¿Cuáles son las afirmaciones precisas de Shouryya Ray sobre los problemas de dinámica de partículas planteados por Newton que este artículo afirma haber resuelto?

Este hilo (physicsforums.com) contiene un enlace al póster de Shouryya Ray , en el que presenta sus resultados.

Entonces, el problema es encontrar la trayectoria de una partícula bajo la influencia de la gravedad y la resistencia cuadrática del aire. Las ecuaciones gobernantes, tal como aparecen en el cartel:

$$\dot u(t) + \alpha u(t) \sqrt{u(t)^2+v(t)^2} = 0 \\ \dot v(t) + \alpha v(t) \sqrt{u(t)^2 + v(t)^2} = -g\text,$$

sujeto a condiciones iniciales$v(0) = v_0 > 0$y$u(0) = u_0 \neq 0$.

Así (se infiere fácilmente), en su notación,$u(t)$es la velocidad horizontal,$v(t)$es la velocidad vertical,$g$es la aceleración gravitacional, y$\alpha$es un coeficiente de arrastre.

Luego escribe las soluciones.

$$u(t) = \frac{u_0}{1 + \alpha V_0 t - \tfrac{1}{2!}\alpha gt^2 \sin \theta + \tfrac{1}{3!}\left(\alpha g^2 V_0 \cos^2 \theta - \alpha^2 g V_0 \sin \theta\right) t^3 + \cdots} \\ v(t) = \frac{v_0 - g\left[t + \tfrac{1}{2!} \alpha V_0 t^2 - \tfrac{1}{3!} \alpha gt^3 \sin \theta + \tfrac{1}{4!}\left(\alpha g^2 V_0 \cos^2 \theta - \alpha^2 g V_0 \sin \theta\right)t^4 + \cdots\right]}{1 + \alpha V_0 t - \tfrac{1}{2!}\alpha gt^2 \sin \theta + \tfrac{1}{3!}\left(\alpha g^2 V_0 \cos^2 \theta - \alpha^2 g V_0 \sin \theta\right) t^3 + \cdots}\text.$$

Del diagrama debajo de la foto de Newton, uno ve que$V_0$es la velocidad inicial y$\theta$es el ángulo de elevación inicial.

El cartel (o al menos la parte que se ve) no da detalles sobre la derivación de la solución. Pero se pueden ver algunas cosas:

• Utiliza, desde el principio, la sustitución$\psi(t) = u(t)/v(t)$.

• Hay una sección llamada "...öße der Bewegung". La primera palabra está oculta, pero una suposición calificada sería "Erhaltungsgröße der Bewegung", que se traduciría como "cantidad conservada del movimiento". Aquí aparece la cantidad conservada descrita por David Zaslavsky, módulo algunos problemas de signos.

• Sin embargo, esta sección parece ser una subsección de la sección más grande "Aus der Lösung ablesbare Eigenschaften", o "Propiedades que se pueden ver en la solución". Eso parece implicar que la solución implica la ley de conservación, en lugar de que la solución se derive de la ley de conservación. El texto en esa sección probablemente proporcione alguna pista, pero solo es parcialmente visible y, bueno, mi alemán está oxidado. Doy la bienvenida a alguien más para tratar de darle sentido.

• También forman parte de la sección más grande las subsecciones donde deriva de su solución (a) la trayectoria de los proyectiles clásicos sin arrastre, (b) algo de "Lamb-Näherung" o "aproximación de Lamb".

• La siguiente sección se llama "Verallgemeneirungen" o "Generalizaciones". Aquí, parece considerar otros dos problemas, con arrastre de la forma$\alpha V^2 + \beta$, en presencia de viento horizontal dependiente de la altitud. No estoy seguro de cuáles son los resultados aquí.

• Los diagramas de la izquierda parecen demostrar la precisión y la convergencia de su solución en serie al compararlos con Runge-Kutta. Aunque el texto está un poco borroso y, de nuevo, mi alemán está oxidado, así que no estoy muy seguro.

