¿Cómo calculo el diámetro de un plato a partir del número de dientes?

Simplemente sabiendo el número de dientes en un plato, ¿podemos determinar un diámetro exacto?

Básicamente, hay 3 círculos con diferentes diámetros (puntas de dientes, base o donde realmente se asienta la cadena), ¿cuál quieres? Para que necesitas el diametro?
respuestas encantadoras aquí, pero ¿no es el diámetro el doble del radio de un círculo?
@jackJoe sí, pero eso no es útil porque tampoco conoces el radio.
@JackJoe: Lo es. Pero no tenemos ninguna información además de la cantidad de dientes, según el OP.
@freiheit & zenbike Estaba tratando de simplificar y olvidé la pregunta original, que solicita el diámetro a través del número de dientes, así que no importa mi comentario anterior.
Orejas de perro: mire la pregunta en Math.Stackexchange.com. Es un examen mucho más complejo y exhaustivo del problema. En cuanto a esta página, le sugiero que elija la respuesta de @Lantius. El mío es bueno y práctico para la mayoría de los propósitos. Entrará dentro del alcance del error de las herramientas de medición comunes. No es perfectamente preciso, y la respuesta de Lantius mejora eso.

Respuestas (3)

Un plato es un polígono regular de n lados donde n es el número de dientes. La longitud del lado s del polígono es la distancia de punta a punta de cada diente del plato.

La fórmula del radio de un polígono regular es:


(fuente: mathopenref.com )

Usando los 12,75 mm de zenbike anteriores para s , obtenemos 107,61 para el radio, o 215,22 mm para el diámetro, que está muy cerca de su aproximación.

La comparación de las dos fórmulas muestra que el término de longitud, como se esperaba, puede eliminarse. Esto nos deja con:

1 / sin( pi / n ) frente a n / pi

Para n grande , esos términos convergen, introduciendo un error de solo 0,12 mm cuando n =53. Es un poco más grande a medida que n se hace más pequeño, con una diferencia de 0,64 mm para n=11.

Para todos los propósitos prácticos, solo usaría s * n / pi , incluso para el engranaje más pequeño que encontrará, estará dentro de un milímetro.

Estoy interesado en las matemáticas aquí. ¿Puedes explicar (para los que tenemos menos tiempo en una clase de matemáticas) qué representa cada variable? Creo que te estoy siguiendo, pero no estoy seguro. La fórmula s*n/pi es la misma que estoy haciendo, ¿correcto? ¿De dónde viene la imprecisión para un número menor de lados? (Suponiendo que te estoy siguiendo y tengo las variables correctas).
¿Es la línea recta entre los dientes, en lugar de un arco descrito?
Es una línea recta. Por ejemplo, si tuviera un plato increíblemente pequeño con ocho dientes (vértices), podría trazar un octágono de aspecto limpio a su alrededor. Como ha supuesto, al medir la distancia en línea recta a lo largo de los bordes de ese octágono y multiplicar, se pierde la distancia adicional que un arco trazaría entre esos puntos, por lo que su circunferencia total queda un poco corta. A medida que sus puntos se acercan, la diferencia se vuelve más pequeña: un polígono con un millón de lados pequeños será casi indistinguible de un círculo.
Eso es lo que imaginé. Gracias por la aclaración. Entonces, ¿cómo se adapta al arco que falta en la medición?
En cuanto a las matemáticas: construyes un triángulo rectángulo con tres puntos: la mitad de un lado, un vértice adyacente y el centro del polígono, como en esta imagen . La hipotenusa será el radio que estás buscando. El lado opuesto será de longitud (s/2). Como (2n) de estos triángulos harían una revolución completa (2pi radianes), el ángulo del medio es (pi/n) radianes. Por trigonometría ( SOH CAH TOA), por lo tanto: sin(pi/n) = (s/2) / r . Mueva los términos con álgebra y obtendrá la fórmula anterior.
Gracias. Trataré de solucionar eso. Puedo molestarte de nuevo si me quedo atascado.
Las mismas matemáticas en un formato un poco más fácil de digerir es la función crd(theta) en.wikipedia.org/wiki/Chord_(geometry) - relaciona la longitud de la cuerda (el tono de la cadena en este caso) con el radio y la ángulo. Adaptado aquí, 12,7 mm = r crd (360 / n) = 2*r*sin(180 / n); por tanto r = 6,35 / sen (180 / n) mm. Necesitamos TeX por aquí.

