¿Cuál es la mejor estrategia para llenar completamente la nevera con botellas de cerveza y que se enfríen todas?

Sin hacer el análisis, pensaría que un sistema de enfriamiento es más efectivo para extraer calor de un recipiente tibio que de uno frío.

Para un frigorífico, la eficacia (o coeficiente de rendimiento) es$Eff=Q_c/W$es la relación entre el calor extraído de la fuente fría (la nevera) y la energía utilizada para ese propósito. Aumenta con la temperatura de la fuente fría. Este es en realidad el factor principal a considerar en el análisis.

Si asumimos que, para una temperatura actual dada de su contenido, y por lo tanto para un coeficiente de rendimiento dado, la capacidad de enfriamiento de la nevera (calor eliminado por segundo) está limitada solo por la potencia de su motor de enfriamiento (no sé si ese es el caso), entonces la bomba de calor bombeará más calor por segundo cuando el refrigerador esté caliente.

Por lo tanto, es mejor colocar todas las botellas a la vez y calentar el refrigerador para obtener la máxima capacidad de bombeo de calor de la bomba de calor.

La tasa de intercambio de calor dentro del refrigerador también puede ser un tema importante, pero no hay datos disponibles para medir qué tan importante. Si es muy baja, dejando un gradiente de temperatura importante en el frigorífico, puede ser útil intercambiar la posición de las botellas, para tener la parte más caliente de la carga cerca de la bomba de calor y trabajar con el mayor coeficiente de rendimiento posible. .

Las cifras precisas sobre la carga no importan mucho. Sin embargo, una carga con una gran capacidad de calor tardará más en enfriarse y, por lo tanto, permitirá más tiempo para compartir el calor.

En la segunda parte a continuación, demostramos formalmente que todas las botellas deben enfriarse a la vez, y usamos el entendimiento para discutir el problema de compartir el calor con más profundidad. La variabilidad del coeficiente de rendimiento con la temperatura es fundamental para este análisis.

DECLARACIÓN FORMAL Y PRUEBA

Un refrigerador es una máquina de Carnot que funciona como un intercambiador de calor, donde estamos interesados ​​en eliminar el calor del depósito de baja temperatura, utilizando el trabajo de un motor que proporciona compresión.

La eficacia, o coeficiente de rendimiento , anotado aquí$Z$, Se define como$Z=Q_c/W$dónde$W$es el trabajo proporcionado y$Q_c$es la cantidad de calor extraído de la fuente fría (el refrigerador) con ese trabajo. si notamos$Q_h$la cantidad de calor entregada a la fuente caliente (fuera del refrigerador), tenemos la igualdad$Q_h=W+Q_c$.

Para un ciclo de Carnot ideal, tenemos$Z_{ideal}=Q_c/W=Q_c/(Q_h-Q_c)=T_c/(T_h-T_c)$dónde$T_h$y$T_c$son las temperaturas de la fuente fría y caliente. (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Coficient_of_performance ).

Por supuesto, el coeficiente real de rendimiento$Z$es menor que el ideal de Carnot. A falta de conocer su especificidad, sólo supondremos que, como el coeficiente ideal, depende monótonamente de la temperatura.$T_c$de la fuente fría, considerándose la fuente caliente (fuera del frigorífico) a temperatura constante. Por tanto , sólo suponemos que el coeficiente de rendimiento$Z$es una función estrictamente creciente de la temperatura (fuente fría) , es decir, tal que$T_1< T_2\ \Rightarrow\ Z(T_1) < Z(T_2)$

Suponemos también que la potencia mecánica disponible para la compresión es invariante , es decir, no depende de la temperatura de las fuentes, al menos dentro del rango de temperaturas considerado.

Finalmente, también suponemos que la capacidad calorífica del refrigerador en sí es insignificante, y que compartir el calor dentro del refrigerador lleva un tiempo insignificante en comparación con el tiempo de enfriamiento, por lo que se puede considerar que el contenido tiene una temperatura uniforme. Estos dos últimos supuestos se discutirán más adelante.

Con las suposiciones anteriores, dadas dos masas$m_1$y$m_2$para enfriarse en la fuente de frío, es más rápido enfriar la cabina simultáneamente que intentar enfriar una primero y luego agregar la segunda. También consume menos energía.

PRUEBA

Enfriando una masa$m$

En realidad, las fórmulas anteriores se refieren a incrementos de calor y trabajo. Esto es necesario ya que$Z$depende de la temperatura, y la temperatura puede variar. Además, dado que pretendemos analizar el sistema desde el punto de vista de la fuente de frío, los incrementos de calor en realidad se eliminan de esa fuente y deben contarse como negativos.

