Ley de Gauss en una distribución de carga uniforme que se extiende infinitamente en todas las direcciones

Supongamos que el universo está lleno de carga positiva. Sobre un punto particular, todas las partículas cargadas positivamente serán simétricas. Ahora considere una esfera de radio r < ∞ y aplicar la ley de Gauss. De acuerdo con la ley de Gauss, el flujo eléctrico a través de la esfera tendrá un valor finito ya que contiene algo de carga positiva. Pero por simetría, el campo eléctrico a través de la esfera y, por lo tanto, el flujo eléctrico serán cero. Esto es una contradicción.

cualquier duda (con respecto a la pregunta) por favor pregunte...
No entiendo lo que realmente estás diciendo: ¿De dónde has sacado la superficie gaussiana? Has dicho que el universo está lleno de carga positiva; Entonces, ¿eso significa que la superficie encierra todo el universo? Si es así, ¿cómo puede ser simétrico?
Es como lo que dijo Kevin, Sanket. Para un ejemplo más simple, imagina que estás en una nave espacial que vuela exactamente entre dos estrellas que están bastante cerca una de la otra. No caes hacia ninguno de ellos, y podrías decir que allí no hay campo gravitatorio. Tiene que haber un gradiente de potencial.

Respuestas (3)

El problema aquí es que no ha podido especificar una condición límite.

En un problema de electrostática donde se le da una distribución de carga ρ ( r ) y pidió encontrar el campo eléctrico mi ( r ) , la respuesta es la solución al conjunto de ecuaciones diferenciales

∇ × mi = 0 , ∇ ⋅ mi = ρ / ϵ 0 .
Para obtener una solución única a una ecuación diferencial, debe especificar una condición de contorno. Por lo general, esa condición es "el campo es cero en el infinito".

En esta situación, la condición de contorno habitual no funciona porque la distribución de carga también es infinita. Para encontrar el campo eléctrico, debe especificar una condición de contorno. De lo contrario, la solución es tan ambigua como tratar de resolver F = metro a sin posición inicial ni velocidad.

Una vez que hagas eso, la simetría se romperá, haciendo que tu " mi es simétrica por lo que debe ser cero" falla el argumento. Por ejemplo, una solución es mi ( r ) = k X i ^ por algún valor de k . Puedes comprobar que cumple la ley de Gauss. La condición de contorno es "el campo parece k X i ^ en el infinito", que no es simétrico.

Este problema es sutil: también surge al considerar los campos gravitatorios en un universo uniforme infinito . Newton cometió el mismo error, pensando que gramo tenía que desaparecer por todas partes por simetría.

Hay una versión de este problema que va en sentido contrario en el texto de E&M de Griffiths; básicamente comienza con el mi le das, pide el correspondiente ρ , y luego le pide al estudiante que comente por qué el campo apunta en una dirección particular cuando la distribución de carga es uniforme. Produce hilaridad.
¡Sí, tenía ese problema en mente mientras escribía esta respuesta!
Creo que ha explicado bien la "paradoja de la ley de Gauss" y ha resuelto esa paradoja, pero realmente no respondió el problema de Newton (el argumento de la simetría). El argumento de Newton en realidad solo decía: "sin dirección única; por lo tanto, sin fuerza". No necesitamos resolver ninguna ecuación en absoluto.
@Shing El punto central de esta respuesta es que ese argumento es incorrecto.
Esta respuesta muestra que la "paradoja de la Ley de Gauss" es incorrecta (y de todos modos es físicamente absurda). pero no creo que esta respuesta muestre el error de Newton: no hay una ecuación de resolución ni nada en el argumento simétrico.
@Shing El punto es que el argumento de simetría no es correcto, porque las fuerzas ni siquiera están definidas a menos que regule la configuración (por ejemplo, haciendo que la distribución de carga sea de tamaño finito). Y una vez que lo haces, la simetría ya no existe.

La respuesta a esta pregunta depende completamente de cómo se distribuyan las cargas. Decir que la ley de Gauss se cumple aquí es correcto, pero no en todos los casos. Suponga que las cargas positivas se van a colocar aleatoriamente. Tal distribución tendría una ligera falta de uniformidad, que se desarrollaría aún más con el tiempo porque lo positivo repele lo positivo. Entonces, un flujo neto dejará una esfera que contiene un punto de simetría.

La ley de Gauss se falsifica si todas las cargas están orientadas uniformemente , sin uniformidad local. En este caso, todas las cargas se convertirían en el punto de simetría, por lo que no quedaría ninguna carga especial y, por tanto, ningún campo eléctrico.

Permítanme modificar esta situación para simplificar. Supongamos un medio uniforme con carga positiva que se extiende uniformemente por todo el universo. Dado que ahora asumimos que todo el universo está uniformemente cargado, esto es lo mismo que no tener tal carga en ninguna parte del universo.

¡Tenga en cuenta que cargar uniformemente un medio infinito uniforme es como no cargarlo en absoluto!

Entonces, un universo con una distribución de carga positiva uniforme es físicamente igual a un universo sin tal distribución de carga. Entonces, la ley de Gauss en el primer universo parece estar violada, mientras que en el segundo universo equivalente , no lo está...

Esta es una buena pregunta porque estás a punto de aprender algo. A medida que la carga externa crea campos eléctricos que entran, también contribuye a los campos que salen en el lado opuesto de la superficie. Así que se cancelan a sí mismos. Mientras que la carga dentro de la superficie solo tiene campos eléctricos que salen.

Ley de Gauss en una distribución de carga uniforme que se extiende infinitamente en todas las direcciones
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