiende en lugar de especular salvajemente. Por favor.
@dmckee sí, tienes razón, y lo hago cada vez que puedo, dedico el tiempo a profundizar, pero hay muchos temas interesantes por suerte y aunque puedo tener la duda, e incluso a veces entender una respuesta . , pero (la vida misma) no da tanto tiempo para estudiarlos todos, así que gracias a internet y a gente como todos aquí, uno puede saber cosas que no hay otra manera de alcanzar, mismo sentido ayudo a la gente en otras áreas que puedo dedicame mas tiempo, gracias

Respuestas (3)

La regla que mencioné en otra pregunta , que el factor de dilatación del tiempo es 1 + Δ Φ / C 2 , se aplica aquí. La derivación (que se encuentra en varios libros de texto) depende únicamente de las suposiciones de que los campos son débiles y la materia no es relativista, las cuales son ciertas para la Tierra.

Modelando la Tierra como una esfera de densidad uniforme (no es cierto, por supuesto, pero no me importa), encontramos que gramo ( r ) = GRAMO METRO r / R 3 donde R es el radio de la Tierra. Asi que

Δ Φ = GRAMO METRO R 3 ∫ 0 R r d r = GRAMO METRO 2 R .
Eso significa que
Δ Φ C 2 = GRAMO METRO 2 R C 2 = 1 4 R s R .
Aquí R s = 2 GRAMO METRO / C 2 es el radio de Schwarzschild correspondiente a la masa de la Tierra. Numéricamente, R s es de unos 9 mm y R es de unos 6400 km, entonces Δ Φ / C 2 = 3 × 10 − 10 .

El signo del efecto es que los relojes avanzan más lentamente cuando están más profundos en el pozo de potencial. Es decir, un reloj en la superficie de la Tierra marca 1,0000000003 veces más rápido que uno en el centro.

Este parece un enfoque muy simple, M/R define la relación, una especie de "densidad", hay "un orden de magnitud" (simplemente x10) de diferencia con la respuesta de Luboš Motl, pero al menos ambos responden que el tiempo dentro de la tierra sería ser más lento que en la superficie
En realidad, la diferencia es un factor de 3 ( 3 × 10 − 10 contra 10 − 9 ). La diferencia se debe a que Lubos está calculando la diferencia de potencial entre el centro y el infinito, mientras que yo calculo la diferencia entre el centro y la superficie. Eso es precisamente un factor de 3.
perdon lo habia comparado 10 − 10 v s 10 − 9 , por eso vi un factor x10, ahora veo un factor 10/3 =3.3333..
Pensé que si la Tierra es una esfera uniformemente densa, la gravedad en el centro es cero.
@BrandonEnright: la dilatación del tiempo depende del potencial, no del campo.
La siguiente es una nota sobre un problema que sé que Ted entiende pero que no abordó. Surge la pregunta de si es necesario considerar la rotación de la tierra. Este efecto cinemático, si lo hubiera, sería pequeño en comparación con el efecto de dilatación del tiempo, porque la velocidad de rotación, incluso en el ecuador, es pequeña en comparación con la velocidad de escape, es decir, v 2 ≪ Δ Φ . De hecho, es válido, por razones que pueden no ser inmediatamente obvias, ignorar este efecto en todas las latitudes. La forma más sencilla de entender esto es que la tierra es un elipsoide de potencial gravitacional constante. [...]
[...] Por lo tanto, en el marco que gira con la tierra, no hay dilatación de tiempo entre el ecuador y los polos. Este es un punto en el que Einstein se equivocó en su artículo de 1905 sobre RS, donde predijo: "Por lo tanto, concluimos que un reloj de resorte en el ecuador debe ir más lento, en una cantidad muy pequeña, que un reloj exactamente similar situado en uno de los polos en condiciones por lo demás idénticas". La independencia de la latitud de la dilatación del tiempo fue verificada empíricamente por Alley et al., en la década de 1970 al llevar relojes atómicos a Groenlandia a bordo de aviones militares y luego traerlos de vuelta.

