Límite de espacio plano de la métrica de Schwarzschild y la temperatura de Hawking

Hay un cambio de topología en el espacio-tiempo cuando completas el$M\rightarrow 0$límite: el espacio-tiempo de Minkowski no es singular, mientras que el espacio-tiempo de Schwarzschild contiene una singularidad en el espacio-tiempo para cualquier valor (positivo) de$M$.

También podría verlo en términos de que la energía total disponible para una masa pequeña BH será minúscula, y esperaría que el tiempo de evaporación sea rápido (especialmente porque activará más modos de descomposición a alta temperatura ), con remanentes de evaporación muy calientes que probablemente se dispersen a una gran distancia rápidamente, por lo que su efecto en el espacio-tiempo será producir un gas de partículas de alta temperatura que se difunden rápidamente a un gas de temperatura esencialmente cero.

No estoy particularmente satisfecho con las respuestas que citan el cambio de topología o la ruptura de la semiclasicidad. En particular, esto último no explica por qué una métrica que parece cada vez más plana parece producir una radiación de Hawking cada vez más caliente mucho antes de que se acerque al régimen de Planck.

Pero he pensado en esto por un tiempo y finalmente he encontrado una manera de estar en paz con este comportamiento (salvo por la incompatibilidad de la planitud asintótica y una temperatura en el infinito que señaló QGR, que he planteado como una pregunta separada ).

Así es como lo pienso: deje un comentario si no está de acuerdo:

Cerca del horizonte, un observador estacionario ve la métrica de Rindler y la temperatura de Unruh aquí es igual a la temperatura de Hawking: el observador debe encender sus motores con una aceleración adecuada igual a la aceleración adecuada adecuada en el caso de Unruh. Esto también significa que un observador en caída libre no ve radiación en absoluto (esto es cierto al menos cerca del horizonte, lo que creo que es suficiente).

Entonces, como envío el límite$M \rightarrow 0$, el observador apropiado al que estoy mapeando a medida que me acerco al espacio-tiempo plano no es el observador inercial en el espacio-tiempo plano, sino el observador que acelera eternamente con la aceleración adecuada$1/M$. (La aceleración propia de Unruh se identifica con la gravedad de la superficie)

Entonces, por supuesto, debería esperar ver un estado térmico de temperatura infinita en este límite del espacio-tiempo plano, ya que no estoy asignado a un observador inercial en Minkowski, sino a un observador Rindler eternamente acelerado con aceleración infinita.

Si siempre estuviera considerando observadores geodésicos (en caída libre/inerciales), al menos cerca del horizonte, este límite tiene mucho sentido porque no hay radiación (térmica o de otro tipo) durante y después de tomar el límite.

PD: tenga en cuenta que después de hacer la pregunta, confundí este proceso de toma de límite con la evaporación del agujero negro, que no es realmente lo que estaba preguntando, solo quería saber cuál es la temperatura del espacio-tiempo para espacios-tiempos más y más planos, y no el cosas complicadas que suceden cuando un agujero negro se evapora. O en otras palabras, quería saber cuál era el$M=0$aspecto del elemento en el conjunto de agujeros negros eternos, y lo que parece es el espacio-tiempo visto por un observador Rindler con aceleración infinita en el espacio-tiempo plano.

Cuanto menor sea la masa del agujero negro, mayor será la temperatura de la radiación de Hawking. Esta predicción se basa en aproximaciones que parecen justificadas siempre que el agujero negro tenga masa.$M >> M_\text{Planck}$. Nadie sabe qué fenómenos precisos ocurren cuando se acerca la masa del agujero negro$M_\text{Planck}$. Sacar conclusiones sobre la$M \to 0$límite basado en GR ciertamente no está justificado.

La respuesta de Jerry es bastante buena, y yo diría que la topología, o$H^2({\cal M})$viene dada por la evaluación de una curvatura de dos formas$\Omega_{ab}~=~R_{abcd}\omega^c\wedge\omega^d$en una superficie doble, y donde$R_{abcd}$es el tensor de curvatura de Riemann. El resultado es una "carga", que es una medida de la topología. Un agujero negro muy pequeño tiene una gran curvatura cerca del horizonte, que es diferente del espacio-tiempo de Minkowski de curvatura cero.

Este problema es análogo a la "catástrofe ultravioleta" en la comprensión precuántica de la radiación del cuerpo negro. Allí, debido a que no se tuvo en cuenta el carácter discreto de la radiación, la energía total emitida por un cuerpo negro fue divergente. Llegó Planck y remedió la situación al señalar que los fotones se emitían en paquetes discretos en lugar de la suposición anterior de que todas las frecuencias ocurrían en la radiación.

De manera similar, como señaló @Johannes en su respuesta, los cálculos que conducen a la predicción de que un agujero negro irradia a una temperatura$T \propto 1/M$son válidos sólo para agujeros negros macroscópicos. A medida que entendamos cómo el carácter discreto del espacio-tiempo modifica esta dependencia, podremos responder a esta pregunta. Lo más simple es suponer que tales correcciones modificarán la dependencia temperatura-masa para que sea de la forma:

dónde$M_O$es el tamaño mínimo que puede alcanzar un agujero negro, lo que lleva a una temperatura máxima finita que puede alcanzar un sistema que contiene un agujero negro en descomposición$T_{max} \sim 1/M_O$. La conjetura sería que un agujero negro decae hasta que nos queda un fondo plano poblado por un gas de estos cuantos de masa de agujero negro.$M_O$y temperatura$T_{max}$.

