¿Quién descubrió el vector potencial magnético, A⃗ A→\vec{A}?

Franz Ernst Neumann fue el primero¹ en escribir el vector potencial magnético en su artículo de 1845 "Leyes generales de las corrientes eléctricas inducidas". Lo usó para escribir la ecuación que resume el experimento de inducción de Faraday (ley de Faraday).

El papel original:

1. FE Neumann, “ Allgemeine Gesetze Der Inducirten Elektrischen Ströme ,” Annalen Der Physik 143, no. 1 (1 de enero de 1846): 31–44, doi: 10.1002/andp.18461430103 .

La entrada del Diccionario de Biografía Científica de Neumann dice esto:

Neumann y su contemporáneo Wilhelm Weber fueron los fundadores de la escuela electrodinámica en Alemania, que luego incluyó, entre otros, a Riemann, Betti, Carl Neumann y Lorenz. Las investigaciones y análisis de este grupo se guiaron por la suposición, sostenida originalmente por Ampère, de que los fenómenos electromagnéticos resultaban de la acción directa a distancia y no de la mediación de un campo. Las principales contribuciones de Neumann se encuentran en dos artículos publicados en 1845 y 1848, en los que establece matemáticamente las leyes de inducción de las corrientes eléctricas. Los documentos, transmitidos a la Academia de Berlín, se titulaban “Allgemeine Gesetze der inducirten elektrischen Ströme” y “Ober ein allgemeines Princip der mathematischen Theorie inducirter elektrischer Ströme”.

Como punto de partida, Neumann tomó la proposición, formulada en 1834 por FE Lenz después del descubrimiento de la inducción de Faraday, de que la corriente inducida en un conductor que se mueve en la vecindad de una corriente galvánica o un imán fluirá en la dirección que tiende a oponerse al movimiento. . En su análisis matemático Neumann llegó a la fórmula$E.Ds =—ν C.Ds$, dónde$Ds$es un elemento del conductor en movimiento,$E.Ds$es la fuerza electromotriz inducida elemental,$v$es la velocidad del movimiento,$C.Ds$es el componente de la corriente inductora, y$∊$es un coeficiente constante. Con esta fórmula, Neumann pudo calcular la corriente inducida en numerosos casos particulares. En la actualidad una formulación común es$E = — dN/dt$, dónde$E$es la fuerza electromotriz generada en el circuito a través del cual el número de líneas de fuerza magnéticas está cambiando a razón de$dN/dt$.

Continuando con su análisis, Neumann notó una forma en la que el tratamiento de las corrientes inducidas en circuitos cerrados que se mueven en lo que ahora se denomina campo magnético podría generalizarse. Vio que la corriente inducida depende sólo de la alteración, causada por el movimiento, en el valor de una función particular. Considerando la ecuación de [fuerza] de Ampère para un circuito cerrado, Neumann llegó a lo que se conoce como el potencial mutuo de dos circuitos, es decir, la cantidad de trabajo mecánico que debe realizarse contra las fuerzas electromagnéticas para separar los dos circuitos para una distancia infinita aparte, cuando las fuerzas actuales se mantienen sin cambios. En notación moderna, la función potencial,$Vii'$, está escrito:

$$Vii'=-ii'\iint\frac{\mathbf{ds}\cdot\mathbf{ds'}}{r}.$$

Continuando con su análisis, Neumann notó una forma en que el tratamiento$\mathbf{ds}.\mathbf{ds'}$es el producto escalar de los dos vectores$\mathbf{ds}$y$\mathbf{ds'}$, y$r$su distancia aparte. Si un elemento fijo$\mathbf{ds'}$se toma e integra con respecto a$\mathbf{ds}$, el potencial vectorial del primer circuito en el punto ocupado por$\mathbf{ds}$es obtenido. Maxwell llegó al concepto de potenciales vectoriales por otro método y los interpretó como medidas analíticas del estado electrotónico de Faraday.

