¿Se refleja la luz si incide exactamente en el ángulo crítico?

Cuando uno está exactamente en el ángulo crítico, la luz se comporta de una manera que puede interpretarse como "algo entre" la refracción y la reflexión: continúa en una dirección que es tangente al límite de los medios.

Cuando el ángulo es menor que el ángulo crítico, obtenemos refracción. En el ángulo crítico,$\theta_2$de la refracción se convierte en 90 grados, por lo que obtenemos la propagación tangente. En ángulos mayores que los críticos, hay una discontinuidad: la ecuación para$\theta_2$(arcoseno de algo) no tiene soluciones, por lo que obtenemos una reflexión interna total.

No hay nada en estos hechos que contradiga la reversibilidad o la simetría de inversión temporal de las leyes de la física. Si invertimos el tiempo del comportamiento en el ángulo crítico, de hecho parece que la luz debe "elegir aleatoriamente" un momento en el que ingresa al medio con el índice de refracción más alto y no hay una forma única de elegir el momento preferido.

Pero eso no es un problema porque la probabilidad de que la dirección de la luz sea "exactamente" tangente al límite es cero. En una situación del mundo real, la luz será una superposición de haces con ángulos$\theta_2=\pi/2-\epsilon$para varios valores pequeños de$\epsilon$, y para cualquier distinto de cero$\epsilon$, la luz sabrá muy bien cuándo llega al límite. Por lo tanto, su problema solo ocurre en una parte insignificante de "medida cero" de la situación, por lo que es, como máximo, un problema de "medida cero". Cuando uno agrega el grado apropiado de realismo y especifica los ángulos precisos y las desviaciones del "modelo idealizado", el problema desaparece.

Es más correcto decir que los rayos de luz se dividen en subcomponentes reflejados y refractados en los límites, en lugar de reflejarse o refractarse. Descubrir esto se hace observando rigurosamente las condiciones de contorno de los campos eléctricos y magnéticos en la interfaz. El resultado termina siendo dependiente de la polarización y se conoce como ecuaciones de Fresnel.

Según las ecuaciones de Fresnel, como se esperaba, parte de la luz se transmite en el límite y parte se refleja en el límite, incluso por debajo del ángulo crítico. En el punto en que alcanza el ángulo crítico y el rayo de luz "se vuelve horizontal", el coeficiente de transmisión se reduce a cero. Entonces, si bien hay una "solución" que se mueve horizontalmente, exactamente el 0% del rayo de luz incidente estará haciendo esto. El coeficiente de reflexión llega al 100% exactamente en el ángulo crítico.

Más rigurosamente, considere que un análisis de las condiciones de contorno en la interfaz requiere que las dos polarizaciones de la luz tengan reflectancias:

$$R_{s} = \left(\frac{n_{1}\cos\theta_{i} -n_{2}\cos\theta_{t}}{n_{1}\cos\theta_{i}+n_{2}\cos\theta_{t}}\right)^{2}$$

$$R_{p} = \left(\frac{n_{1}\cos\theta_{t} -n_{2}\cos\theta_{i}}{n_{1}\cos\theta_{t}+n_{2}\cos\theta_{i}}\right)^{2}$$

Entonces, considera que estamos en el ángulo crítico, lo que nos dice que$\theta_{t} = \pi/2$y$n_{2} = n_{1}\sin\theta_{i}$(De ahora en adelante elimino el$i$subíndice). Entonces tenemos:

$$R_{s} = \left(\frac{n_{1}\cos\theta-0}{n_{1}\cos\theta+0}\right)^{2}=1$$

y

$$R_{p} = \left(\frac{0-n_{2}\cos\theta}{0+n_{2}\cos\theta}\right)^{2}=1$$

Por conservación de la energía, esto significa que los coeficientes de transmisión son por lo tanto cero y no se refracta luz en este ángulo.

Si bien las respuestas existentes no son incorrectas, pasan por alto una gran cantidad de detalles relevantes y no estaría mal dejar las cosas claras en algunos aspectos.

En particular, en lo que respecta a la reversibilidad temporal, este diagrama es enormemente engañoso:

¿Por qué es engañoso? Bueno, porque asume que puedes trabajar en la aproximación de rayos, y esto falla cuando estás en el ángulo crítico. Toda la óptica es óptica de ondas, y eso se reduce a la óptica de rayos en muchas situaciones, pero esta no es exactamente una de ellas.