• Aquí hay una traducción aproximada de la primera parte de "Zusammanfassung und Ausblick" (Resumen y perspectiva), con los descargos de responsabilidad adecuados en cuanto a la precisión:

• Por primera vez, una solución totalmente analítica de un problema sin resolver durante mucho tiempo.
• Varias propiedades excelentes; en particular, cantidad conservada$\Rightarrow$extracción [...] fundamental de nuevos conocimientos profundos utilizando las soluciones analíticas completas (sobre todo [...] se deben obtener perspectivas y aproximaciones)
• Convergencia de la solución demostrada numéricamente
• Esquema de solución para dos generalizaciones

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EDITAR: Dos profesores de TU Dresden, que han visto el trabajo del Sr. Ray, han escrito algunos comentarios:

Comentarios sobre algunos trabajos recientes de Shouryya Ray

Allí, las preguntas que resolvió se expresan sin ambigüedades, por lo que debería responder cualquier pregunta pendiente.

EDIT2: Debo agregar: no dudo que Shouryya Ray sea un joven muy inteligente. La solución que dio puede, quizás, obtenerse utilizando métodos estándar. Creo, sin embargo, que descubrió la solución sin ser consciente de que los métodos eran estándar, un logro realmente notable. Espero que este evento no lo haya desanimado; sin duda, algún día será un físico o matemático exitoso, si elige ese camino.

De hecho, es bastante difícil encontrar información sobre por qué exactamente este proyecto ha atraído tanta atención. Lo que he reconstruido a partir de comentarios en varios sitios web y algunas imágenes (principalmente esta ) es que Shouryya Ray descubrió la siguiente constante de movimiento para el movimiento de un proyectil con arrastre cuadrático:

$$\frac{g^2}{2v_x^2} + \frac{\alpha g}{2}\left(\frac{v_y\sqrt{v_x^2 + v_y^2}}{v_x^2} + \sinh^{-1}\biggl|\frac{v_y}{v_x}\biggr|\right) = \text{const.}$$

Esto se aplica a una partícula que está sujeta a una fuerza de arrastre cuadrática,

$$\vec{F}_d = -m\alpha v\vec{v}$$

Se verifica fácilmente que la constante es constante tomando la derivada del tiempo e insertando las ecuaciones de movimiento

$$\begin{align}\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} &= -\alpha v_x\sqrt{v_x^2 + v_y^2} \\ \frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} &= -\alpha v_y\sqrt{v_x^2 + v_y^2} - g\end{align}$$

La opinión predominante es que esto no se ha sabido antes, aunque algunas personas afirman haberlo visto en libros de texto antiguos (aunque nunca con una referencia, así que tómalo como quieras).

No he oído nada concreto sobre cómo se podría poner esto en práctica, aunque tal vez eso sea parte de los detalles técnicos del proyecto. Ya es posible calcular trayectorias balísticas con arrastre con una precisión muy alta utilizando métodos numéricos, y la presencia de esta constante no conduce directamente a un nuevo método de cálculo de trayectorias, por lo que sé.

I) Aquí nos gustaría dar una formulación hamiltoniana de una partícula puntual en un campo gravitacional constante con resistencia cuadrática del aire

$$\tag{1} \dot{u}~=~ -\alpha u \sqrt{u^2+v^2}, \qquad \dot{v}~=~ -\alpha v \sqrt{u^2+v^2} -g.$$

los$u$y$v$son la velocidad horizontal y vertical, respectivamente. Un punto en la parte superior denota diferenciación con respecto al tiempo$t$. Las dos constantes positivas$\alpha>0$y$g>0$se puede poner a uno escalando las tres variables

$$\tag{2} t'~=~\sqrt{\alpha g}t, \qquad u'~=~\sqrt{\frac{\alpha}{g}}u, \qquad v'~=~\sqrt{\frac{\alpha}{g}}v.$$

Véase, por ejemplo, Ref. [1] para una introducción general a las formulaciones hamiltonianas y lagrangianas.

