Corrección de Maxwell a la Ley de Ampere

Todavía no he estudiado electromagnetismo oficialmente, pero estoy tratando de aprender por mi cuenta en este momento. Entiendo las ecuaciones de Maxwell en el contexto de Magneto y Electrostática: son equivalentes, junto con las condiciones de contorno apropiadas, a la ley de Biot-Savart y Coulomb, respectivamente. En particular, dan el campo magnético debido a una distribución particular de corriente constante y el campo eléctrico debido a una configuración particular de cargas puntuales estáticas.

Sin embargo, estoy confundido acerca del significado de las ecuaciones de Maxwell cuando todos los términos están involucrados. En principio, entiendo que un campo magnético cambiante puede inducir un campo eléctrico y un campo magnético cambiante puede inducir un campo magnético.
Si están presentes tanto un campo magnético cambiante como una distribución de carga, ¿la mi que calculamos a partir de la Ley de Gauss sea igual a la mi calculamos a partir de la Ley de Faraday? (Sospecho que sí debido a la libertad proveniente del hecho de que la divergencia y el rotacional involucran derivadas y físicamente, del principio de superposición, esperaríamos que el campo eléctrico total sea la suma del campo eléctrico debido a las cargas estáticas y el producido debido a cambio de campo magnético).

Griffiths, en su texto sobre el tema, reorganiza las ecuaciones de Maxwell para que las fuentes de campo ( ρ y j ) están en el lado derecho de la ecuación mientras que los campos están en el lado izquierdo. Al hacerlo, esperamos que una corriente produzca un campo eléctrico cambiante y un campo magnético. Si este es el caso, ¿por qué cuando consideramos la magnetostática, podríamos despreciar el campo eléctrico cambiante producido por la corriente?

Un par de otras preguntas:

  • En la ley de Ampere + término de corrección de Maxwell: j produce un campo magnético y un campo eléctrico variable. ¿Cómo se compara el campo magnético producido cuando está presente el término de campo eléctrico cambiante con el campo magnético producido cuando no está presente el término de corrección de Maxwell? es decir, ¿se requiere menos corriente para producir el mismo campo magnético?

  • Potenciales mi = − ∇ V − ∂ A / ∂ t , B = ∇ × A dónde A es el vector potencial y V es el potencial escalar. Cómo hace el V cuando hay un campo magnético cambiante presente y así mi se debe a que ambos cambian B Las cargas de campo y estáticas se comparan con las V debido a las mismas cargas estáticas?

Gracias en espera de su ayuda.

¿Puedes ser mas específico? Pasas mucho tiempo explicando las partes que entiendes, pero no tienes muy claro lo que necesitas saber...

Respuestas (1)

0) En su segundo párrafo, supongo que quiso escribir "un campo magnético cambiante puede inducir un campo eléctrico " (ley de Faraday).

1) Su primera pregunta se refiere, creo, a una distribución de carga estática más un conjunto de campos magnéticos cambiantes (producidos, quizás, por un conjunto de corrientes dinámicas en algún lugar fuera del escenario). En este caso,

  • las cargas estáticas producirán un campo eléctrico conservador (sin rizos).
  • los campos magnéticos cambiantes inducirán un campo eléctrico sin divergencia (no conservativo)

El campo eléctrico total será la suma de estos dos. (Obviamente, no pueden ser iguales, ya que uno tiene una divergencia pero no un rotacional, y el otro tiene un rotacional pero no una divergencia).

2) Mientras que una corriente es, por definición, cargas en movimiento, la magnetostática estudia casos en los que las corrientes no cambian con el tiempo (y la densidad de carga neta = 0). En esos casos la densidad de corriente j es constante en el tiempo, los campos resultantes son campos magnéticos que tampoco cambian en el tiempo, y no se inducen campos eléctricos cambiantes. Entonces no están siendo descuidados, simplemente no existen en estos casos.

3) (su primera viñeta) Se requiere la corriente de desplazamiento (también conocido como término de corrección de Maxwell) para mantener la consistencia de la ecuación. La demostración clásica es la de un capacitor que se carga a través de cables. Aquí la corriente es constante pero la carga en las placas del condensador aumenta linealmente con el tiempo.

Imagine tratar de calcular la integral de línea del campo magnético alrededor de un camino que rodea el cable, sin el término de corriente de desplazamiento.

  • Si uno construye una superficie, delimitada por la ruta, que intersecta el cable, puede aplicar el teorema de Stoke y la ley de Ampere y obtener un resultado distinto de cero.
  • Sin embargo, una segunda superficie, también delimitada por el camino, que pasa entre las placas del capacitor, no tiene corriente que la cruce y, por lo tanto, da un resultado cero para la integral de línea.

El término corriente de desplazamiento elimina esta inconsistencia, ya que el capacitor de carga tiene un campo eléctrico cambiante entre sus placas.

4) (tu segunda viñeta)

  • En el caso de carga estática, V es simplemente el potencial normal de Coulomb.
  • Para el caso variable en el tiempo, los potenciales no son únicos: varias posibilidades, todas relacionadas por transformaciones de calibre, dan los mismos campos. Por ejemplo, el calibre de Coulomb (en el que ∇ ⋅ A = 0 ) da la misma fórmula para el potencial que para el caso estático. Otras opciones de calibre darán resultados diferentes. Estoy seguro de que su texto analiza las condiciones del indicador.
Entonces, solo para confirmar: ¿el campo eléctrico en la ley de Gauss y en la ley de Faraday es el campo eléctrico total debido tanto a los campos magnéticos cambiantes como a las cargas estáticas? ¿No es que la E en la Ley de Faraday tiene un significado diferente a la E en la Ley de Gauss y que luego tienes que sumar las dos cantidades resultantes? Y es posible hacer que V en E=-grad(V)-dA/dt, cuando el término dA/dt y un campo magnético cambiante están presentes, sea exactamente la misma función V que cuando el campo magnético cambiante no está presente. presente y sólo las cargas estáticas son responsables de E?
@ZAC: Ah, creo que ahora entiendo un poco mejor su pregunta. 1) Sí, solo hay uno mi en las ecuaciones; no es diferente de uno a otro. 2) Puede descomponer ese campo en "sin divergencia" ( mi t , también conocido como transversal) y "sin rizos" ( mi yo también conocidos como componentes longitudinales o irrotacionales, mi = mi t + mi yo ; el elemento transversal se pone a cero por el operador de divergencia de la ley de Gauss, y el elemento irrotacional se pone a cero por el rotacional en la ley de Faraday. 3) Sí, es posible tener exactamente la misma función V en los dos casos.
@ZAC: Re 2) Quiero agregar que confío en la superposición de fuentes: a) produce un conjunto de cargos fijos mi yo (y crucialmente no produce campos magnéticos), y b) un conjunto de corrientes variables en el tiempo (con densidad de carga 0) en algún lugar fuera del escenario produce la variable en el tiempo B campos que especifique, y por lo tanto mi t . Por superposición, puedes sumar los dos mi campos para obtener el resultado. La superposición funciona porque las ecuaciones son lineales en las fuentes.
También debo añadir que, a este nivel, hablar de A probablemente creará más confusión que utilidad. Hay una manera de escribir las ecuaciones de Maxwell que elimina por completo cualquier referencia a mi y B y en cambio habla sólo de A (o, si no estás haciendo relatividad especial, A → y ϕ ), pero eso está mucho más allá del nivel de esta pregunta.
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