¿Qué tan rápido se transfiere el calor por conducción?

La ecuación de calor para este tipo de problemas (suponiendo 1D), dice

$$\frac{\partial T}{\partial t} = a \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$$

donde por supuesto$T$es la temperatura,$t$es hora,$x$es posición y$a$la difusividad térmica:$a=\frac{\lambda}{\rho c_p}$(conductividad térmica, densidad y capacidad calorífica respectivamente. Esta ecuación se puede derivar de la ley de Fourier .

Suponga que tiene un bloque a temperatura$T_0$que pones en contacto con un bloque de temperatura$T_1$en$x=0$. Entonces tienes un conjunto de condiciones de contorno.

$$T(x,0) = T_0 \\ T(0,t) = T_1 \\ T(x\to\infty,t)=T_0$$

No es fácil, pero se ha deducido que la solución a esta ecuación es

$$\frac{T-T_0}{T_1-T_0}=1-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\displaystyle\int_0^{\frac{x}{2\sqrt{at}}} e^{-s^2}ds$$ Donde la solución de esta integral se denomina función de error

Esta solución describe el perfil transitorio y espacial de la pieza de material calentada.

Durante tiempos cortos, solo se calienta una cierta cantidad del material. Usando la función de error, se puede definir la profundidad de penetración , que es$x_p=\sqrt{\pi a t}$, que obviamente es una medida de hasta qué punto el aumento de temperatura varía en el material.

Suponga que su dominio tiene una longitud finita y está aislado en el otro extremo. El coeficiente de transferencia de calor de la pared en$x=0$es casi constante, y la temperatura promedio del bloque convergerá con una caída exponencial a la temperatura límite (ver la respuesta de Vladimir). Esto se puede derivar de la ecuación del calor suponiendo que$\frac{T-T_0}{T_1-T_0}=1 - f(t) g(x/L)$

Nota: Este libro se usó como referencia para algunas de las ecuaciones.

Uno puede estimar fácilmente el tiempo de alcanzar un estado estacionario. Si tiene una capa de cierto espesor y conoce las propiedades térmicas del material, el problema se resuelve en cualquier libro de texto sobre conducción de calor. La temperatura en el otro extremo varía con el tiempo y la etapa final es muy simple (llamada régimen regular):$T(t)\approx T(\infty)+Ae^{-\lambda_0 t}$. El valor propio más bajo$\lambda_0$se determina con el espesor de la capa$L$, su conductividad térmica$\kappa$, capacidad calorífica específica$c$y la densidad del material$\rho$.

$$\lambda_0 = \frac{\pi^2 \cdot\kappa}{4\rho \cdot c \cdot L^2}$$