II) Defina dos variables canónicas ( posición generalizada y cantidad de movimiento) como

$$\tag{3} q~:=~ -\frac{v}{|u|}, \qquad p~:=~ \frac{1}{|u|}~>~0.$$

(La posición$q$es (hasta signos) de Shouryya Ray$\psi$variable, y el impulso$p$es (hasta un factor multiplicativo) de Shouryya Ray$\dot{\Psi}$variable. Asumimos$^\dagger$por la sencillez que$u\neq 0$.) Entonces las ecuaciones de movimiento (1) se convierten en

$$\tag{4a} \dot{q}~=~ gp,$$ $$\tag{4b} \dot{p}~=~ \alpha \sqrt{1+q^2}.$$

III) La ecuación (4a) sugiere que debemos identificar$\frac{1}{g}$con una masa

$$\tag{5} m~:=~ \frac{1}{g},$$

por lo que tenemos la expresión estándar

$$\tag{6} p~=~m\dot{q}$$

para el momento de una partícula puntual no relativista. Definamos además la energía cinética

$$\tag{7} T~:=~\frac{p^2}{2m}~=~ \frac{gp^2}{2}.$$

IV) La ecuación (4b) y la segunda ley de Newton sugieren que deberíamos definir una fuerza de Hooke modificada

$$\tag{8} F(q)~:=~ \alpha \sqrt{1+q^2}~=~-V^{\prime}(q),$$

con potencial dado por (menos) la antiderivada

$$V(q)~:=~ - \frac{\alpha}{2} \left(q \sqrt{1+q^2} + {\rm arsinh}(q)\right)$$ $$\tag{9} ~=~ - \frac{\alpha}{2} \left(q \sqrt{1+q^2} + \ln(q+\sqrt{1+q^2})\right).$$

Nótese que esto corresponde a una situación inestable porque la fuerza$F(-q)~=~F(q)$es una función par, mientras que el potencial$V(-q) = - V(q)$es una función impar monótona de la posición$q$.

Es tentador definir una variable de ángulo$\theta$como

$$\tag{10} q~=~\tan\theta,$$

de modo que la fuerza y ​​el potencial correspondientes sean

$$\tag{11} F~=~\frac{\alpha}{\cos\theta} , \qquad V~=~- \frac{\alpha}{2} \left(\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} + \ln\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\right).$$

V) El hamiltoniano es la energía mecánica total

$$H(q,p)~:=~T+V(q)~=~\frac{gp^2}{2}- \frac{\alpha}{2} \left(q \sqrt{1+q^2} + {\rm arsinh}(q)\right)$$ $$\tag{12}~=~\frac{g}{2u^2} +\frac{\alpha}{2} \left( \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{u^2} + {\rm arsinh}\frac{v}{|u|}\right).$$

Desde el hamiltoniano$H$no contiene una dependencia temporal explícita, la energía mecánica (12) se conserva en el tiempo, que es la primera integral de movimiento de Shouryya Ray.

$$\tag{13} \frac{dH}{dt}~=~ \frac{\partial H}{\partial t}~=~0.$$

VI) Las ecuaciones hamiltonianas de movimiento son las ecs. (4). Supongamos que sabemos$q(t_i)$y$p(t_i)$en algún instante inicial$t_i$, y nos gustaría encontrar$q(t_f)$y$p(t_f)$en algún instante final$t_f$.

el hamiltoniano$H$es el generador de la evolución del tiempo. Si introducimos el corchete canónico de Poisson de igual tiempo

$$\tag{14} \{q(t_i),p(t_i)\}~=~1,$$

entonces (menos) el campo vectorial hamiltoniano lee

$$\tag{15} -X_H~:=~-\{H(q(t_i),p(t_i)), \cdot\} ~=~ gp(t_i)\frac{\partial}{\partial q(t_i)} + F(q(t_i))\frac{\partial}{\partial p(t_i)}.$$

Para completar, mencionemos que en términos de las variables de velocidad originales, el corchete de Poisson dice

$$\tag{16} \{v(t_i),u(t_i)\}~=~u(t_i)^3.$$

Podemos escribir una solución formal para la posición, el momento y la fuerza, como