Entonces podemos escribir$Z= -dQ_c/dW$, o$dQ_c/dW=-Z$. La potencia proporcionada por el compresor es una constante.$P=dW/dt$. Por eso$dQ_c/dt= (dQ_c/dW)\times(dW/dt)=-Z\times P$.

Por otro lado sabemos que quitando calor se reduce la temperatura según la fórmula$\Delta Q=-cm \Delta T$, dónde$m$es la masa que se recoge y$c$es el calor específico de la sustancia que constituye esa masa.
Por lo tanto, tenemos$dQ_c/dt= cm(dT_c/dt)$.

Combinando las dos fórmulas, obtenemos$dT_c/dt=-ZP/cm$. Pero no podemos resolver esta ecuación ya que$Z$es una función desconocida de$T_c$.

lo que sabemos es que$Z(T_c)$,$P$,$c$y$m$son valores estrictamente positivos. Entonces$dT_c/dt$es estrictamente negativo. Por eso$T_c$disminuirá con el tiempo. Dado que la función$Z(T_c)$es una función estrictamente creciente, su valor también disminuirá con el tiempo, y por lo tanto el valor absoluto de la derivada$dT_c/dt$también disminuirá con el tiempo.

Por tanto, la representación gráfica de la evolución de la temperatura se parecerá a la curva roja de la figura, donde$T_0$es la temperatura inicial en el tiempo$t_0$.

Enfriando la misma masa$m$en dos pasos

Si consideramos enfriar de forma independiente (en un frigorífico idéntico) otra masa$m_1$, menor que$m$, con temperatura inicial$T_0$obtenemos otra curva, como la curva en azul en la parte izquierda de la figura hasta el punto C, correspondiente a la ecuación$dT_c/dt=-ZP/cm_1$. Está debajo de la curva roja porque la masa más pequeña$m_1$se enfría más rápido que$m$. Formalmente, si trazamos una línea horizontal como la línea que corta ambas curvas en A y B, esto corresponde a la misma temperatura para ambas curvas, por lo tanto, a un valor común del coeficiente de rendimiento$Z$. Entonces$m_1< m\ \Rightarrow\ (dT_c/dt)_A<(dT_c/dt)_B$. Como esto es cierto para cualquier valor de la temperatura$T_c$, confirma que la curva azul para$m_1$disminuye más rápido que la curva roja para$m$.

Supongamos ahora que en el momento$t_2$la masa$m_1$se ha enfriado a la temperatura$T_2$correspondiente al punto C debajo de la curva roja. agregamos a$m_1$otra masa$m_2$tal que$m=m_1+m_2$, la masa$m_2$estando a la temperatura inicial$T_0$.

La masa$m_2$siendo más cálido que$m_1$compartirá su calor con$m_1$(en un tiempo despreciable según nuestra hipótesis) para que ambos alcancen la temperatura$T_1$correspondiente al punto D, y continuar con el enfriamiento.

En cualquier momento entre$t_0$y$t_2$, la temperatura de$m_1$(azul) es menor que la temperatura de$m$(rojo). Por lo tanto, el refrigerador funciona con un coeficiente de rendimiento más bajo.$Z$para$m_1$que por$m$, y se ha eliminado menos calor del refrigerador que contiene$m_1$que del refrigerador que contiene$m$en el momento$t_2$. Cuando introducimos la masa$m_2$con$m_1$, el calor total introducido en el frigorífico es el de$m_1+m_2$a temperatura$T_0$. Esto es exactamente lo mismo que el calor introducido en el refrigerador que contiene$m$. Dado que se eliminó menos calor del$m_1+m_2$refrigerador a la vez$t_2$, es a una temperatura más alta que el$m$refrigerador. Por lo tanto, el punto D está por encima de la curva roja.

El$m_1+m_2$refrigerador ahora contiene la misma masa que el$m$refrigerador. Por lo tanto, seguirá una curva idéntica. pero esta a temperatura$T_1$que se logró antes, en el momento$t_1$por el$m$refrigerador. Así que la parte derecha de la curva de enfriamiento azul para$m_1+m_2$, comenzando en el punto D es lo mismo que la parte derecha de la curva de color rojo para$m$comenzando en el punto B, traducido por una duración$\Delta t=t_2-t_1$.

Conclusión

Las masas$m_1+m_2$siempre alcanzará cualquier temperatura con un retraso$\Delta t$despues de la misa$m$lo ha alcanzado. Se necesitarían cifras reales para ser más precisos.

Ante el problema, el motor de refrigeración estará trabajando a máxima potencia para conseguir la refrigeración más rápida posible en ambos casos. Entonces es obvio que la solución más rápida es también la más económica energéticamente. Esto supone que el enfriamiento se inicia justo en el momento adecuado o que la potencia de enfriamiento se reduce una vez que se alcanza la temperatura adecuada.

