Subjetividad de la decoherencia

Hay dos observadores y un qubit en el estado.$| 0 \rangle$(conocido por ambos).

Entonces el qubit está aleatoriamente con las mismas probabilidades, ya sea intacto$U=\mathbb{I}$o al revés$U=\sigma_x$(es decir$| 0 \rangle \mapsto | 1 \rangle$), pero solo el primer observador sabe qué acción se aplicó.

En consecuencia, el primer observador tiene uno de los siguientes estados

$$\rho = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \quad \text{or} \quad \rho = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]$$ mientras que el segundo $$\rho = \left[ \begin{array}{cc} \tfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & \tfrac{1}{2} \end{array} \right].$$

La transformación aleatoria$U$puede ser clásico (por ejemplo, cambiar un campo magnético) o cuántico. Por ejemplo, tengamos el siguiente estado

$$\left( \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}\right) \otimes |0\rangle,$$ donde la primera partícula es accesible solo para el primer observador, mientras que la segunda, para ambos. Después de la puerta no controlada obtenemos $$\frac{|0\rangle \otimes |0\rangle + |1\rangle \otimes |1\rangle}{\sqrt{2}}.$$ El primer observador puede medir la primera partícula (por lo que conoce el estado de la segunda), mientras que el segundo observador no puede - para él el estado final es completamente mixto.

Aquí está el ejemplo más simple que se me ocurre. Considere una máquina que puede, con solo presionar un interruptor, preparar un electrón en el estado de espín$|{\uparrow} \rangle$o$|{\downarrow}\rangle$. Estamos de acuerdo en que lanzaré una moneda y luego prepararé el electrón en un estado u otro, sin decirles cuál.

Lanzo la moneda y sale cara, así que configuro la máquina para preparar el electrón en el estado$|{\uparrow} \rangle$. Para mí, el electrón está en un estado de espín puro, representado por la matriz de densidad$|{\uparrow} \rangle \langle {\uparrow}|$. A partir de esto puedo calcular que si mido el giro a lo largo del mismo eje en el que se preparó, tendrá un 100% de probabilidad.

Sin embargo, no sabes si mi moneda salió cara o cruz, así que para ti el electrón podría estar en el estado$|{\uparrow} \rangle$o$|{\downarrow}\rangle$con igual probabilidad. Por lo tanto hay que representarlo con la matriz de densidad$\frac{1}{2}|{\uparrow} \rangle \langle {\uparrow}| + \frac{1}{2}|{\downarrow} \rangle \langle {\downarrow}|$, que le dice que tiene la misma probabilidad de medir un giro hacia arriba o hacia abajo, sin importar en qué eje lo mida.

editar: aquí hay un segundo ejemplo, que es similar al primero pero implica un enredo en lugar de un lanzamiento de moneda clásico.

Preparamos un par de electrones en estado singlete$\frac{1}{\sqrt{2}}|{\uparrow}{\downarrow}\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|{\downarrow}{\uparrow}\rangle$. (Este es un estado puro entrelazado al máximo.) Ahora vaya a otra habitación y mida uno de los espines de los electrones en el$y$dirección. Digamos que resulta estar arriba. Ahora sabes que si mides el otro electrón en el mismo eje, su giro debe ser hacia abajo, por lo que para ti el otro electrón está en estado puro.$|{\downarrow}\rangle$, representado por la matriz de densidad$|{\downarrow} \rangle \langle {\downarrow}|$. Pero no sé cuál fue el resultado de su medición, así que para mí el electrón restante todavía está en estado mixto.$\frac{1}{2}|{\uparrow} \rangle \langle {\uparrow}| + \frac{1}{2}|{\downarrow} \rangle \langle {\downarrow}|$.

Cuando realiza una medición, la información de la fase del estado propio proyectado resultante con el estado completo anterior se pierde, pero aún está disponible para otros observadores.

Esto se debe a la naturaleza del enredo; cuando dos sistemas inicialmente desenredados interactúan, asumiendo que uno de ellos es en gran medida clásico y el otro es cuántico (en superposición de múltiples estados no degenerados), el estado final se describe en gran medida por una suma de pares entrelazados, de estado propio cuántico$\times$un sistema clásico acoplado a ese estado propio. Esta es la imagen de Everett de la medición.

¿Qué base de estado propio? depende del hamiltoniano del aparato de medición, diferentes aparatos se acoplarán al sistema cuántico de manera diferente, haciendo que el entrelazamiento tenga una base diferente.

Si piensa en las sumas del estado resultante después de la medición, el i-ésimo observador clásico que ve el i-ésimo estado propio perdió toda la información de fase y, peor aún, cualquier forma física de recuperarla, incluso en principio . Una vez que se ha proyectado un sistema cuántico en su aparato, no hay nada que pueda hacer para recuperar el componente no proyectado de la función de onda. Las mediciones son inherentemente pasos no unitarios de la evolución de un sistema.

Pero esto no está de acuerdo con todos los observadores; otros observadores (llamémoslos Meta) que no han interactuado directamente ni con el sistema ni con el observador (descrito por el componente clásico) aún verán que ambos sistemas interactúan y evolucionan unitariamente en todo momento; si es lo suficientemente inteligente y realiza las mediciones adecuadas, puede confirmar que las mediciones realizadas por el observador clásico no han borrado ninguna información de fase, pero para todos los efectos prácticos, la fase resultante del par acoplado es un resultado complejo de la interacción de ambos sistemas y fases iniciales, por lo que en general promediaría como ruido aleatorio.

Así que en definitiva, la unitaridad como historia de la evolución de los sistemas no es una propiedad universal acordada por todos los observadores, dependerá de en qué sistemas estén entrelazados y qué mediciones (intencionales o no) hayan hecho. Sin embargo, tenga en cuenta que esto no es lo mismo que "subjetividad", sino más parecido a cómo diferentes observadores en la relatividad pueden ver diferentes cantidades como el tiempo transcurrido, la curvatura, etc.