¿Se puede usar una ultracentrífuga para probar la relatividad general?

Question

¿Se puede usar una ultracentrífuga para probar la relatividad general?

Física
rotación
mediciones
dilatación del tiempo
relatividad general

carlos freites

Con la tecnología actual de ultracentrífugas, pueden girar tan rápido que la muestra puede estar sujeta a aceleraciones de hasta 2 millones de Gs. Eso es equivalente a dos masas solares. ¿Alguien ha intentado medir la dilatación del tiempo en una muestra radiactiva? Cómo calcular esa dilatación del tiempo respecto al tiempo fuera de la ultracentrífuga, por ejemplo una semana. Creo que esa dilatación del tiempo será lo suficientemente significativa como para ser medida.

Respuestas (7)

¿Se puede usar una ultracentrífuga para probar la relatividad general?

Juan Rennie · Answer 1

Esto es realmente lo mismo que un par de las otras respuestas, pero observo que en los comentarios a esas respuestas insiste en que su experimento es una prueba de relatividad general. Sin embargo, éste no es el caso. Siempre que el espacio-tiempo sea plano, el experimento se puede analizar utilizando la relatividad especial, y en esta respuesta explicaré por qué.

Comúnmente se cree que la relatividad especial no se puede usar para acelerar fotogramas, pero esto es totalmente falso. La relatividad especial sólo falla cuando el espacio-tiempo no es plano, es decir, cuando la métrica que describe el espacio-tiempo no es la métrica de Minkowski.

El análisis que daré aquí originalmente formó parte de mi respuesta a ¿Es la dilatación del tiempo gravitacional diferente de otras formas de dilatación del tiempo? , pero lo repetiré aquí ya que es el tema central de su pregunta.

En la centrífuga, el observador gira alrededor del pivote con cierta velocidad. $v$ en algún radio $r$ . Estamos observando al observador desde el marco del laboratorio y medimos la posición del observador usando coordenadas polares. $(t, r, \theta,\phi)$ . Dado que el espacio-tiempo es plano, el intervalo de línea viene dado por la métrica de Minkowski, y en coordenadas polares, la métrica de Minkowski es:

d s^{2} = - C^{2} d t^{2} + d r^{2} + r^{2} (d θ^{2} + s i {norte}^{2} θ d ϕ^{2})

$ds^2 = -c^2dt^2 + dr^2 + r^2(d\theta^2 + sin^2\theta d\phi^2)$

Podemos elegir nuestros ejes para que el observador giratorio esté girando en el plano $\theta = \pi/2$ , y dado que se mueve a radio constante tanto $dr$ y $d\theta$ son cero. La métrica se simplifica a:

d s^{2} = - C^{2} d t^{2} + r^{2} d ϕ^{2}

$ds^2 = -c^2dt^2 + r^2d\phi^2$

Podemos simplificar esto aún más porque en el marco del laboratorio el observador giratorio se mueve a una velocidad $v$ asi que $d\phi$ es dado por:

d ϕ = \frac{v}{r} d t

$d\phi = \frac{v}{r} dt$

y por lo tanto nuestra ecuación para el elemento de línea se convierte en:

\begin{matrix} (1) & d s^{2} = - C^{2} d t^{2} + v^{2} d t^{2} = (v^{2} - C^{2}) d t^{2} \end{matrix}

$ds^2 = -c^2dt^2 + v^2dt^2 = (v^2 - c^2)dt^2 \tag{1}$

Ahora cambiamos al marco del observador giratorio. En su marco están en reposo, por lo que el valor del elemento de línea que miden es simplemente:

\begin{matrix} (2) & d s^{2} = - C^{2} d t^{' 2} \end{matrix}

$ds^2 = -c^2dt'^2 \tag{2}$

donde estoy usando la coordenada prima $t'$ para distinguir el tiempo medido por el observador giratorio del tiempo que medimos $t$ .

