Significado físico del momento multipolar

En primer lugar, no piense en los momentos multipolares como cosas separadas que tienen su propio significado individual. En su lugar, piense en ellos como partes de una cosa. Una vez que tengamos todas las partes escritas, podemos comenzar a nombrar y organizar cada una para determinar su contribución al todo.

Ahora, para tu pregunta.

¿Existe una interpretación física para los momentos multipolares?

¡Sí! Y no necesariamente tienen que ver nada con electrostática, armónicos esféricos o series geométricas. Una expansión multipolar de algún objeto en alguna base está diciendo Hmmm, tengo esta forma extraña que no es una función matemática elemental, pero quiero expresarla como una suma de funciones elementales. (Fourier o alguien dijo que siempre puedes hacer esto con suficiente tinta y pergamino).

Entonces, primero elige su base, ya sean ondas sinusoidales, exponenciales, polinomios o similares, y luego comienza a agregar más y más términos de esa base, comenzando con el componente de orden más bajo (más simple).

Para un ejemplo no matemático, considere este dibujo de una oveja de dibujos animados:

El paso 1 es muy simple ya que es básicamente un óvalo con ondas. Desde el principio, con lo primero que dibujamos hemos expresado un 75% de cómo se verá la oveja. Esto es importante en las expansiones multipolares: dominan los términos de orden más bajo . Si el Paso 1 fuera un cuadrado o un triángulo, entonces la oveja completa probablemente sería irreconocible.

El Paso 2 hace dos cosas: agrega algo al dibujo y modifica ligeramente algo de lo que hizo el Paso 1. Es posible que haya escuchado que esto se llama término correctivo o término de orden superior . Este sería el segundo término en su expansión multipolar.

El Paso 3 agrega menos a la imagen que el Paso 2, pero mira lo lejos que hemos llegado. Con solo los tres primeros multipolos, apuesto a que un gran porcentaje de personas ya reconocería a nuestro animal como una oveja. Si en lugar de dibujar una oveja con manchas, estuviéramos construyendo un campo E&M con polinomios de Legendre, aquí es donde nos detenemos, ya que tenemos una buena vista física de lo que está sucediendo (esta es la compensación entre simplicidad y precisión presente en todas las expansiones multipolares). ).

Los pasos adicionales solo agregan más detalles, llenando los espacios en blanco en los datos a costa de hacer más trabajo y realizar un seguimiento de más marcas de lápiz.

¿Cuál es la interpretación física de los momentos multipolares de orden superior?

En E&M, dividimos la distribución de carga de aspecto arbitrario en multipolos con la esperanza de dibujar la mayor cantidad de ovejas que necesitamos con la menor cantidad de detalles posible. Los multipolos se ven como:

• 0. el monopolo, el desplazamiento que afecta el campo E en todas las direcciones de la misma manera

• 1. el dipolo, la descripción de cuán diferentes serían las dos mitades del campo si dibujaras una línea de simetría justo en el centro

• 2. el cuadrupolo, un concepto similar al dipolo, pero en lugar de afectar dos direcciones de manera diferente, afecta cuatro direcciones

Y puede seguir yendo a un multipolo tan alto como desee (técnicamente, necesita ir al infinito para volver a dibujar perfectamente una oveja arbitraria, pero esto no es útil cuando solo estamos tratando de predecir ciertas propiedades del sistema dentro de un precisión finita para empezar).

Resumen

Una expansión multipolar de cualquier cosa es simplemente dividirla en una base preferida. Si elegimos una buena base, solo necesitamos los primeros multipolos porque después de eso solo estamos retocando detalles que nunca necesitaremos. Algunos multipolos son tan útiles que les damos nombres, como la distribución de carga E&M que afecta todo de forma isométrica (carga total) y antisimétrica (dipolo).