Fuerza sobre una carga en movimiento en 2 fotogramas

El siguiente problema simple parece conducir a una contradicción cuando se analiza en diferentes marcos.

Considere un cable estacionario infinitamente largo con densidad de carga de línea positiva$\lambda_0$y densidad de carga negativa$-\lambda_0$. En su marco de reposo, el cable es eléctricamente neutro.

Ahora considere conducir una corriente para que las cargas negativas se muevan hacia la derecha con velocidad uniforme$v$mientras que las cargas positivas permanecen fijas. A una distancia$y$del alambre, una carga positiva$q$se mueve hacia la derecha con la misma velocidad$v$paralela al alambre.

En el marco del laboratorio, el cable ahora tiene carga negativa, porque el movimiento de las cargas negativas conduce a una contracción de Lorentz, lo que hace que la densidad de carga neta$(1-\gamma)\lambda_0$. Además, las cargas en movimiento también crean una corriente, con$I=-\gamma \lambda_0 v$, que crea un campo magnético. Por lo tanto, según la regla de la mano derecha, la fuerza magnética sobre la carga positiva se aleja del alambre y tiene una magnitud$F_B=qvB= \frac{\mu_0 q\gamma\lambda_0 v^2}{2\pi y}$. Además, la contribución del campo eléctrico apunta en dirección opuesta y tiene magnitud$F_E=qE=\frac{q(\gamma-1)\lambda_0}{2\pi\epsilon_0 y}$. La fuerza total, analizada en el marco de laboratorio, es por lo tanto$F=\frac{\mu_0 q\gamma\lambda_0 v^2}{2\pi y}-\frac{q(\gamma-1)\lambda_0}{2\pi\epsilon_0 y}=\frac{\lambda_0 q}{2\pi\epsilon_0 y}(\epsilon_0\mu_0v^2 \gamma -\gamma+1) =\frac{\lambda_0 q}{2\pi\epsilon_0 y}(1-\frac{1}{\gamma})$, usando$\epsilon_0\mu_0=1/c^2$y$1/\gamma=\sqrt{1-v^2/c^2}$. Desde$1-\frac{1}{\gamma} >0$, la carga será repelida del cable.

Sin embargo, en el marco de la carga en movimiento, no hay fuerza magnética ya que la carga en sí está estacionaria en su propio marco. En cuanto al campo eléctrico, en este marco las cargas negativas en el alambre son estacionarias (porque se mueven a la misma velocidad$v$en el marco del laboratorio), mientras que las cargas positivas se mueven a una velocidad$-v$. Esto significa que, visto en este marco, el cable tiene una carga neta positiva.$\lambda=(\gamma-1)\lambda_0$, lo que resulta en una fuerza$F'=\frac{(\gamma-1)\lambda_0 q}{2\pi\epsilon_0 y}$en el cargo

Claramente, la expresión para$F$no está de acuerdo con$F'$($F'=\gamma F$), lo que conduce a diferentes imágenes físicas. ¿Que esta mal aquí? (¿Supongo que F también debería transformarse bajo un cambio de marco?)