La simetría fundamental de la relatividad especial es que todos los observadores están de acuerdo en el valor del elemento de línea $ds$ , por lo que nuestro valor dado por la ecuación (1) y el valor del observador giratorio dado por la ecuación (2) deben ser iguales. Si igualamos las ecuaciones (1) y (2) obtenemos:

- C^{2} d t^{' 2} = (v^{2} - C^{2}) d t^{2}

$-c^2dt'^2 = (v^2 - c^2)dt^2$

y reorganizando esto da:

d t^{' 2} = (1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}) d t^{2}

$dt'^2 = (1 - \frac{v^2}{c^2})dt^2$

después:

d t^{'} = d t \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}} = \frac{d t}{γ}

$dt' = dt \sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}} = \frac{dt}{\gamma}$

que debe reconocer de inmediato como la expresión habitual para la dilatación del tiempo en SR.

Entonces, la dilatación del tiempo para el observador que gira está dada por la misma función que para un observador que se mueve en línea recta a velocidad constante. Es por eso que es perfectamente válido que las otras respuestas calculen la dilatación del tiempo usando la fórmula normal de la relatividad especial. La fuerza/aceleración centrípeta no aparece en esta expresión y no se requiere relatividad general.

Lea mi comentario a @ Physicist137 y physics.stackexchange.com/questions/87673/…
@CarlosFreites: cual comentario? Si quiere decir que su segundo comentario pregunta sobre los tres escenarios, entonces creo que es una pregunta diferente a la que hizo.
@JohnRennie Sí, John, el experimento del ascensor imaginario uno.
Ah, ds es algo en lo que hay que estar de acuerdo , no necesariamente dt. Entonces, podemos hacer que el observador en el cuadro 1 en el momento adecuado T vea que el reloj en el cuadro 2 está detrás del suyo, lo que implica que los odómetros también difieren.
¿Sería posible mostrar la dilatación del tiempo usando la fórmula de dilatación del tiempo gravitacional?
Tal vez me equivoque, pero ¿no estás mostrando que la dilatación del tiempo en esta situación se puede calcular usando la relatividad especial, pero no que da la misma respuesta que cuando se usa la relatividad general?
@doetoe: No. El cálculo es el mismo en GR. De hecho, SR es solo un caso específico de GR donde la métrica es la métrica de Minkowski. En un espacio-tiempo curvo el método de cálculo sería el mismo pero la métrica sería más complicada. En realidad, este es un punto importante ya que si entiendes el cálculo que describo, básicamente entiendes cómo usar las métricas en GR, ¡así que GR no es tan difícil como crees!
¿Podríamos darle la vuelta a esto e invocar el principio de equivalencia para concluir que la dilatación del tiempo debida a la gravedad se puede calcular haciendo el cálculo para una centrífuga apropiada (es decir, lo que hiciste)?
Digamos que convirtió esto en un ejemplo de paradoja gemela y detuvo la centrífuga. Tendría que retroceder la misma cantidad de órbitas para volver a unir los relojes para comparar los tiempos adecuados para establecer una diferencia de edad permanente. Si detuvo la fuga y voló los relojes juntos a lo largo del radio, esa es una distancia mucho más corta que las órbitas acumuladas, por lo que debe haber alguna regla rota aquí para establecer la paradoja gemela perm age diff.

Físico137 · Answer 2

Respuesta corta: me temo que esto no es una prueba de relatividad general. Te diré por qué. Trataré de ser simple.

Puede usar la relatividad especial cuando su marco de referencia es inercial . Digamos que ves una ultracentrífuga girando. No experimenta gravedad en absoluto (la gravedad de la Tierra es insignificante para los efectos de la dilatación del tiempo). No estás experimentando fuerzas no inerciales (el giro de la Tierra y la fuerza de Coriolis están en una escala muy pequeña para la dilatación del tiempo). Por lo tanto, usted es (aproximadamente) un marco de referencia inercial válido y, por lo tanto, puede usar la relatividad especial para la muestra radiactiva giratoria.

