¿Cuándo se expresó por primera vez en forma cuantificada la "Ley de inducción de Faraday"?

Faraday enunció la ley de manera más cuantitativa en el informe titulado On Lines of Magnetic Force leído a la Royal Society en 1851. No especifica la dirección de la fuerza (y originalmente se equivocó en 1832), pero el signo ya estaba establecido por Lenz en Ueber die Bestimmung der Richtung der durch elektodynamische Vertheilung erregten galvanischen Ströme (1834) . Sin embargo, la formulación de Faraday sigue siendo verbal, y la falta de brillo matemático fue generalmente un obstáculo para la recepción de sus ideas. Fueron asimilados solo después de que Maxwell les dio una formulación explícitamente matemática en 1861-2, aunque las aplicaciones prácticas, como los generadores eléctricos y el telégrafo, se remontan a 1830-s, ver El nacimiento de las máquinas eléctricas.. En particular, Maxwell reformuló la ley de inducción como una ecuación diferencial parcial, que Heaviside originalmente denominó ley de Faraday, pero que ahora se llama ecuación de Maxwell-Faraday .

El informe de Faraday está impreso en Experimental Researches in Electricity, vol.3 , aquí está el pasaje relevante:

" 3114. También es evidente, por los resultados de la rotación del alambre y el imán (3097. 3 106.), que cuando un alambre se mueve entre líneas iguales (o en un campo de igual fuerza magnética), y con una movimiento uniforme, entonces la corriente de electricidad producida es proporcional al tiempo, y también a la velocidad del movimiento. 3115. También prueban, en general, que la cantidad de electricidad arrojada a una corriente es directamente como la cantidad de curvas intersecadas .

La "cantidad de electricidad arrojada a una corriente" es esencialmente la fuerza electromotriz, las "curvas" son las líneas de fuerza de Faraday y "la cantidad de curvas intersectadas" es proporcional a la intensidad del campo magnético en términos modernos. Whittaker explica el contexto en A History of the Theories of Aether and Electricity, pp. 190ff :

Faraday concibió la idea de dividir todo el espacio en compartimentos mediante tubos, siendo cada tubo tal que este producto tiene el mismo valor definido. Para simplificar, cada uno de estos tubos puede llamarse una "línea de fuerza unitaria"; la fuerza del campo se indica entonces por la separación o concentración de las líneas unitarias de fuerza, de modo que el número de ellas que cortan una unidad de área colocada en ángulo recto con su dirección en cualquier punto mide la intensidad del campo magnético en ese punto .

Luego parafrasea el pasaje en negrita en una forma más reconocible: " La fuerza electromotriz inducida es, de hecho, simplemente proporcional al número de líneas unitarias de fuerza magnética intersecadas por el cable por segundo ". Simbólicamente, con la regla de los signos de Lenz,$\mathcal{E}\sim-\frac{d\Phi_B}{dt}$, como está escrito en los libros de texto modernos.