$$q(t_f) ~=~ e^{-\tau X_H}q(t_i) ~=~ q(t_i) - \tau X_H[q(t_i)] + \frac{\tau^2}{2}X_H[X_H[q(t_i)]]+\ldots \qquad$$ $$\tag{17a} ~=~ q(t_i) + \tau g p(t_i) + \frac{\tau^2}{2}g F(q(t_i)) +\frac{\tau^3}{6}g \frac{g\alpha^2p(t_i)q(t_i)}{F(q(t_i))} +\ldots ,\qquad$$ $$p(t_f) ~=~ e^{-\tau X_H}p(t_i) ~=~ p(t_i) - \tau X_H[p(t_i)] + \frac{\tau^2}{2}X_H[X_H[p(t_i)]]+\ldots\qquad$$ $$~=~p(t_i) + \tau F(q(t_i)) +\frac{\tau^2}{2}\frac{g\alpha^2p(t_i)q(t_i)}{F(q(t_i))}$$ $$\tag{17b} + \frac{g\alpha^2\tau^3}{6} \left(q(t_i) + \frac{g\alpha^2 p(t_i)^2}{F(q(t_i))^3}\right) +\ldots ,\qquad$$ $$F(q(t_f)) ~=~ e^{-\tau X_H}F(q(t_i))$$ $$~=~ F(q(t_i)) - \tau X_H[F(q(t_i))] + \frac{\tau^2}{2}X_H[X_H[F(q(t_i))]] + \ldots\qquad$$ $$\tag{17c}~=~ F(q(t_i)) + \tau \frac{g\alpha^2p(t_i)q(t_i)}{F(q(t_i))} +\frac{g(\alpha\tau)^2}{2}\left(q(t_i) +\frac{g\alpha^2 p(t_i)^2}{F(q(t_i))^3}\right) +\ldots ,\qquad$$

y calcular a cualquier orden en el tiempo$\tau:=t_f-t_i$, nos gustaría. (Como comprobación, tenga en cuenta que si uno diferencia (17a) con respecto al tiempo$\tau$, se obtiene (17b) multiplicado por$g$, y si se diferencia (17b) con respecto al tiempo$\tau$, se obtiene (17c), cf. ec. (4).) De esta manera podemos obtener una expansión de Taylor en el tiempo$\tau$de la forma

$$\tag{18} F(q(t_f)) ~=~\alpha\sum_{n,k,\ell\in \mathbb{N}_0} \frac{c_{n,k,\ell}}{n!}\left(\tau\sqrt{\alpha g}\right)^n \left(p(t_i)\sqrt{\frac{g}{\alpha}}\right)^k \frac{q(t_i)^{\ell}}{(F(q(t_i))/\alpha)^{k+\ell-1}}.$$

Las constantes universales adimensionales$c_{n,k,\ell}=0$son cero si$n+k$o$\frac{n+k}{2}+\ell$no son un entero par. Tenemos una expresión cerrada.

$$F(q(t_f)) ~\approx~ \exp\left[\tau gp(t_i)\frac{\partial}{\partial q(t_i)}\right]F(q(t_i)) ~=~ F(q(t_i)+\tau g p(t_i))$$ $$\tag{19} \qquad \text{for} \qquad ~ p(t_i)~\gg~\frac{ F(q(t_i))}{\sqrt{\alpha g}},$$

es decir, cuando podemos ignorar el segundo término en el campo vectorial hamiltoniano (15).

VII) El Lagrangiano correspondiente es

$$\tag{20} L(q,\dot{q})~=~T-V(q)~=~\frac{\dot{q}^2}{2g}+ \frac{\alpha}{2} \left(q \sqrt{1+q^2} + {\rm arsinh}(q)\right)$$

con ecuación de movimiento lagrangiana

$$\tag{21} \ddot{q}~=~ \alpha g \sqrt{1+q^2}.$$

Esto es esencialmente de Shouryya Ray$\psi$ecuación.

Referencias:

1. Herbert Goldstein, Mecánica Clásica.

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$^\dagger$Tenga en cuenta que si$u$se convierte en cero en algún momento, permanece cero en el futuro, cf. ecuación (1). Si$u\equiv 0$idénticamente, entonces la ecuación (1) se convierte en

$$\tag{22} -\dot{v} ~=~ \alpha v |v| + g.$$

La solución a la ec. (22) para negativo$v\leq 0$es

$$\tag{23} v(t) ~=~ -\sqrt{\frac{g}{\alpha}} \tanh(\sqrt{\alpha g}(t-t_0)) , \qquad t~\geq~ t_0,$$

dónde$t_0$es una constante de integración. En general,

$$\tag{24} (u(t),v(t)) ~\to~ (0, -\sqrt{\frac{g}{\alpha}}) \qquad \text{for} \qquad t ~\to~ \infty ,$$

tiempo

$$\tag{25} (q(t),p(t)) ~\to~ (\infty,\infty) \qquad \text{for} \qquad t~\to~ \infty.$$