Pero, pasemos al marco de referencia de la muestra. Allí, la muestra está experimentando 2 millones de Gs de fuerzas no inerciales. Es claramente un marco de referencia no inercial . Por lo tanto, no puedes usar la relatividad especial aquí. Debes usar la relatividad general.

Sin embargo, ambos observadores, usted y la muestra, deben estar de acuerdo y obtener los mismos resultados. Dado que es mucho más fácil tratar el problema usando la relatividad especial, podemos hacerlo usando su marco de referencia inercial. Calculemos el $\gamma$ -factor:

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{gramo r}{C^{2}}}}, gramo = \frac{v^{2}}{r}

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{gr}{c^2}}}, \quad\quad g = \frac{v^2}{r}$

Mantengo los cálculos muy simples para que puedas entender. Esto no es correcto, pero probablemente sea una buena aproximación. La aceleración no inercial como dijiste tiene el valor: $g = 10^6m/s^2$ . Voy a exagerar el radio: $r=1m$ . Por lo tanto, el factor gamma:

γ \approx \frac{1}{\sqrt{1 - 10^{- 10}}} \approx 1

$\gamma\approx\frac{1}{\sqrt{1-10^{-10}}}\approx 1$

Por lo tanto, la dilatación del tiempo: $\Delta t' = \gamma\Delta t$ , es insignificante, en su pequeño experimento.

Fue una buena idea. Funcionaría con relojes atómicos. Por ejemplo, eche un vistazo al experimento de Hafele-Keating .

Esto es exactamente lo que estaba tratando de transmitir en mi respuesta. Me alegro de que alguien esté de acuerdo.
Primero, está de acuerdo conmigo en que el efecto de la relatividad especial es insignificante y, por eso, se debe usar la relatividad general. Pero luego usa fórmulas de relatividad especial para concluir que los efectos de la relatividad general son insignificantes. Siéntase libre de usar las herramientas de geometría diferencial que son necesarias para manejar la relatividad general con el fin de obtener la fórmula para calcular la dilatación del tiempo aplicable. Por otro lado, mi experimento es una prueba directa de la Relatividad General.
ESTÁ BIEN. Hagamos el experimento del ascensor imaginario . Estás dentro de un ascensor cerrado sin ventanas. Supongamos que en la Tierra tu peso es de 1 Kg y que tu peso dentro de ese ascensor es de 2000000 Kg. ¿Puedes diferenciar si: 1) Tu ascensor está inmóvil sobre la superficie de un planeta con la masa de 2 soles con el mismo radio de la Tierra. 2) Tu ascensor está siendo acelerado con una propulsión de 20000000 Gs en el espacio vacío. 3) Tu ascensor está dentro de una ultracentrífuga que gira tan rápido que te hace pesar 20000000 Kg.
Tenga en cuenta que por medios imaginarios cosas como: a) Puede olvidar que puede ser aplastado por su propio peso. b) No puedes obtener esa aceleración porque pronto estarías en la velocidad c. b) El radio de la ultracentrífuga es lo suficientemente grande como para que todo el ascensor sienta la misma aceleración. d) No puede detectar nada fuera del ascensor. Aparte de eso, tienes todo tipo de equipo para medir el campo que te hace pesar 20000000 Kg.
Si la Relatividad General tiene razón, la respuesta es: NO puedes saber nunca si 1, 2 o 3 es el origen de la fuerza que sientes que te hace pesar 2000000 Kg. Si alguien piensa que puede detectar una diferencia, entonces debe estudiar la Relatividad General con cuidado.
@CarlosFreites Relatividad, como su nombre lo indica, todo es relativo cuando se analiza desde diferentes marcos de referencia. Luego debe fijar un marco de referencia antes de cualquier análisis. Si te fijas como un marco de referencia observando la rotación de la muestra, tu marco es inercial. Y por lo tanto podemos usar la relatividad especial para ver la muestra. Porque el marco que está utilizando para hacerlo es inercial.
@CarlosFreites: con respecto a tu último comentario: el principio de equivalencia nos dice que es imposible distinguir la aceleración de la gravedad en una medida local . Sin embargo, sobre cualquier distancia distinta de cero, puede diferenciar sus opciones 1, 2 y 3 porque la variación de la fuerza de las mareas será diferente en los tres casos.

