¿El campo magnético de un electrón en movimiento es causado por la contracción de la longitud en la dirección del movimiento?

Así que considera que tu electrón se mueve en paralelo a otro electrón que se mueve a la misma velocidad. En el marco estacionario, los campos eléctricos de ambos electrones se verían afectados en la forma que sugieres. Por lo tanto, cuando se considera en el marco estacionario, la repulsión entre los electrones sería mucho mayor que la dada por la ley de Coulomb. El efecto aumentaría cuanto mayor sea la velocidad de los electrones.

No podemos usar la ley de Coulomb cuando las cargas se mueven, pero podemos introducir la fuerza covariante de Lorentz, pero solo introduciendo una nueva fuerza, además de la debida al campo eléctrico, que actúa en el marco estacionario (o en cualquier otro marco que no sea el marco de reposo de los electrones), y que depende de la velocidad del electrón, del tamaño de su carga eléctrica y que actúa en una dirección entre los dos electrones y perpendicular a su velocidad.

Esta es, por supuesto, la dirección de la parte magnética de la fuerza de Lorentz, que forma la base para una definición de lo que entendemos por campo magnético (o densidad de flujo magnético).$\vec{B}$para ser preciso). Es el campo que produce una fuerza de$q\vec{v}\times\vec{B}$.

EDITAR: Las matemáticas son algo así.

En el marco del (de los) electrón(es) (marcaremos el marco de laboratorio como el marco imprimado), el campo eléctrico viene dado por la ley de Coulomb y, por lo tanto, la fuerza sobre otro electrón en una separación$R$sería

$$\vec{F} = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 R^2} \hat{R},$$ dónde $\hat{R}$es un vector unitario en la dirección entre los dos electrones.

Ahora, observado desde el marco del laboratorio, habrá un campo eléctrico transformado y un campo magnético. De acuerdo con las transformadas relativistas de los campos E y B , el campo eléctrico a lo largo de una línea entre los dos electrones es

$$\vec{E}' = \gamma \vec{E} = -\gamma \frac{e}{4\pi \epsilon_0 R^2} \hat{R},$$ y así la fuerza de Coulomb observada entre los electrones en el marco de laboratorio aumentaría por un factor de $\gamma$.

Sin embargo, invirtiendo la dirección de la pregunta: si ahora suponemos la existencia de un campo B (y la corrección del electromagnetismo como teoría covariante), entonces el campo B en el marco de laboratorio está dado por

$$\vec{B}' = -\frac{\gamma}{c^2} \vec{v} \times \vec{E} = -\frac{\gamma}{c^2}\frac{ve}{4\pi \epsilon_0 R^2} \ \hat{z} \times \hat{R} = -\frac{\gamma v e}{4\pi \epsilon_0 c^2 R^2}\ \hat{\phi}$$ donde se mueve el marco del laboratorio $\vec{v} = -v \hat{z}$con respecto a los electrones y $\hat{\phi}$es el vector unitario de coordenadas cilíndricas habitual.

Ahora podemos combinar estos campos en el marco móvil para encontrar la fuerza neta sobre el otro electrón.

$$\vec{F}' = -e\vec{E}' -e\vec{v}\times \vec{B}' = \gamma \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 R^2} \hat{R} +ev\frac{\gamma v e}{4\pi \epsilon_0 c^2 R^2}\ \hat{z} \times \hat{\phi}$$ y donde esta vez $\vec{v} = +v\hat{z}$de acuerdo con un observador en el marco del laboratorio, por lo que $$\vec{F}' = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 R^2} \left( \gamma -\gamma\frac{v^2}{c^2} \right) \ \hat{R} = \frac{\vec{F}}{\gamma}.$$

Así es exactamente como debería transformarse una fuerza según la relatividad especial .

El campo eléctrico de una partícula cargada que se mueve en el$x$la dirección del movimiento se transforma en Lorentz como

$$E'_x~=~\gamma E_x,~E'_y~=~\gamma(E_y~-~vB_z/c^2),~E'_z~=~\gamma(E_Z~+~vB_y/c^2).$$ El movimiento de la carga transforma los componentes del campo eléctrico en componentes del campo magnético.

La idea es buena pero es un poco más complicada.
Tienes que trabajar con la forma tensorial del campo electromagnético.$F^{\mu \nu}$y las 4 dimensiones del espacio-tiempo.
La transformación de Lorentz que lleva un electrón desde el reposo a un electrón con velocidad constante puede verse como una rotación en las 4 dimensiones del espacio-tiempo (${\Lambda^{\nu'}}_\nu$).
Todos los tensores cambiarán, "rotarán", de acuerdo con esta rotación. Al igual que los vectores tridimensionales giran cuando giras un marco. Debido a que el tensor electromagnético tiene dos índices, debe aplicar la rotación en cada índice como se describe aquí .
Básicamente, el tensor se transforma así:
$F^{\mu'\nu'} = {\Lambda^{\mu'}}_\mu F^{\mu\nu} {\Lambda^{\nu'}}_\nu$
Y obtienes el nuevo campo eléctrico y magnético dentro del nuevo tensor$F^{\mu'\nu'}$.

También podrías usar el vector de potencial electromagnético$A^{\mu}$. Su transformación es más sencilla porque tiene un solo índice (es un vector).

Así que básicamente tu idea es buena. La contracción (que de hecho es una rotación) del espacio y el tiempo "rotará" los campos eléctricos y magnéticos. La matemática involucra la transformación de tensores.

Está el efecto llamado magnetismo, y luego está el efecto que describiste.

Algunas cosas básicas sobre el magnetismo: No hay magnetismo entre una carga en movimiento y una carga estática. No hay magnetismo entre las cargas que se mueven a lo largo de una línea.

Y ahora algunas cosas básicas sobre el efecto que describiste: hay un efecto entre una carga en movimiento y una carga estática. Hay un efecto entre cargas que se mueven a lo largo de una línea.

Es razonable decir que esos son dos efectos diferentes.

Consideremos un cable portador de corriente que contiene la misma cantidad de cargas positivas y negativas. No hay campo eléctrico al lado de ese cable, aunque las líneas de campo de cada electrón están comprimidas en la dirección perpendicular al movimiento. Todas las líneas de campo de esos electrones sumadas dan como resultado líneas de campo idénticas como en el caso cuando no hay corriente.