Entonces, retrocedamos un poco y volvamos a la visión de la reflexión y la refracción de la óptica de ondas, que normalmente se conoce como el formalismo de las ecuaciones de Fresnel . Aquí, lo que tratamos de hacer es establecer un límite entre dos medios y 'disparar' desde abajo con una onda plana entrante,

$$\mathbf E_\mathrm{in}(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left( \mathbf E_{0,\mathrm{in}} e^{i(\mathbf k_\mathrm{in}\cdot \mathbf r- \omega t)}\right)\mathclose{},$$ y luego buscamos un conjunto correspondiente de ondas reflejadas y transmitidas, $\mathbf E_\mathrm{re}(\mathbf r,t)$y $\mathbf E_\mathrm{tr}(\mathbf r,t)$, tal que los campos combinados ( $\mathbf E_\mathrm{in}(\mathbf r,t)+\mathbf E_\mathrm{re}(\mathbf r,t)$en medio $1$y $\mathbf E_\mathrm{tr}(\mathbf r,t)$en medio $2$) será una solución a las ecuaciones de Maxwell.

Ahora, los detalles sangrientos se proporcionan en muchos libros de texto, por lo que no los repetiré aquí (pero vea, por ejemplo, §7.3 en Jackson para más detalles). Sin embargo, todo se reduce a esto:

• Poner el límite en el$xy$plano, supone que el vector de onda entrante se puede escribir como$\mathbf k_\mathrm{in} = (k_x,0,k_z)=k_\mathrm{in}(\sin(\theta_\mathrm{in}),0,\cos(\theta_\mathrm{in}))$.
• El vector de onda reflejado sale a$\mathbf k_\mathrm{re} = (k_x,0,-k_z)$.
• El vector de onda$\mathbf k_\mathrm{tr}$para la onda transmitida está sujeta a dos restricciones:
  • Su$x$El componente debe coincidir con los vectores de onda entrantes y transmitidos para que las ondas coincidan en el límite.
  • Su cuadrado necesita obedecer$\frac{1}{n_2^2}\mathbf k_\mathrm{tr}^2=\omega^2=\frac{1}{n_1^2}\mathbf k_\mathrm{in}^2$, para que la onda plana transmitida satisfaga la ecuación de onda a la misma frecuencia que la onda entrante (donde las frecuencias deben coincidir para que las ondas siempre estén sincronizadas en el límite). Esto significa, por lo tanto, que requerimos $$k_{z,\mathrm{tr}}^2 +k_x^2 = \frac{n_2^2}{n_1^2}\left(k_x^2+k_z^2\right),% k_{z,\mathrm{tr}} = \pm \sqrt{ \frac{n_2^2}{n_1^2}k_z^2 +\frac{n_2^2-n_1^2}{n_1^2}k_x^2 }.$$ y lo resuelves a partir de ahí.
• Luego calcula las amplitudes, pero eso no es relevante para nuestros propósitos aquí.

Entonces, ¿cuál es el trato con la reflexión interna total? Bueno, cuando decimos eso

$$k_{z,\mathrm{tr}}^2 +k_x^2 = \frac{n_2^2}{n_1^2}\left(k_x^2+k_z^2\right),$$ si $k_x$es lo suficientemente grande con respecto a $k_z$, y $n_2$es muy pequeño con respecto a $n_1$, existe la posibilidad de que el lado derecho sea más pequeño que $k_x$, y la única forma de acomodar eso es tener una negativa $k_{z,\mathrm{tr}}^2$. ¿Significa esto que tenemos que tirar todo el formalismo por la ventana? Realmente no, solo significa que al otro lado de una reflexión interna total encontraremos una onda evanescente , que decae exponencialmente alejándose del límite.

Así, si escribes

$$k_{z,\mathrm{tr}} = \sqrt{\frac{n_2^2-n_1^2}{n_1^2}k_x^2+\frac{n_2^2}{n_1^2}k_{z,\mathrm{in}}^2} = i\sqrt{\frac{n_1^2-n_2^2}{n_1^2}k_x^2-\frac{n_2^2}{n_1^2}k_{z,\mathrm{in}}^2} = i\kappa_{z},$$ y resulta que te sale un imaginario $k_{z,\mathrm{tr}}$, entonces el campo transmitido dice $$\mathbf E_\mathrm{tr}(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left( \mathbf E_{0,\mathrm{tr}} e^{-\kappa_{z} z}e^{i(k_x x- \omega t)}\right)\mathclose{},$$ donde lo que solía ser un oscilatorio $e^{ik_z z}$se ha convertido en el exponencial decreciente $e^{-\kappa_{z} z}$.

Esto se muestra mejor gráficamente: las animaciones a continuación muestran los campos incidente, reflejado, transmitido y total, en el transcurso de un ciclo, tanto para refracción normal,

y para la reflexión interna total:

Tenga en cuenta, en particular, que el campo no se detiene bruscamente en el límite, sino que se extiende un poco más allá, con un decaimiento suave a cero alejándose del borde.