HDE 226868 · Answer 3

Recientemente comentaste

Creo que la influencia de la relatividad especial es absolutamente insignificante.

Es exactamente lo contrario. Es la influencia de la relatividad general la que es absolutamente insignificante.

La dilatación del tiempo es una predicción tanto de la relatividad general como de la especial. En relatividad general, es causado por un objeto que está cerca de un cuerpo masivo. En la relatividad especial, es causado por un objeto que se mueve muy rápido. Esta es la dilatación del tiempo de la que estás hablando. En una ultracentrífuga, el objeto gira alrededor de un punto central muy rápidamente. Cualquier dilatación del tiempo sería consecuencia de su enorme velocidad. No hay un trozo gigante de materia que provoque la dilatación del tiempo.

La aceleración mencionada es probablemente la aceleración centrípeta que experimenta el objeto. La aceleración centrípeta siempre es hacia el eje de revolución, por lo que el objeto se mueve a una velocidad constante.

En relatividad general, es causado por un objeto que está cerca de un cuerpo masivo. Exactamente, como un cuerpo con dos masas solares. ¿Qué "siente" ese objeto que dilata su tiempo? Es un fuerte campo gravitatorio que es localmente idéntico (según la relatividad general) a una aceleración de 2000000 Gs (la masa del sol es 1000000 veces la masa de la tierra). La velocidad tangencial en la ultracentrífuga es despreciable con respecto a c.
@CarlosFreites La aceleración no necesariamente proviene de la gravedad. Viene de una fuerza; la gravedad es sólo un ejemplo de una fuerza.
Así es, pero un aspecto fundamental de la relatividad general es que localmente no puedes diferenciar si estás en un sistema acelerado o en presencia de un campo gravitatorio.
@CarlosFreites Eso no significa que todas las aceleraciones se deban a la gravedad.
Todas las aceleraciones se comportan localmente como la gravedad.
@CarlosFreites Sí, porque el efecto de la gravedad es el mismo que el efecto de cualquier otro escenario donde la fuerza neta sobre un objeto no es cero: hay una aceleración.
Durante un intervalo muy pequeño, la centrífuga es lo mismo que el ascensor: aceleración constante empujando el suelo contra mí. Durante más tiempo, verá que la habitación también gira y el vector de aceleración también cambia. Por lo tanto, debe considerar los diversos períodos de aceleración en diferentes direcciones, que no es lo mismo que el ascensor.

ZSG · Answer 4

Un buen comienzo aquí sería calcular el efecto de dilatación del tiempo esperado de una centrífuga que opera con un millón de Gs. Con $\frac{v^2}{r} = 10^6 g$ Asumiría algo así como un radio de 10 cm, en cuyo caso $v\approx 1000$ milisegundo. Sabemos que gamma es $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ , Lo que significa que $gamma-1$ es sobre $6\cdot 10^{-12}$ . Usar la desintegración radiactiva directamente entonces probablemente no sea una gran medida de esto, ya que necesitaría más de ${10^{12}}^2$ cuenta para tener una precisión necesaria para medir la dilatación. Eso sería un emisor radiactivo bastante caliente...

Por otro lado, si está dispuesto a usar algo más que contar la vida media de una sustancia radiactiva, entonces podría considerar usar la absorción de Mossbauer, donde la resonancia de una absorción de fotones en una transición nuclear es tan aguda que muy leve se pueden medir las desviaciones. De hecho, en los sistemas Mossbauer, las velocidades de $10^{-2}$ cm/s puede ser suficiente para medir la desviación de un sistema resonante. Hay demasiados detalles en ese cálculo para reproducirlos aquí, por lo que es mejor leer una explicación simple en Experiments in Modern Physics de Melissinos y Napolitano, Capítulo 9.3 .