Si solo conoce el paso de la cadena (estándar para la mayoría de las bicicletas) y la cantidad de dientes, entonces puede describir completamente el círculo (y el n-gon) solo a través de los centros de los pasadores . Haré lo mejor que pueda para hacer las fórmulas matemáticas de una manera legible con texto, pero describiré completamente cada uno de los cuatro círculos/n-gons:

Círculos de plato

Dejar:

n = número de dientes

L = paso de la cadena (longitud del eslabón) (12,7 mm para la mayoría de las bicicletas)

Consulte a continuación las medidas del valle, la parte superior del rodillo y la parte superior del diente. Tenga en cuenta que las puntas de los dientes pueden variar entre los fabricantes y variarán a lo largo de la vida útil del anillo. El método alternativo en la parte inferior es probablemente el método más fácil de usar para el espacio libre del marco.

Dado que conoce el paso de la cadena (1/2" o 12,7 mm es una cadena de la serie 40 que normalmente se usa en una bicicleta), los pasadores de la cadena formarán un n-ágono regular (un polígono con n lados de igual longitud) , con cada lado igual a 12,7 mm. La fórmula para el perímetro de este n-ágono es bastante simple (abajo) y estaría bien para la mayoría de las aproximaciones. Tenga en cuenta que esto también es igual a la longitud de la cadena que se enrollaría alrededor del anillo (la cadena seguiría el n-gon, no el círculo).

Perímetro de n-ágono hecho por pin centros

Perímetro de n-ágono = L * n = 12,7 * n mm

Sin embargo, esto no es del todo exacto para describir el círculo a través de los centros de los pasadores. Las fórmulas más precisas están a continuación:

Círculo a través de centros de pasadores

circunferencia = pi * L / (sen (180 / n)) = 39,8982 / (sen (180 / n)) mm

radio = L / (2 sen (180 / n)) = 6,35 / sen (180 / n) mm = 'pcRad' (radio del centro del pasador)

diámetro = L / sen (180 / n) = 12,7 / sen (180 / n) mm = 'pcD' (diámetro del centro del pasador)

Ahora, necesitaremos información adicional para describir los dos círculos/n-ágonos relacionados:

Para los fondos del valle y la parte superior de los rodillos, necesitamos saber el radio o el diámetro del rodillo de la cadena alrededor del pasador. Según http://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain , una cadena de la serie 40 tiene un diámetro de rodillo de 0,312" (7,92 mm). Dado que la distancia desde el centro del pasador hasta el fondo del valle es el radio de el rodillo:

Círculo / n-gon sobre fondos de valle

rRad = radio del rodillo (3,96 mm para la mayoría de las bicicletas)

Perímetro de n-gon de fondos de valle = 2 * n * (pcRad - rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad - 3,96) * sen (180 / n) mm

FloorRadius = pcRad - rRad = pcRad - 3,96 mm

FloorDiameter = 2 * fRad = pcD - 2 * rRad = pcD - 7,92 mm

Círculo / n-ágono de la parte superior de los rodillos de la cadena

Perímetro de n-gon de tapas de rodillos = 2 * n * (pcRad + rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad + 3,96) * sen (180 / n) mm

rollerTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3,96 mm

rollerTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7,92 mm

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi * (pcD + 2 * rRad) = pi * (pcD + 7,92) mm

Ahora, para describir el círculo/n-ágono final, necesitamos la altura de los dientes sobre los centros de los pasadores. Esperaría que esto sea positivo en un anillo de cadena nuevo y negativo en uno desgastado:

Círculo / n-ágono de las puntas de los dientes

t = altura de la punta del diente por encima de los centros de los pasadores (negativo si está por debajo)

Perímetro de n-ágono de puntas de dientes = 2 * n * (pcRad + t) * sin (180 / n)

tipRadius = pcRad + t

puntaDiámetro = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tipCircunferencia = pi * tD = pi * (pcD + 2 * t)

Alternativamente, para hacer este cálculo un poco más fácil (aunque un poco menos preciso en un plato desgastado), puede medir su propio espacio entre dientes individual. Idealmente, serían un poco más largos que el paso de la cadena, pero eso cambiará a medida que la cadena se desgaste:

Círculo / n-ágono de las puntas de los dientes - Alternativo

tEspaciado = distancia promedio entre las puntas de los dientes

Perímetro de n-gon de puntas de dientes = n * tSpacing

tipRadius = tSpacing / (2 sin (180 / n))

tipDiameter = 2 * tRad = tSpacing / sin (180 / n)

tipCircumference = pi * tD = pi * tSpacing / (sin (180 / n))

Una pequeña corrección a las fórmulas de Ehryk relacionadas con fondos de valle y puntas. Según [1], una cadena de la serie 40 tiene un diámetro de rodillo de 7,77 mm (0,306 pulgadas). El de Ehryk es para una cadena de la serie 41. [1]: en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain

EDITAR:

Publiqué esta pregunta en math.se y obtuve una respuesta interesante , que básicamente confirma la respuesta de Lantius como el modelo matemático más preciso y la mía como una aproximación práctica para el mundo de la bicicleta.

