Teorema de Liouville para el espacio-tiempo

Question

Teorema de Liouville para el espacio-tiempo

unospocos4

El teorema de Liouville establece que la densidad del espacio de fase gobierna la ecuación de continuidad.

\frac{\partial ρ}{\partial t} + \sum_{i = 1}^{norte} (\frac{\partial (ρ \dot{q_{i}})}{\partial q_{i}} + \frac{\partial (ρ \dot{{pag}_{i}})}{\partial {pag}_{i}}) = 0

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^n\Big(\frac{\partial(\rho\dot{q_i})}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho\dot{p_i})}{\partial p_i}\Big)=0$ Esto significa que la cantidad de estados en su sistema estadístico se conserva en el tiempo.

Mi pregunta es, ¿existe una estructura similar a la densidad del espacio-tiempo? $\sqrt{-g}$ ? ¿Se conserva el volumen del espacio-tiempo? Si quieres pensar en la geometría del espacio-tiempo como algo físico, creo que debe haber algo que pueda interpretarse como una ecuación de continuidad para la densidad del espacio-tiempo. $\sqrt{-g}$ , ¡los eventos del espacio-tiempo no deberían desaparecer sin razón!

Quizás la ecuación de continuidad sería algo como esto:

(\sqrt{- gramo} \frac{d X^{m}}{d τ})_{; m} = 0

$\big(\sqrt{-g}\frac{dx^\mu}{d\tau}\big)_{;\mu}=0$ Dónde

x^{μ}

$x^\mu$ de alguna manera está rastreando la evolución de un evento de espacio-tiempo. No puedo encontrar ningún resultado de este tipo en un libro de texto de relatividad general, aunque me parece una pregunta tan importante. ¿Qué pasa si esta ecuación es distinta de cero? ¿Qué lo hace distinto de cero? ¿La presencia de la materia?

Editar: ahora me doy cuenta de que para definir esta ecuación de continuidad correctamente, necesitaría involucrar la métrica inducida $h_{\mu\nu}$ de un conjunto de superficies similares al espacio, con un vector normal al tiempo $n$ para cada superficie, y la ecuación sería algo así como

(\sqrt{h} \frac{d X^{m}}{d norte})_{; m} = 0

$\big(\sqrt{h}\frac{dx^\mu}{dn}\big)_{;\mu}=0$ El

x^{μ}

$x^{\mu}$ Deberían ser geodésicas del espacio-tiempo completo con velocidades iniciales normales a una de estas superficies similares al espacio. A cada punto de esta superficie le corresponde una geodésica, por lo que la

x^{μ}

$x^{\mu}$ Depende de la ubicación en la superficie.

qmecanico

No existe el teorema de Liouville para los espaciotiempos genéricos. Piense, por ejemplo, en lentes gravitacionales o en la ecuación de desviación geodésica .

unospocos4

La lente gravitacional ocurre en presencia de materia, ¿correcto? Dado que la densidad del espacio-tiempo no es equivalente a la curvatura, podría ser que haya una pérdida de eventos del espacio-tiempo en la materia y se establezca una curvatura fuera de la materia para compensar la falta de uniformidad de los eventos del espacio-tiempo. Pido disculpas por hablar de una manera tan imprecisa, no he dominado completamente GR o geometría diferencial.

Respuestas (1)

Teorema de Liouville para el espacio-tiempo

No existe el teorema de Liouville para los espaciotiempos genéricos. Piense, por ejemplo, en lentes gravitacionales o en la ecuación de desviación geodésica .
La lente gravitacional ocurre en presencia de materia, ¿correcto? Dado que la densidad del espacio-tiempo no es equivalente a la curvatura, podría ser que haya una pérdida de eventos del espacio-tiempo en la materia y se establezca una curvatura fuera de la materia para compensar la falta de uniformidad de los eventos del espacio-tiempo. Pido disculpas por hablar de una manera tan imprecisa, no he dominado completamente GR o geometría diferencial.

jamals · Answer 1

Para una variedad general riemanniana o pseudo-riemanniana con métrica $g$ , la derivada covariante con la conexión Levi-Civita satisface,

\nabla_{m} \sqrt{| gramo |} = 0

$\nabla_\mu \sqrt{|g|} = 0$

dónde $g = \det g_{\lambda\sigma}$ . Esto se puede demostrar a partir de la condición de compatibilidad métrica, $\nabla_\mu g_{\lambda\sigma} = 0$ que asegura la conexión Levi-Civita. En particular, es obvio cuando se expresa el determinante como,

gramo = \frac{1}{4!} ϵ^{α β γ d} ϵ^{m v λ σ} {gramo}_{α m} {gramo}_{β v} {gramo}_{γ λ} {gramo}_{d σ} .

$g = \frac{1}{4!}\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma}g_{\alpha\mu}g_{\beta \nu}g_{\gamma\lambda}g_{\delta\sigma}.$

La desaparición del elemento de volumen bajo diferenciación covariante es útil en manipulaciones con densidades de tensor, ya que estas se construyen con factores de $\sqrt{|g|}$ .

Sin embargo, esto no es realmente un hecho físico, es solo una consecuencia de la geometría diferencial. Si aceptamos su propuesta,

\nabla_{m} ({\dot{X}}^{m} \sqrt{| gramo |}) = 0

$\nabla_\mu(\dot x^\mu \sqrt{|g|}) = 0$

desde $\nabla_\mu \sqrt{|g|} = 0$ , tu sugerencia es equivalente a, $\nabla_\mu \dot x^\mu = 0$ .

Teorema de Liouville para el espacio-tiempo

unospocos4

qmecanico

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jamals

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