De acuerdo, esto realmente no prueba la Relatividad General directamente, por lo que la respuesta corta es no. ¡Maravillosa idea sin embargo!

Si, 1000 m/s = 1 Km/s es totalmente despreciable con respecto a c (300000 Km/s) esto quiere decir que a esta velocidad la dilatación del tiempo es despreciable por efectos de relatividad especial. Por otro lado, esta es una prueba directa para la Relatividad General .

Tomás · Answer 5

Es una muy buena idea para un experimento, pero no creo que la desintegración radiactiva sea un 'reloj' lo suficientemente preciso como para usar porque generalmente con este tipo de mediciones se detectan diferencias muy pequeñas en el tiempo; generalmente se usan relojes atómicos para medir el tiempo en estos experimentos . El proceso de decaimiento radiactivo es un decaimiento aleatorio y siempre habrá cierta incertidumbre en la actividad de la muestra después del experimento.

También me pregunto si la centrífuga es equivalente a un campo gravitatorio; según esta referencia es equivalente. La dilatación del tiempo sería más notable si la muestra rotara a "velocidades relativistas". Si la velocidad no es tan rápida, necesitaríamos una medición del tiempo más precisa.

Creo que la influencia de la relatividad especial es absolutamente insignificante. Sí, la masa inercial es igual a la masa gravitatoria, que es un aspecto fundamental de la relatividad general.
@CarlosFreites esta pregunta es sobre la relatividad general donde hay dilatación del tiempo en marcos que se aceleran. Estoy de acuerdo con usted en que el efecto será muy pequeño, pero es una pregunta interesante y si se pudiera usar un reloj atómico para medir el tiempo, probablemente mostraría un efecto; vea el enlace para experimentos donde se ha observado la relatividad general con relojes atómicos. . No creo que sea realista aquí centrifugar un reloj atómico, pero la idea de la desintegración radiactiva es interesante como forma de medir el tiempo.

Coral · Answer 6

No soy físico (mi formación es en biotecnología), pero desde una perspectiva no técnica, creo que dado que la centrífuga no tiene campo gravitatorio (opera en la misma parte del campo gravitatorio de la Tierra que el observador), entonces la única dilatación del tiempo que podría medirse sería debido a la velocidad del sujeto de prueba en lugar de las fuerzas g creadas al doblar la trayectoria de los sujetos en una curva cerrada. En otras palabras, dado que tanto el sujeto como el observador están exactamente en el mismo punto del mismo pozo de gravedad, no hay dilatación del tiempo gravitacional, pero dado que la centrífuga también crea velocidad, eso podría crear alguna dilatación del tiempo.

Hola Coral. Uno de los postulados más asombrosos de la relatividad general es que no se puede diferenciar localmente un campo gravitatorio de un sistema referencial acelerado. Es decir, si estás dentro de un ascensor sin ningún contacto con el mundo exterior, sin importar el experimento que hagas, no puedes decir si estás en la tierra sin ninguna aceleración o si estás en el espacio acelerando a 9,81 m/ (seg^2).

Campo Unificado · Answer 7

Puse un reloj de cesio en una centrífuga durante 24 horas, obtuve 45,9 microsegundos primero en relación con el satélite gps. 20.200 km hacia arriba La centrífuga giró a 2 G y fue de 91,8 microsegundos. Puedes chupar números todo lo que quieras, pero los experimentos no mienten.

¿Pones un reloj de cesio en una centrífuga? ¿Cómo lograste eso? ¿Estás publicando esto en algún lado?
¿Y cómo se correlacionan esos valores experimentales con las expectativas de la relatividad general? Por cierto, el tono de su última oración no está ayudando a que se entienda.

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