Con solo el número de dientes, no.

Pero dada la cantidad de dientes y el espacio requerido de punta a punta de cada diente para que coincida con la cadena para la marca de anillo de cadena utilizada, puede determinar fácilmente la circunferencia.

Con la circunferencia, es matemática simple determinar el diámetro.

Divide el diámetro por Pi (3.14159 al 5to decimal)

C = D/3.14159

Entonces, si el número de dientes es 53 y el espacio es 12,75 mm, tenemos una circunferencia de 675,75 milímetros.

675,75 milímetros dividido por 3,14159 da un diámetro de 215,1 milímetros. Convertido y redondeado a 2 lugares, mide 8,46 pulgadas.

He medido el diámetro de un plato Shimano de 53 dientes y mide 8,51 pulgadas. Así que creo que mis matemáticas deberían ser tan precisas como las tolerancias en mis medidas.

Diagrama de fórmula y método

Por supuesto, con un plato tienes la pregunta de cuál es "el diámetro", ¿cómo lo mides? Cuando se calcula a partir de la fórmula anterior, debe obtener el diámetro del círculo de la cadena, básicamente el círculo que describen los pasadores de la cadena, no el diámetro más interno o externo.
En realidad, este número se basa en la medición con un pie de rey de punta de diente a punta de diente. Es la circunferencia descrita por un círculo colocado para tocar la punta de cada diente. Y asumí el diámetro exterior, ya que eso es lo que importaría para la construcción de marcos.
Y espero que no sea elíptica :-)
Sí, ahora que lo pienso, una cadena debería estar un poco floja en un plato: una forma de verificar (crudamente) el estiramiento de la cadena es tirar del eslabón más delantero y ver cuánto cede. media cadena de espesor. Pero aun así no estaría (en teoría, al menos) calculando el diámetro exterior con su fórmula.
@Daniel R Hicks: ¿Cómo es eso? De hecho, funciona, ya que hice los cálculos y lo comparé con un anillo de cadena físico, y coincide. ¿No estoy describiendo el proceso lo suficientemente bien, tal vez?
según en.wikipedia.org/wiki/Bicycle_chain todas las cadenas tienen un paso de 1/2" (ANSI Standard #40)
El diámetro del círculo primitivo es diferente del diámetro del círculo del diente. ¿Cuál quieres? Puede usar una 1/2 pulgada en la fórmula anterior para el diámetro del círculo de paso. Para el diámetro del círculo del diente, necesita una medida o una medida promedio desde el centro de la punta hasta el centro de la punta. Si desea un diámetro de círculo de base de paso, necesita una medida de centro de valle a centro de valle. Con la entrada adecuada, la fórmula anterior proporcionará todo lo anterior. Y nota, dice bicicleta moderna. No todas las bicicletas.
¿Qué estás haciendo en realidad?
@zenbike: no sé por qué te acercaste tanto al diámetro exterior usando esa fórmula. Habría esperado que fueras tímido por 1/2 pulgada más o menos. Uno de los misterios de la vida, supongo.
@Daniel R Hicks: Realmente no entiendo por qué tienes esa impresión. Si mido la distancia desde el centro de la parte superior de cada diente hasta el siguiente diente y lo multiplico por el número de dientes, eso me da la circunferencia. Si divido la circunferencia por Pi, obtengo el Diámetro. Si me equivoco, me equivoco, pero no. Lo probé en 6 tamaños y marcas de platos diferentes en este punto, y estoy dentro de los 1,5 mm del diámetro medido físicamente en cada uno de ellos. Eso es tan preciso como puedo esperar con las herramientas que tengo para medir. Si piensas diferente, dame una fórmula corregida.
Por cierto, el diámetro es la distancia a través del centro de un círculo, no la distancia a su alrededor. El diámetro exterior no tiene sentido.
Pero el centro de la punta del diente a la punta del diente no debe ser de 1/2 pulgada, sino algo más grande. A medida que la cadena se desprende de la rueda dentada, el último eslabón que toca la rueda dentada con ambos pasadores toca la punta de un diente y un poco más abajo en el siguiente. De manera similar, el siguiente eslabón toca el tercer diente aún más abajo. El perfil de los dientes es tal que esta relación se mantiene para cada eslabón y diente hasta que la cadena llega al punto tangente con el piñón.
