Misiones Apolo - Tiempo de viaje a la luna [duplicado]

La velocidad de escape es la velocidad a una altitud determinada (generalmente la superficie) que es suficiente para abandonar la esfera de influencia del cuerpo con una velocidad neta positiva. Pero si dejas un cuerpo exactamente a la velocidad de escape, tu velocidad se desvanece a medida que asciendes a cambio de ganar energía potencial gravitatoria, y tu velocidad tiende al límite de cero a distancias suficientemente grandes. (Ese es tu$V_{inf}$es 0.)

Apolo no se fue a la velocidad de escape. Más bien, la inyección translunar proporcionó una velocidad adicional considerable para que el viaje fuera mucho más rápido, por lo que la velocidad más baja se alcanzó unas pocas decenas de miles de millas antes de la luna (donde la gravedad de la luna y la tierra son iguales) , en la baja miles de millas por hora.

Desarrollando la respuesta de Nathan, hagamos algunos cálculos. Para simplificar, supongamos aquí que en realidad no vamos a la Luna, que solo la gravedad de la Tierra es relevante.

Salimos a la velocidad de escape, 25 000 millas por hora desde una altitud de 4000 millas sobre el centro de la Tierra, y ascendemos en línea recta. A medida que lo hacemos, nuestra velocidad disminuye en contra de la gravedad de la Tierra, pero permanece igualada a la velocidad de escape a esa altitud sobre el centro de la Tierra. Por lo tanto, a una altitud de 6250 millas (2250 millas sobre la superficie de la Tierra), la gravedad de la Tierra ha reducido la velocidad del cohete a 20 000 millas por hora, que es la velocidad de escape a esa altitud.

La velocidad de escape es proporcional a la$-1/2$potencia de la altitud sobre el centro, y para 25,000 mph a 4000 millas, la constante de proporcionalidad es (con tres cifras significativas)$1.58×10^6$(millas)$^{3/2}$/hora. Entonces, para pasar de una altitud de 4000 millas a 250 000 millas, a velocidad de escape, necesitamos esta cantidad de tiempo:

$\int_{4000}^{240000} \dfrac{dz}{1.58×10^6z^{-1/2}}=49.5\text{ hr}$

Esto es más o menos correcto, pero pasa por alto el hecho de que a la altitud de la Luna aún estaríamos subiendo varios miles de millas por hora y la gravedad de la Luna no habría sido lo suficientemente fuerte como para alcanzarnos a tal velocidad. Nathan señala correctamente que salimos más lento que la velocidad de escape para que la Luna, que todavía está unida a la Tierra, pudiera atraernos. De ahí el día extra. De manera similar, cuando despegamos de la Luna, tuvimos que ir lo suficientemente lento para que la Tierra nos atrajera en lugar de enviarnos como una honda; técnicamente, volar desde la Luna tampoco estaba a la altura de su velocidad de escape.

Entonces, en última instancia, la razón por la cual las misiones Apolo tuvieron tiempos de tránsito tan largos entre la Tierra y la Luna no fue ningún límite en la potencia del cohete, sino los límites de gravedad dentro de los cuales debe funcionar una misión lunar.

Como ya se explicó en otras respuestas, esencialmente toda la distancia se cubre con un vuelo sin motor: alejándose de la Tierra mientras se está bajo la influencia de la gravedad de la Tierra, la velocidad "hacia arriba" disminuirá gradualmente. A la distancia LEO, esto es de unos 10 m/s ^-2 , aunque esta aceleración gravitatoria disminuye con el cuadrado de la distancia.

Esto es bueno porque la nave quiere llegar a la Luna a una velocidad que requiera el menor ajuste (menos propulsor) para entrar en la órbita lunar: la Luna orbita la Tierra a aproximadamente 1 km/s (números redondos) y una órbita de baja altitud. alrededor de la Luna requiere una velocidad de alrededor de 1,6 km/s. Para llegar a una órbita retrógrada, básicamente significa que la nave debe terminar en el otro lado de la Luna con una velocidad radial cero y unos 600 m/s retrógrados con respecto a la Tierra. Para lograr esto, es bueno que la velocidad radial lejos de la Tierra se pierda debido a la gravedad en casi todo el camino, pero esto significa que el viaje llevará mucho más tiempo que las 9 horas sugeridas por la aritmética simple.

Otro factor es que el camino de la Tierra a la Luna no se recorre en línea recta. La salida de LEO es esencialmente tangencial a la superficie de la Tierra; La gravedad de la Tierra tira de la trayectoria en una curva. La transferencia de energía más baja ocurre si la nave tiene como objetivo entrar en la órbita lunar retrógrada (como mencioné anteriormente), por lo que la ruta general tiene en realidad una forma de S, lo que hace que la ruta total sea un poco más larga.