Estimado HDE, no es difícil estimar el potencial gravitatorio en el centro de la Tierra. Por supuesto, es suave. Permítanme suponer que la densidad de masa de la Tierra es uniforme, lo cual es una buena estimación, hasta factores de dos más o menos.

La aceleración de la gravedad a distancia R del centro es GRAMO METRO / R 2 si R es mayor que el radio de la tierra R mi . Sin embargo, para valores menores de R , tienes que usar la ley de Gauss

∫ d S → ⋅ gramo → ∼ GRAMO METRO i norte s i d mi
y determine la masa total dentro de una esfera más pequeña. Porque METRO i norte s i d mi va como R 3 por R < R mi , y esto R 3 todavía está dividido por R 2 de ∫ d S → , se deduce que la aceleración gravitacional dentro de la Tierra es bastante proporcional a R :
gramo ( R ) = gramo ( R mi ) ⋅ R R mi
En particular, la aceleración gravitacional en el centro de la Tierra es cero y cerca del centro, una partícula oscilaría como en un oscilador armónico, F → ∼ − k X → .

También es trivial calcular la disminución adicional del potencial gravitacional que obtienes si vas de la superficie al centro. En la superficie, el potencial gravitacional es − GRAMO METRO / R mi , como saben, porque la derivada de − GRAMO METRO / R sobre R da la aceleración correcta. Sin embargo, el potencial se está volviendo aún más negativo. si te integras gramo ( R mi ) ⋅ R / R mi sobre R de 0 a R mi , conseguirás gramo ( R mi ) R mi / 2 . Esto se tiene que tomar con el signo negativo.

Entonces, el potencial en el centro, suponiendo uniformidad, es

Φ = − GRAMO METRO R mi − gramo ( R mi ) R mi 2 = − 3 2 GRAMO METRO R mi = − 3 2 gramo ( R mi ) R mi
Este potencial gravitatorio también determina la desaceleración del tiempo. En unidades SI, gramo ( R mi ) = 10 Newtons por metro y R mi = 6 , 378 , 000 . El producto, con la 3 / 2 factor agregado, es casi exactamente 10 8 . dividirlo por C 2 = 10 17 moverse 10 − 9 - el desplazamiento relativo hacia el rojo desde el centro de la Tierra hasta el infinito.

Si pasas mil millones de años en el centro de la Tierra, tu hermano gemelo fuera del campo gravitatorio envejecerá mil millones y un años. Si lo desea, puede interpretarlo diciendo que es saludable vivir en el centro de la Tierra. Buena suerte.

Una pequeña nota: la pregunta se refiere a la dilatación del tiempo relativo entre el centro y la superficie de la Tierra, mientras que el Φ calculas es el potencial del centro relativo al infinito. Eso explica el factor de 3 de diferencia entre tu respuesta y la mía.

El CENTRO de la tierra no tendrá más gravedad, sino menos. Esto se debe a que la mitad de la masa estará "arriba" y la otra mitad "abajo" (independientemente de la orientación)... Más o menos g y en diferentes direcciones/vectores. La cosa es que la masa no se concentra en un punto en el centro con más y más g a medida que uno se acerca al centro. A medida que avanzaba por el túnel, parte de la masa, más y más, estaría detrás de usted). Más dilatación del tiempo en la superficie... Donde g es más fuerte. El tiempo no sería más lento en el centro de la tierra.

La dilatación del tiempo depende del potencial, no del campo.
Si bien entiendo que quiere decir potencial como distancia desde la fuente, y su punto de que no hay dilatación a menos que este potencial no sea el mismo para los dos relojes. No creo que esto sea un punto de confusión, y no veo por qué este comentario es particularmente relevante. Por favor explique.
el centro de la tierra no tiene atracción gravitatoria... entonces según tú, el tiempo no debería pasar allí.
@udiboy: No, eso significaría que un espacio-tiempo de Minkowski es equivalente a un agujero negro. Extraña dualidad... (!)
Dilatación del tiempo gravitacional en el centro de la tierra
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