Y, por cierto, si mide de diente a diente y lo multiplica por el número de dientes obtendrá algo (ligeramente) menos que la circunferencia del círculo que lo contiene.
Una vez más, dado que he hecho las matemáticas y las medidas físicas, y coinciden, tendrás que hacer algo más que decir eso para convencerme. ¿Dónde está tu fórmula o respuesta? ¿Y qué es exactamente lo que crees que he hecho mal? Para que conste, la medida que utilicé en mi cálculo fue de 12,75 mm, punta de diente a punta de diente.
@Daniel R Hicks, agregué un diagrama para eliminar cualquier confusión de comunicación que tengamos. Sin embargo, las matemáticas son correctas, a menos que pueda señalar un error específico.
@Daniel R Hicks: FWIW, 12,75 mm es 0,502 pulgadas. Entonces, un poco más de 1/2 pulgada, pero no lo suficiente para la diferencia de 1/2 pulgada que dice que debería ver/esperar.
@DanielRHicks es correcto; pero esto aún debería estar dentro de su margen de 1,5 mm. La razón es que está haciendo el n-ágono discutido anteriormente, por lo que la circunferencia != centro del diente superior al siguiente diente * número de dientes; este es el perímetro del n-ágono en la parte superior de los dientes . A mí también me sorprendió la poca diferencia que hace esto (como Dan, esperaba que fuera más), pero la fórmula adecuada para la circunferencia a través de los centros de los pines = pi * (longitud del enlace) / sin (180 / n). Usando esto, obtengo d = 215,223 mm y c = 676,146 mm
Buscábamos el diámetro del círculo del diente, no el centro del pasador. El punto era juzgar la holgura al cuadro con un plato que no está en la mano. si, por ejemplo, tengo un plato de 42t y quiero saber cuánto más grande sería uno de 46t antes de comprarlo. Entiendo lo que dices, y Lantius tiene razón, por lo que sugerí que se aceptara su respuesta. @DanielRHicks estaba equivocado, aunque solo sea porque sus medidas no coinciden con las físicas, y no explicó cuál fue su proceso o por qué pensó que el mío estaba mal.
Vea mi respuesta a continuación. La altura de la punta de los dientes no se puede calcular de esta manera (sin conocer la distancia entre las puntas de los dientes y los centros de los pasadores); entonces, si ese es el punto de la pregunta, la respuesta es no en un sentido definitivo (aunque seguramente estaría en el parque de pelota, como lo midió experimentalmente). Tenga en cuenta que ninguna de las razones que dio hace que @DanielRHicks sea incorrecto. Espero que mi respuesta ilustre por qué tiene razón, aunque sus resultados experimentales son 'lo suficientemente cercanos' para el propósito de la pregunta.
@Ehryk, Daniel estaba equivocado porque su resultado esperado era 1/2 "de la realidad medida, y no quiso o no pudo dar ninguna explicación de por qué. Esto se ha discutido hasta la saciedad, y su respuesta duplica la respuesta aceptada. ¿Por qué? ¿Estamos hablando de eso otra vez?
Su resultado esperado fue erróneo, y mencioné que también me sorprendió lo poco, sin embargo, tenía razón en que la fórmula sería 'un poco tímido'. Tampoco está equivocado PORQUE no dio una explicación, y usted no está en lo correcto hasta que se demuestre lo contrario. La corrección no tiene nada que ver con la explicación o la falta de ella. "Sin embargo, las matemáticas son correctas, a menos que puedas señalar un error específico". está cambiando la carga de la prueba: las matemáticas son correctas o incorrectas, y n L = el perímetro del 53-gon, no la circunferencia del círculo que dibujó (pi L/sin(180/n)).
No dije que tenía razón. Dije que @Lantius tenía razón. Solo dije que Daniel no tenía razón. La cita que está usando arriba está fuera de contexto. No estaba creando una prueba. Mi prueba fue que la medida coincidía con el resultado de la fórmula. Pedirle a Daniel que me dijera dónde me equivoqué, si él cree que lo estaba, no fue "cambiar la carga de la prueba". Le estaba pidiendo que detallara su prueba de la afirmación que hizo de que yo estaba equivocado. De cualquier manera, toda esta conversación es larga y no voy a repetirla contigo, una persona que no estuvo involucrada de ninguna manera. Que tengas un lindo día.