Entonces, ¿qué sucede exactamente en el ángulo crítico? Aquí es donde se pone divertido: el ángulo crítico es el punto estrictamente entre positivo e imaginario en$k_{z,\mathrm{tr}}$, y eso resulta ser exactamente cero: es decir, el campo transmitido tiene un cero$k_z$componente,

$$\mathbf E_\mathrm{tr}(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left( \mathbf E_{0,\mathrm{tr}} e^{i(k_x x- \omega t)}\right)\mathclose{},$$ y esto significa que no oscila ni se desintegra fuera del límite, y llena todo el $n_2$espacio con una onda plana que se propaga estrictamente paralela al límite entre los medios:

Esto parece muy contrario a la intuición al principio, porque esta solución genera esta cantidad infinita de energía que ni siquiera se aleja del límite. Sin embargo, es importante tener en cuenta que, debido a que comenzamos nuestro cálculo con una onda plana de energía infinita, decididamente entramos en territorio no físico desde el principio, y no tenemos derecho a quejarnos de este tipo de características.

Esta es también la razón por la cual el diagrama inicial es incorrecto: en la refracción de onda plana adecuada en el ángulo crítico, no tiene un solo haz que golpee el límite en un solo lugar; en cambio, tiene una onda plana que incide en todo el límite en todo momento, interactuando con una onda (no) evanescente en el otro lado. Por lo tanto, si detiene el tiempo y lo hace retroceder, el haz incidente se convertirá en una onda plana que no se "origina" en ningún lugar del haz. (Y, también: para decir realmente que ha 'retrocedido el tiempo', también debe suministrar la versión invertida en el tiempo del haz reflejado, que suministra todo el flujo de energía que se transfiere al haz incidente invertido en el tiempo .)

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Bien, eso es lo que dice la óptica de ondas planas, y es bastante desagradable y nada físico. ¿Cómo se conecta esto con la realidad y por qué se nos permite usar un formalismo que produce tantas respuestas inútiles?

Esto se reduce a los cimientos de la óptica de rayos, que podemos construir a partir de la óptica de ondas planas al considerar una dispersión sobre los vectores de onda, de la forma

$$\mathbf E(\mathbf r,t) = \int f(\theta,\phi) \mathbf E_\mathbf{k} e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)} \mathrm d\Omega,$$ dónde $f(\theta,\phi)$es una función de distribución que está estrechamente agrupada alrededor del ángulo de incidencia previsto $\theta=\theta_\mathrm{in}$. Esto es lo que quiere decir Luboš cuando dice que esto "no es un problema porque la probabilidad de que la dirección de la luz sea "exactamente" tangente al límite es cero": estamos integrando sobre una dispersión continua de $\theta$s, y podemos eliminar puntos individuales sin afectar el valor de la integral. Esto es lo que sucede con los puntos en exactamente $\theta=\theta_c$: suceden en un conjunto de medida cero con respecto a la integración, por lo que podemos ignorar lo que sucede con ellos.

Y finalmente, para volver a la pregunta: ¿qué sucede en un experimento físico, si haces brillar un haz exactamente en el ángulo crítico, es decir, algo como esto,

^{Fuente de la imagen: Getty , obviamente. No pude encontrar uno sin marca de agua. Si lo haces, por favor dime.}

y luego intentas invertir el tiempo? Aquí, la imagen deja en claro que la integral de arriba es lo que está pasando: si el centro del haz está exactamente en el ángulo crítico, entonces la mitad de su energía está en modos en ángulos más altos (que se reflejan completamente internamente), y la mitad de su la energía está en ángulos que están casi pero no del todo en el ángulo crítico, y estos salen en un ángulo de transmisión finito lejos de$90$°. Este debe ser el caso: la única forma de alejarse de eso es entrar con un modo con una dispersión transversal infinita en el límite; esta es la versión ondulatoria del principio de incertidumbre en acción.

Y, si desea revertir esto en el tiempo, recurra a una combinación lineal de los dos casos más fáciles: debe proporcionar un haz con una incidencia rasante pero distinta de cero desde el lado de la transmisión, que tiene una incidencia bien definida Punto, y todo está bien. (Y, de manera similar, también debe proporcionar la versión invertida en el tiempo del haz reflejado, y esto es lo que pondrá la mayor parte de la energía en el haz incidente invertido en el tiempo. De lo contrario, obtendrá un reflejo de el haz transmitido con inversión de tiempo, que está completamente ausente en la versión sin inversión de tiempo).

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^{Código de Mathematica para las animaciones disponibles a través deImport["http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m"]["http://i.stack.imgur.com/jZ55H.png"]}