Estos resultados se basan exclusivamente en nuestras suposiciones, independientemente de las cifras reales. Ahora discutiremos algunas de estas suposiciones.

DISCUSIÓN

Capacidad calorífica del frigorífico.

Hemos supuesto que la capacidad calorífica del refrigerador mismo es despreciable. Sin embargo, debemos analizar su efecto. Primero notamos que el objetivo es extraer calor de un número determinado de botellas para traerlas de$T_0=30^{\circ}C$a$T_f=6^{\circ}C$. Corresponde a una cantidad precisa$Q$de calor a eliminar, independientemente del proceso utilizado para tal fin.

Si el refrigerador en sí está inicialmente a temperatura$T_f$, al principio compartirá calor con la masa a enfriar, calentando y enfriando así las botas. Pero luego tendrá que enfriarse para$T_f$de nuevo, por lo que su contribución neta al proceso de enfriamiento será nula, y la misma cantidad$Q$de calor tiene que ser eliminado por la bomba de calor. Sin embargo, al compartir el calor al principio, induce un enfriamiento temprano, lo que hace que todo el proceso de eliminación de calor funcione a una temperatura más baja, por lo tanto, con un coeficiente de rendimiento más bajo.$Z$.

El efecto neto de la capacidad calorífica del refrigerador es, por lo tanto, proporcionar algo de enfriamiento temprano, lo que a veces puede considerarse una ventaja, pero a expensas de un coeficiente efectivo de rendimiento más bajo.$Z$. Estos efectos aumentan con la capacidad calorífica del frigorífico.

Tenga en cuenta que si la temperatura inicial del refrigerador está por debajo de la temperatura final deseada$T_f$, la diferencia multiplicada por la capacidad calorífica es una contribución neta al proceso de refrigeración, aunque se mantiene la pérdida en el coeficiente de rendimiento.

De ahí que sea mejor no tener nada más en el frigorífico, ni siquiera ya enfriado , a menos que se enfríe a una temperatura mucho más baja que la temperatura final.$T_f$destinados a las botellas.

Tasa de intercambio de calor

Como hemos visto en la discusión anterior, el objetivo principal es eliminar una cantidad determinada$Q$de calor, y la eficacia de la eliminación disminuye a medida que baja la temperatura. Si la tasa de intercambio de calor dentro del refrigerador es pequeña, el volumen cerca del sistema de enfriamiento se enfriará más rápido, reduciendo así el coeficiente de rendimiento, es decir, la tasa de eliminación de calor.

Por lo tanto, garantizar la mejor distribución posible del calor puede ayudar en todas las circunstancias. Cabe señalar que el intercambio directo entre botellas cilíndricas se reducirá al mínimo: solo una línea de contacto. Entonces, si el espacio lo permite, probablemente sea preferible ayudar a que el aire circule entre las botellas. Mantener las botellas en posición vertical ayudará si el refrigerador tiene estantes de rejilla que dejan pasar el aire, en lugar de estantes de vidrio. Y, por supuesto, las botellas deben estar desempaquetadas.

Abrir la puerta para cambiar rápidamente las botellas y colocar las más calientes cerca del sistema de enfriamiento mejorará el coeficiente de rendimiento y reducirá el tiempo de enfriamiento. Puede tener algún costo calentar el refrigerador, pero eso es menos importante si la capacidad calorífica de la carga a enfriar es grande (las medidas reales serían útiles).

El intercambio de bootles también evitará tener que enfriar los que están cerca del sistema de enfriamiento por debajo de la temperatura requerida$T_f$para que la temperatura de todas las botellas sea al menos tan baja como$T_f$.

Dado el tiempo limitado, creo que la mejor estrategia sería conseguir una tina de agua helada y poner tantas cervezas como puedas allí. Esos deben enfriarse lo suficiente entre 10-20 min. Pon el resto de la cerveza en la nevera mientras se enfría. Después de que la cerveza helada se haya enfriado, colócala en el refrigerador. La gran masa de cerveza fría evitará que la temperatura baje tanto al abrir la puerta. Cambia la cerveza fría por cualquier otra cerveza que aún no se haya enfriado.

Si realmente tiene prisa, puede tomar prestada una técnica utilizada para hacer helado. Agregue sal al agua helada y bajará la temperatura del agua helada de 0C a ~-21C. La cerveza se enfriará en 2 minutos a esa temperatura. Solo ten cuidado porque hace mucho frío.