Dije Por supuesto, con un plato tienes la pregunta de cuál es "el diámetro", ¿cómo lo mides? Cuando se calcula a partir de la fórmula anterior, debe obtener el diámetro del círculo de la cadena, básicamente el círculo que describen los pasadores de la cadena, no el diámetro más interno o externo. Hice el pequeño paso en falso en el sentido de que debería haber dicho "N-gon" en lugar de un círculo, pero el punto principal es que el cálculo debe realizarse a través de los centros de los pines, no de las puntas de los dientes. Si no ve cómo esto debería incluso requerir una explicación.
Puede calcular el diámetro de la punta del diente una vez que relaje la idea de usar el paso de la cadena, que @zenbike no lo es. El paso de la cadena es de 12,7 mm (idealmente), pero está usando la medida de diente a diente que tiene en 12,75 mm. n * esta medida = el perímetro del 53-gon sobre los dientes = 675,75 mm, pero la circunferencia será ligeramente mayor (pi*12,75/sin(180/53)) = 676,14 mm. La advertencia aquí es que debe medir cada espacio entre dientes porque variará de un plato a otro, donde el paso no lo hará.
@DanielRHicks: No requiere explicación. Trabajamos en esto hace mucho tiempo. Fue resuelto, hace mucho tiempo. Ehryk solo está tratando de agitar las cosas, como es su costumbre. Y está molesto porque le he dicho que no estoy interesado en saber nada de él. Por último, sé que estaba diciendo que un paso de media pulgada multiplicado de esa manera le daría un círculo de paso, no el diámetro, pero estaba usando la medida de punta a punta, no el paso establecido, y como dije antes, eso tiene que dar el diámetro de la punta del diente, al menos dentro de un estrecho margen de error.
No estoy interesado en 'revolver las cosas' y si crees que esa es mi motivación, entonces me has entendido completamente mal. He señalado errores y malentendidos (no solo en el comentario que eliminaste), y estás cometiendo falacias lógicas cuando dices cosas como "X está mal porque no me lo explicaron o no desacreditaron mi teoría/ecuación". ". Luego niega que esté cambiando la carga de la prueba cuando se trata de un caso de libro de texto. Además, estoy algo consternado por la falta de siquiera intentar entender, o considero que podría estar en un error: simplemente interrumpió la discusión.
Esto no es un foro de discusión. Es un sitio de preguntas y respuestas. Intenté decirte cortésmente que todo esto se resolvió hace meses y te niegas a escucharlo. No me importa particularmente si estás contento con eso o si piensas que mis pensamientos o métodos no son válidos. Te niegas a reconocer el hecho de que llegas tarde a la fiesta y que no aportas nada nuevo a la discusión. Ni tú ni Daniel han querido ni han podido responder a la única pregunta que quedó sin respuesta: si como dices me equivoco, ¿por qué las medidas resultan como predigo?
Lancio, cuando presentó la posibilidad de que yo estuviera equivocado, tenía tanto una razón como una mejor respuesta. ¿Y cuál fue mi respuesta? Lo investigué. Le pedí que me lo explicara. Luego estuve de acuerdo con él y sugerí que el OP eligiera su respuesta. Mi respuesta es lo suficientemente cercana para la aproximación. El suyo era correcto. No queda nada que discutir. Y he terminado con esta conversación.
Además, no borré tu comentario. Lo marqué por mala educación. No eliminé ninguno de los otros lugares donde se hicieron las mismas declaraciones, porque se hicieron de manera razonablemente cortés.
¿Por qué el tiempo tendría alguna importancia aquí? Lo incorrecto es incorrecto, y no tiene límite temporal donde se convierte en no incorrecto. Además, no vi estas respuestas con suficiente claridad que mostraran cómo describir TODAS las medidas de un plato, y la pregunta no especifica el diámetro de la punta del diente. Sus medidas funcionan porque su fórmula es "suficientemente buena" para el margen de error que le interesa. Lo que mi comentario pretendía esclarecer es que los comentarios de Daniel eran todos correctos excepto el "1/2" más o menos", pero lo que es más importante, el RAZONAMIENTO por el cual afirmabas que él estaba equivocado no es válido, y describí por qué.
@zenbike - Le agradecería mucho que hablara de esto conmigo en el chat.
¿Cómo calculo el diámetro de un plato a partir del número de dientes?
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