¿Por qué el vector de flujo de calor en un punto debe ser perpendicular a la superficie isotérmica de temperatura? ¿Es una definición o una deducción?

El flujo de calor es un vector porque tiene una magnitud y una dirección. Además, tiene estas propiedades en todos los puntos del espacio, lo que lo convierte en un campo vectorial. Puede pensar en una analogía con el flujo de masa en un medio con densidad no homogénea; la difusión tenderá a igualar la densidad en todas partes, por lo que habrá un movimiento específico de masa en cada punto determinado por su entorno inmediato.

La dirección del flujo de calor especifica para cada punto la dirección de la caída de temperatura más rápida.

Finalmente, el flujo de calor es normal a una superficie isotérmica, porque si no lo fuera, tendría una componente tangencial a lo largo de la superficie isotérmica en ese punto. Eso, a su vez, significaría que habría un gradiente (diferencia) de temperatura distinto de cero a lo largo de la superficie, lo que significaría que no es una superficie isotérmica.

Más recursos:

http://www.et.byu.edu/~vps/ME340/ME340.htm

http://www.amazon.com/books/dp/0470501960

http://freevideolectures.com/Course/3005/Heat-Transfer/1

En realidad, esto ni siquiera es correcto. El gradiente de temperatura es normal a la superficie isotérmica, que es una simple consecuencia matemática de la expansión local de Taylor$T({r}_0+\delta{{r}})=T(r_0)+(\partial{T}/\partial{r}) \delta r$. Sin embargo, en general el flujo de calor no es local (es decir, el flujo de calor en un punto dado no está definido únicamente por la temperatura local y su gradiente); pero incluso si es local, el flujo de calor no es en general colineal con el gradiente de temperatura debido a la anisotropía del transporte, por lo que la relación correcta es$\vec{q}=-\hat{\kappa} \nabla(T)$dónde$\kappa$es el tensor de conducción de calor. Por ejemplo, en el plasma magnetizado, la anisotropía del transporte de calor puede ser de varios órdenes de magnitud, y en un plasma confinado magnéticamente, el flujo de calor no suele ser ortogonal a la superficie isotérmica, sino casi exactamente a lo largo de la superficie (a lo largo de la línea del campo magnético, para ser exacto).

Sin embargo, si asumimos el transporte isotrópico (como parece implicar la pregunta), entonces el tipo de argumento estándar utilizado para un proceso de difusión como, por ejemplo, en el artículo de Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Fick%27s_laws_of_diffusion explica por qué el flujo está a favor del gradiente de temperatura.

EDITAR: para responder a las nuevas preguntas formuladas, es un principio básico de la termodinámica que el calor fluye de los cuerpos calientes a los fríos. La dirección del vector de flujo de calor es precisamente esa. Por lo tanto, debería ser obvio por qué este vector es ortogonal a las superficies isotérmicas una vez que aceptamos ese principio. La ley de Fourier es solo una declaración refinada de ese principio que también nos dice la relación entre las magnitudes del gradiente de temperatura y el flujo de calor.

Suponga que tiene una caja sobre la cual hay un gradiente de temperatura desde el lado izquierdo de la caja hacia el lado derecho, siendo el lado izquierdo el lado más cálido. La cantidad de calor que fluye a través de la caja por unidad de tiempo es proporcional al gradiente de temperatura y al área superficial del costado de la caja. Esa es la ley de Fourier.

En una situación más compleja, el calor podría fluir en varias direcciones. el flujo de calor$dQ/dt$descrito en la fórmula anterior es para calentar el flujo$\vec{q}$como actual$I$es a la densidad de corriente$\vec{j}$en electromagnetismo. Entonces el gradiente de temperatura se convierte en$\nabla T$en su forma vectorial más general, donde$\nabla$es el operador de gradiente. entonces tenemos

El gradiente de temperatura es el análogo de la diferencia de potencial en el electromagnetismo. Y la ley de Fourier es análoga a la ley de Ohm.

He aquí una aclaración de la definición de flujo

o alternativamente