¿Por qué las cargas externas pueden ignorarse en la Ley de Gauss?

El argumento es perfectamente sólido. Agitar la mano es un término diminutivo para esto, ya que esta es realmente la esencia de la Ley de Gauss. Aquí hay una respuesta física sucinta, sin usar matemáticas, que puede usar para dar sentido a la situación.

Las líneas de campo debidas a las cargas ubicadas en el exterior cruzarán la superficie primero al "entrar" y luego al "salir" y, por lo tanto, el flujo neto a través de la superficie cerrada.$S$será cero. La única forma en que contribuirán a un flujo distinto de cero es si hay alguna carga positiva o negativa ubicada en el interior, ya que, por ejemplo, las líneas eléctricas de fuerza se originan en una carga positiva y terminan en la carga negativa. Ver aquí por ejemplo.

Por lo tanto, con una carga positiva en la superficie, hay un flujo de salida distinto de cero, y con una carga negativa, un flujo de entrada neto distinto de cero. Con carga tanto positiva como negativa adentro, el efecto neto depende de ''cuáles son más'', razón por la cual tienes eso$Q_{encl}$al lado derecho. Aquí se puede ver una ilustración de cada uno de estos tres casos .

Su argumento de "conservación de líneas de campo" es sólido, de lo contrario, básicamente acaba de usar la ley de Gauss en su trabajo anterior. Por el teorema de la divergencia y las ecuaciones de Maxwell,

$$\int \vec{E}\cdot \vec{dA}=\int \vec{\nabla} \cdot \vec{E} dV=\int \rho /\epsilon_0 ~dV=\rho_{enc} / \epsilon_0$$ Entonces, el (flujo de) campo eléctrico solo depende de la carga encerrada.

Pero, realmente creo que el argumento "ondulado a mano" es bastante bueno. Si supone que no hay discontinuidades en el campo eléctrico, entonces todas las líneas de campo que entran deben salir de la región. Por lo tanto, las líneas de los campos solo pueden comenzar/terminar con cargos, pero si esos cargos están dentro de la región, entonces ya los ha tenido en cuenta. Creo que es uno de los mejores argumentos ondulados a mano que tenemos :-)

Otras respuestas ya han dicho por qué eso debería ser cero físicamente. Pero tal vez te interesen las demostraciones matemáticas.

Puedes probarlo fácilmente usando la ley de Coulomb$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{r^2}$y ángulo sólido .

Tome una carga puntual de las cargas fuera de la superficie. Averigüe el flujo debido a él. En la siguiente figura se observa como el flujo pasa a través de las superficies$d\vec{S_1}$y$d\vec{S_2}$debido a este cargo (q) se cancelan entre sí.

$\int_{d\vec{S_1}+d\vec{S_2}} \vec{E_{q}} \cdot \vec{dA}= \vec{E_{q}} \cdot {d\vec{S_1}}+ \vec{E_{q}} \cdot {d\vec{S_2}}= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\hat{r}\cdot {d\vec{S_1}}}{r_1^2} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\hat{r}\cdot {d\vec{S_2}}}{r_2^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}(-d\omega+d\omega)=0$ya que$\frac{\hat{r}\cdot {(-d\vec{S_1}})}{r_1^2}=d\omega$.

De manera similar, tomando todos esos pares de superficies infinitesimales puedes probar$\oint \vec{E_{q}} \cdot \vec{dA}=0$.

Entonces, para una colección de cargos externos,

$$\sum_i \oint \vec{E_{q_i}} \cdot \vec{dA}=0$$ $$\oint \vec{\sum_i E_{q_i}} \cdot \vec{dA}=0$$ $$\oint \vec{E}_{Q_{out}} \cdot \vec{dA}=0$$

Creo que vale la pena abordar su pregunta desde un punto de vista un poco diferente. Sabemos que el campo eléctrico es un campo vectorial. En general, la divergencia de un campo vectorial es una medida de fuentes/sumideros de campo. Esta es solo una interpretación de una propiedad matemática y se aplica a cualquier campo vectorial. Usaremos el símbolo rho para indicar la fuente del campo.

$$\nabla\cdot \vec{E} \propto \rho$$

La constante de proporcionalidad depende de las unidades en las que desee medir su fuente de campo. Simbolizaré la constante como épsilon.

$$\nabla\cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$

Entonces podemos integrar sobre un volumen arbitrario.

$$\int\nabla\cdot \vec{E} dV = \int\frac{\rho}{\epsilon_0}dV=\frac{q_{encl}}{\epsilon_0}$$ donde elegí la constante $q_{encl}$para representar la integral de volumen de $\rho$.

Ahora usaré el teorema de la divergencia para reescribir la integral de la divergencia como una integral de superficie.

$$\int\nabla\cdot \vec{E} dV = \oint \vec{E} \cdot d\vec{S}=\frac{q_{encl}}{\epsilon_0}$$

Ahora imagina una fuente que existe en un solo punto. Por simetría circular, el campo debe ser perpendicular a una superficie esférica alrededor del punto y de magnitud constante a una distancia dada del punto.

$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \oint E dS = E\oint dS=4\pi r^2 E$$ $$4\pi r^2 E =\frac{q_{point}}{\epsilon_0}$$ $$E = \frac{q_{point}}{ 4\pi \epsilon_0 r^2 }$$

Así que eso es casi la ley de culombio. Para terminar el trabajo, también necesita saber cómo se relaciona una fuerza con el campo eléctrico. En realidad, hay una ambigüedad en el signo de la orientación de la superficie, que ignoré convenientemente. Esto corresponde a la elección arbitraria de qué carga es positiva o negativa.

Esto es algo notable: comenzamos con las propiedades de un campo vectorial, elegimos constantes arbitrarias, elegimos una fuente puntual en 3 dimensiones y derivamos efectivamente la ley de Coulomb. La ley de Gauss es realmente solo una propiedad general de los campos vectoriales, y la ley de Coulomb se deriva de la geometría, combinada con la fuerza de Lorentz. Esta ecuación,

$$E = \frac{q_{point}}{ 4\pi \epsilon_0 r^2 }$$ se aplica a cualquier campo vectorial con una fuente puntual en 3 dimensiones, donde la constante $\epsilon_0$define las unidades, y nada más.

En mi humilde opinión, el paso más confuso de toda esta derivación es el uso del teorema de la divergencia. Creo que su insatisfacción se debe a que el teorema de la divergencia puede ignorar fuentes fuera del volumen/superficie de integración. Sin embargo, esto no es realmente un problema con la ley de Gauss, que se cumple de todos modos.