EDITAR:

También debería incluir una estrategia para usar solo el refrigerador. Desea que la superficie de la botella de cerveza esté en contacto con un medio lo más frío posible. Esto significa que desea evitar una configuración compacta porque, de lo contrario, la cerveza caliente estaría en contacto con otra cerveza caliente. Trate de colocar la cerveza con huecos para que pueda circular el aire frío. Si su refrigerador es como el mío, el elemento frío está en la parte superior del refrigerador. Esto significa que las primeras cervezas en enfriarse estarán en la parte superior. Sin embargo, asegúrese absolutamente de mantener la parte superior tan suelta como sea posible porque, de lo contrario, el aire frío no fluirá hacia la otra botella. Si organiza las botellas en una configuración compacta, asegúrese de que la botella esté vertical y no horizontal.

Depende del volumen de tu frigorífico frente a la cantidad de botellas que tengas. De cualquier manera, siempre es mejor mantener las botellas que se están enfriando lo más separadas posible para maximizar el área de superficie para liberar calor.

Si en su refrigerador apenas caben todas las botellas a la vez, sería mejor colocar algunas botellas a la vez en el refrigerador, esperar a que se enfríen cerca de los 6 ∘C, empaquetarlas bien en una esquina y luego colocar más botellas para enfriar. Si en su frigorífico caben fácilmente todas las botellas, entonces podría poner todas las botellas a la vez para que queden lo más separadas posible.

La razón por la que el tamaño del frigorífico es importante es porque si las botellas están bien empaquetadas, las botellas exteriores aislarían las botellas interiores del aire frío del frigorífico.

La clave para responder a esta pregunta es entender si es la tasa máxima de intercambio de calor de su refrigerador o la tasa de enfriamiento de la cerveza lo que está limitando. Tu cerveza necesita perder alrededor de ~100J/g de calor. Su refrigerador es quizás 15$\mathrm{ft}^3$, de los cuales tal vez un tercio es en realidad cerveza, por lo que tendrá alrededor$5\cdot\left(12\cdot2.54\right)^3 = 142 \mathrm{kg}$de cerveza allí requiriendo 14 MJ de transferencia de calor. A 200 W y un coeficiente de rendimiento típico de alrededor de 5 (creo que esto es bastante optimista, ¡pero nadie reporta este número hasta donde yo sé!), eso sigue siendo alrededor de 14,000 segundos para enfriar toda la carga, o alrededor de cuatro horas. Las recomendaciones para enfriar el vino generalmente están en el rango de 1 a 2 horas, y las botellas de cerveza son mucho más pequeñas.

Por lo tanto, es probable que esto esté dominado por la tasa máxima de transferencia de calor de su refrigerador. Puedes poner la cerveza prácticamente en cualquier lugar y resultará igual. Si resulta que hay un gradiente de temperatura realmente fuerte en el refrigerador, es posible que desee alternar las botellas entre los lugares más fríos y más cálidos.

El frigorífico pierde aire frío cada vez que abres la puerta. Entonces, la mejor estrategia consiste en minimizar la cantidad de veces que abres la puerta. Esto sugiere que la mejor estrategia es llenar la nevera con cerveza y dejarla cerrada hasta que empiece la fiesta.

Cualquier otra cosa en el refrigerador probablemente se arruinará porque la cerveza a 30 °C puede elevar la temperatura interna del refrigerador muy por encima del nivel seguro para la mayoría de los productos perecederos.

Ya hay muy buenas respuestas, pero agregaré mis dos centavos aquí.

Hay muchas variables que juegan un papel en este problema, pero la crucial es la tasa de transferencia de calor. Aumentar la tasa de transferencia de calor aumentando la diferencia de temperatura, como usar un congelador o una mezcla de sal y hielo, hace el trabajo más rápido, pero aumenta el riesgo de romper las botellas. En tu caso lo más práctico es que aumentes el tiempo llenando la nevera, ponla a temperatura baja (pero por encima de cero) y mantenla cerrada unas horas.

La solución publicada anteriormente, usando la bañera, es directa, ya que cambia la conductividad térmica del medio en el que se encuentran las botellas en un orden de magnitud. Tengo experiencia directa con esto. Crecí en un lugar con veranos cálidos. De vez en cuando durante el verano organizábamos una reunión. Solo teníamos un refrigerador de tamaño normal, por lo que usarlo estaba fuera de discusión. Luego colocaríamos un gran (~ 0.5 m$^{3}$) caja de plástico a la sombra de un árbol en el jardín a media tarde. A continuación metimos las botellas y latas en un embalaje no muy apretado y llenamos el resto del espacio con un poco de agua y cubitos de hielo, que compraríamos en dos bolsas de unos 15 kg cada una. Luego, la caja se cubrió con dos o tres cobertores viejos. A primera hora de la noche, todas las bebidas estarían frías. Sin tecnología avanzada ni altas tasas de transferencia de calor, ¡pero funcionó maravillosamente!