Trayectoria balística 3D con arrastre cuadrático. Cálculo de posición y velocidad en el tiempo ttt

Una partícula comienza en el origen y tiene una velocidad inicial representada por un vector 3D. La partícula experimenta la gravedad y la resistencia del aire con arrastre cuadrático (basado en la velocidad ^ 2). Lo que he estado buscando son ecuaciones paramétricas para$x$,$y$, y$z$posición y velocidad de la partícula en un momento dado$t$.

Para que las respuestas sean similares, las dos constantes serán g como la gravedad y a como la resistencia del aire. también asumir$z$es elevación positiva.$v_x(t)$será la velocidad de la$x$componente a la vez$t$.${v_x}_0$representaría la velocidad inicial de la$x$componente.

En la parte inferior de este artículo de wikipedia , sugiere que hay una solución analítica para el problema 2D de un adolescente Shouryya Ray. Los enlaces Math.SE y Phys.SE correspondientes tienen personas discutiendo cómo resolver una constante de fricción, pero no hay ecuaciones paramétricas en ninguna parte. No estoy seguro de cómo pasar de lo que están hablando a las ecuaciones paramétricas reales que necesito.

Para cubrir lo que he aprendido hasta ahora. En 3D con gravedad y sin arrastre, se pueden usar las siguientes ecuaciones paramétricas:

$v_x(t) = {v_x}_0$

$v_y(t) = {v_y}_0$

$v_z(t) = {v_z}_0-gt$

$s_x(t) = {v_x}_0t$

$s_y(t) = {v_y}_0t$

$s_z(t) = {v_z}_0t - \frac{1}{2} g * t^2$

Con arrastre lineal según el artículo de Wikipedia que habíamos usado:

$v_x(t) = {v_x}_0e^{-\frac{a}{m}t}$

$v_y(t) = {v_y}_0e^{-\frac{a}{m}t}$

$v_z(t) = -\frac{mg}{a}+({v_z}_0+\frac{mg}{a})e^{-\frac{a}{m}t}$

$s_x(t) = \frac{m}{a}{v_x}_0(1-e^{-\frac{a}{m}t})$

$s_y(t) = \frac{m}{a}{v_y}_0(1-e^{-\frac{a}{m}t})$

$s_z(t) = -\frac{m * g}{a}t + \frac{m}{a}({v_z}_0 + \frac{m*g}{a})(1 - e^{-\frac{a}{m}t})$

Con el arrastre cuadrático tenemos la longitud de la velocidad, por lo que la velocidad y la posición de cada componente en el tiempo depende de los otros componentes de la velocidad. A partir de este post puedo escribir la versión 3D de la primera parte:

$v_x' = -av_x*\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

$v_y' = -av_y*\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

$v_z' = -av_z*\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}-g$

Pero me faltan los conocimientos matemáticos para continuar. Ni siquiera me queda claro para qué se usa la constante de fricción que calculan, ya que no se basa en el tiempo. Creo que cualquier truco que intente calcular un coeficiente constante necesitaría saber acerca de t. Probablemente estoy pensando en esto mal. Cualquier ayuda sería apreciada ya que imagino que este es un problema común en física.

editar: también mi caso de problema es específicamente para un vector de gravedad constante si eso ayuda para soluciones específicas, por lo que el camino debe ser una especie de parábola. Por lo que puedo decir, debería haber una función, ya que hay un valor de y para cada x.