Sobre el potencial vectorial existen diferentes situaciones,

(1) Potencial del vector de Neumann$\boldsymbol{A}_{N}$(1845):

$\boldsymbol{A}_{N}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\iiint_{V}\frac{\boldsymbol{J}(x',t)}{r}dV$

$r=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|$

Esta fórmula debe ser acreditada a Neumann. Quizás Neumann no escribió la fórmula anterior, pero Neumann tiene la fórmula,

$U=II'\oint\oint\frac{d\boldsymbol{l}\cdot d\boldsymbol{l}'}{r}$

$U$es la energía que mueve las dos bobinas desde la distancia$r$hasta el infinito. De lo anterior es fácil escribir,

$\boldsymbol{A}=\oint\frac{I'}{r}d\boldsymbol{l}'$

Por eso

$U=\oint\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l}$

(2) Potencial vectorial de Weber$\boldsymbol{A}_{W}$(1846)

$\boldsymbol{A}_{W}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\iiint_{V}\frac{(\boldsymbol{J}(x',t)\cdot\boldsymbol{r})\boldsymbol{r}}{r}dV$

$\boldsymbol{r}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'$

(3) William Thomson (Señor Kelvin) 1847

$\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A}$

Dónde$\boldsymbol{A}$es el potencial vectorial de Neumann o Weber.

$\boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\iiint_{V}\boldsymbol{J}(x',t)\times\frac{\boldsymbol{r}}{r^{3}}dV$

$=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\iiint_{V}\nabla(\frac{1}{r})\times\boldsymbol{J}(x',t)dV$

$=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\iiint_{V}\nabla\times\frac{\boldsymbol{J}(x',t)}{r}dV$

$=\nabla\times\boldsymbol{A}$

(4) Maxwell (1856)

$\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{A}_{N}}{\partial t}$

(5) Gustavo Robert Kirchhoff (1857)

$\boldsymbol{J}=-\sigma(\nabla\phi+\frac{\partial\boldsymbol{A}_{W}}{\partial t})$

(6) Estado del calibre Gustav Robert Kirchhoff 1857,

$\nabla\cdot\boldsymbol{A}_{W}=\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial}{\partial t}\phi$

$\phi(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\iiint_{V}\frac{\rho(\boldsymbol{x}',t)}{r}dV$

Kirchhoff obtuvo su resultado usando la ecuación de continuidad actual,

$\nabla\cdot\boldsymbol{J}=-\frac{\partial}{\partial t}\rho$

La ecuación de continuidad es muy importante, fue la razón por la que Maxwell introdujo la corriente de desplazamiento

$\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}$

(7) Potencial retardado Lorenz (1867)

$\boldsymbol{A}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\iiint_{V}\frac{\boldsymbol{J}(x',t-r/c)}{r}dV$

$\phi(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\iiint_{V}\frac{\rho(x',t-r/c)}{r}dV$

$c$es la velocidad de la luz. Al mismo tiempo, Lorenz ofrece la condición de ancho de vía de Lorenz.

(8) Estado del calibre Lorenz. (1867)

$\nabla\cdot\boldsymbol{A}_{N}=-\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial}{\partial t}\phi$

La derivación de la condición de calibre de Kirchhoff (1857) ha demostrado que

$\nabla\cdot\boldsymbol{A}_{N}-\nabla\cdot\boldsymbol{A}_{W}=-2\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial}{\partial t}\phi$

Lorenz obtener la condición de calibre de Lorenz es demasiado fácil. Pensé que el calibre Lorenz tal vez debería denominarse calibre Kirchhoff-Lorenz. De todos modos, el calibre Lorenz es muy importante. Es un único puente para obtener el potencial retardado correcto y el potencial avanzado (tanto para el vector como para el potencial de escala).

Resumen:

1. El potencial vectorial de Neumann y Weber es el trabajo más importante que se ha contribuido a las ecuaciones de Maxwell, pero incluso en las ecuaciones de Maxwell este trabajo se ha acreditado como ley de inducción de Faraday.
2. El calibre Lorenz debe denominarse calibre Kirchhoff-Lorenz. Kirchhoff hizo la mayor parte del trabajo para el calibre Lorenz. Sin el calibre de Lorenz no es posible obtener la solución correcta de las ecuaciones de Maxwell (potencial retardado y potencial avanzado)
3. El potencial retardado de Lorenz es equivalente al teorema de Maxwell (potencial retardado = corriente de desplazamiento). Sigue el pensamiento de Kirchhoff, sin embargo, ha reemplazado el vector potencial de Weber por el vector potencial de Neumann y obtuvo los importantes resultados del potencial retardado, que es la solución de las ecuaciones de Maxwell.
4. Si Kirchhoff hubiera aplicado el potencial vectorial de Neumann en 1857 en lugar del potencial vectorial de Weber, reemplazaría a Maxwell como el científico más importante en la teoría del campo electromagnético. Kirchhoff primero utilizó la ecuación de continuidad actual para obtener su condición de calibre. Lorenz siguió a Kirchhoff y obtuvo los resultados correctos, pero unos años más tarde que Maxwell. De todos modos, Kirchhoff junto con Lorenz deberían recibir el mismo respeto que Maxwell.