Por supuesto, todo esto es muy ondulado a mano.

Editar: una generalización del enfoque anterior es postular que la forma exacta de la dependencia de$T_{max}$en$M$está dada por alguna función$f(M/M_O)$que tiende a$1/M$en el limite$M/M_O \rightarrow \infty$.

Clásicamente la historia es la siguiente. El espacio plano no tiene horizonte y, por lo tanto, no tiene temperatura de Hawking. Un diminuto agujero negro es muy diferente del espacio plano, por pequeña que sea su masa, ya que tiene un horizonte. Así, el límite$M\to 0$difiere esencialmente del punto límite$M=0$, y no se puede concluir nada sobre lo último estudiando lo primero.

Otra forma de ver que la conclusión de que el espacio plano tiene una temperatura de Hawking infinita obviamente es incorrecta es considerar diferentes límites del espacio-tiempo del agujero negro al espacio de Minkowski. Hay agujeros negros con calor específico positivo (tome, por ejemplo, BTZ en 3 dimensiones o el agujero negro de cuerda exacto o Schwarzschild-AdS por encima de la transición de Hawking-Page), y si toma cualquiera de estos agujeros negros y toma los límites apropiados de masa (y posiblemente otros parámetros) a cero, entonces también la temperatura de Hawking cae a cero.

Quizás el problema que lo confunde es el calor específico negativo de los agujeros negros semiclásicos de Schwarzschild, que es responsable de la falta de suavidad del límite.$M\to 0$. Se puede argumentar en términos generales (o con algunos modelos simples) que los efectos cuánticos deberían convertir el calor específico negativo en positivo para los agujeros negros diminutos. Entonces, el límite de la masa que se desvanece volvería a ser suave.

Para espacios asintóticamente planos, un agujero negro nunca puede estar en equilibrio térmico con el resto del espacio-tiempo. Si lo fuera, el resto del espacio-tiempo estaría lleno de radiación a la temperatura de Hawking, y el tensor de energía de tensión distinto de cero resultante en todas partes es inconsistente con la suposición de planitud asintótica.

Entonces, suponiendo que el espacio-tiempo lo suficientemente lejos del agujero negro es como el vacío (es decir, sin radiación cósmica de fondo de microondas), tenemos un gradiente de temperatura que va desde la temperatura de Hawking justo fuera del horizonte de sucesos hasta cero muy lejos.

Pero una vez que aceptas un gradiente de temperatura, la temperatura del agujero negro ya no nos dice nada sobre la temperatura del espacio-tiempo lejos de él. La temperatura de Hawking puede estar alrededor de la temperatura de Planck, pero lejos, la temperatura todavía se acerca a cero.

Los agujeros negros de AdS son un asunto completamente diferente. Sé que esta pregunta no se trata de los agujeros negros de AdS, pero son instructivos, ya que podemos tener un equilibrio térmico en todas partes para los agujeros negros de AdS. Esto se debe a que tenemos un factor de deformación para las frecuencias de reloj que vuelve a escalar la temperatura medida por un observador local en comparación con la temperatura medida por un observador distante. Entonces, incluso en equilibrio térmico, la temperatura local cae exponencialmente más allá del radio AdS a medida que nos alejamos del agujero negro. Cualquier reacción inversa seguirá siendo finita debido a este factor de deformación.

Hay dos casos a considerar aquí:

• el radio del agujero negro es más pequeño que el radio de AdS
• el radio del agujero negro es mayor que el radio de AdS

Para el último caso, a medida que aumenta el tamaño del agujero negro, también lo hace la temperatura, y no hay un límite superior para la temperatura. Esto significa que el agujero negro tiene una capacidad calorífica positiva y permanece en equilibrio térmico con su entorno.

Para el primer caso, la temperatura desciende a medida que aumenta el tamaño del agujero negro, lo que lleva a una capacidad calorífica negativa. Entonces, incluso si comenzamos con un estado de "equilibrio", es inestable. Si el agujero negro se expande, se vuelve más frío que su entorno y, por lo tanto, absorberá una cantidad neta de radiación y se expandirá aún más allá del radio de AdS, después de lo cual comenzará a enfriarse, y eventualmente se establecerá en el estado térmico en el ultimo caso.

Con una relación de temperatura en forma de U en función del tamaño del agujero negro, podemos ver que no es posible tener temperaturas del agujero negro por debajo de la escala AdS,$k$. En cambio, tenemos una transición de fase a un estado térmico sin agujeros negros.

Suponiendo que no esté interesado en el equilibrio térmico en todas partes, a medida que la masa del agujero negro se acerca a la masa de Planck, el límite termodinámico para los microestados del agujero negro se rompe y ya no podemos hablar de su temperatura de manera significativa.