¿Por qué tienes que incluir el jacobiano para cada sistema de coordenadas, pero el cartesiano?

Porque nuestro mundo es (localmente) euclidiano .

En un mundo euclidiano se favorecen las líneas rectas y subconscientemente definimos cosas como la distancia, el área y el volumen usando líneas rectas. Si el objeto real que estamos tachonando no está hecho de líneas rectas, lo cortamos en pedazos pequeños, hasta obtener líneas aproximadamente rectas y luego sumamos estos pedazos pequeños para obtener el valor "real".

En un mundo euclidiano existe una correlación directa entre las coordenadas cartesianas y las longitudes en el mundo real. Por ejemplo, un círculo en coordenadas cartesianas es un círculo en el mundo real; pero un círculo en el mundo real es un rectángulo en coordenadas polares.

Considere una superficie limitada por las siguientes curvas en nuestro mundo:$y=a_0 /x$,$y=a_1 /x$,$y=b_0 x$,$y=b_1 x$

En un mundo donde sus líneas verticales corresponden a una curva definida como$u=xy$en el nuestro y las lineas horizontales corresponden a las curvas$v=y/x$, esta figura compleja se convierte simplemente en un cuadrado con lados$a_1-a_0$y$b_1-b_0$y área$A=(a_1-a_0)(b_1-b_0) \, u.a$.

En nuestro mundo no es tan simple y el área delimitada por esas líneas definitivamente no lo es. Ahora bien, el jacobiano es la herramienta que utilizamos para convertir el valor de una medida de un sistema de coordenadas al valor que se obtendría si la medida se realizara en coordenadas cartesianas. Representa la relación infinitesimal entre las longitudes de un objeto cuando se dibuja en un sistema con el otro. Las longitudes infinitesimales siempre se pueden considerar líneas rectas.

Es importante aclarar que las coordenadas cartesianas no son el único sistema de coordenadas “recto”. Se puede considerar cualquier sistema formado por rectas no ortogonales. La cuestión es que consideraríamos esos sistemas como puros y no necesariamente naturales.

PD: El jacobiano siempre está ahí. solo definimos$|J|=1$para un sistema de coordenadas cartesianas porque los resultados de este sistema tienen relación directa con nuestro mundo. Algunas especies alienígenas viviendo en un mundo con un campo gravitatorio muy fuerte (al lado de un agujero negro por ejemplo ;-), habrían definido su$|J|=1$a un sistema diferente.

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EDITAR:

Usando

$$I_c= \int \int dx \, dy$$ Como la integral doble en coordenadas cartesianas, y $$I_p= \int \int dϱ \, dθ$$ Como la integral doble en coordenadas polares.

Debido a la correspondencia de las coordenadas cartesianas y el “mundo real”, uno podría notar, ya sea experimentalmente o por lógica (usando métodos como la cuadratura del círculo y la sección del círculo ) que$I_c$da el mismo valor nominal que el área delimitada por las curvas limitantes. Por lo tanto, se puede definir el área como

$$A= \int \int \, dA=\int \int dx \, dy$$ y el elemento de area $$dA=dx \, dy$$ Sin embargo, $I_p$da un valor diferente (en este caso el perímetro del círculo). A partir de este punto se pueden hacer 2 cosas;

1. Definir$│J│=1$en el sistema de arranque

Con esta definición, aplicar el jacobiano al pasar del sistema original al siguiente te permitirá obtener el mismo valor numérico, pero las integrales dobles tendrán todo tipo de significado, dependiendo del significado que tenga en el sistema inicial, por lo que es un poco ambiguo como mínimo.

2. Definir$│J│=1$en el sistema cartesiano

Con esta definición, todos los sistemas no solo tendrán el mismo valor numérico, sino que todas las integrales dobles darán como resultado un área de la superficie delimitada por las curvas.

Lo mismo para las integrales de volumen.

Porque el elemento de superficie infinitesimal y el elemento de volumen infinitesimal, que en coordenadas cartesianas son$\:\mathrm{dS}=\mathrm dx\mathrm dy\:$y$\:\mathrm{dV}=\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\:$, en general las coordenadas curvilíneas no son$\:\mathrm{dS}=\mathrm du\mathrm dv\:$y$\:\mathrm{dV}=\mathrm du\mathrm dv\mathrm dw$. Los jacobianos son los coeficientes de ''corrección''. Vea la Figura 01 por ejemplo.

Además, un jacobiano distinto de cero en todas partes es una condición necesaria y suficiente para la inversibilidad de las transformaciones de coordenadas.

Entonces, si quieres encontrar la integral doble en la Figura 02:

$$\begin{equation} A=\iint\limits_{\mathrm S} f\mathrm {dS} \tag{01} \end{equation}$$ luego por coordenadas cartesianas $$\begin{equation} A=\iint\limits_{\mathrm S} f \!\left(x,y\right)\mathrm dx\mathrm dy \tag{02} \end{equation}$$ ya que en estas coordenadas $$\begin{equation} \mathrm {dS}=\mathrm dx\mathrm dy \tag{03} \end{equation}$$ No hay necesidad de un jacobiano aquí.

Pero si es conveniente utilizar otras coordenadas curvilíneas en general$\left(u,v\right)$, luego bajo la transformación de coordenadas :

$$\begin{equation} x=x\left(u,v\right)\,, \quad y=y\left(u,v\right) \tag{04} \end{equation}$$ tenemos $$\begin{equation} \mathrm {d S}=\:\underbrace{\left\vert \! \left(\dfrac{\partial \mathbf r}{\partial u}\mathrm d u\right)\!\! \boldsymbol{\times}\!\!\left( \dfrac{\partial \mathbf r}{\partial v}\mathrm d v \right)\!\right\vert}_{\textbf{algebraic magnitude}} \!=\underbrace{\left\vert \dfrac{\partial \mathbf r}{\partial u}\boldsymbol{\times}\dfrac{\partial \mathbf r}{\partial v}\right\vert}_{\textbf{algeb. magn.}}\,\mathrm d u\,\mathrm dv = \underbrace{ \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial u}\\ \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}}_{\textbf{Jacobian}} \mathrm du\,\mathrm dv=\dfrac{\partial \left(x,y\right)}{\partial \left(u,v\right)}\mathrm du\,\mathrm dv \tag{05} \end{equation}$$ También tenemos $$\begin{equation} g \left(u,v \right)=f\left[x\left(u,v\right),y\left(u,v\right)\right] \tag{06} \end{equation}$$ Insertando las expresiones (05) y (06) en (01) tenemos $$\begin{equation} A=\iint\limits_{\mathrm S}g\left(u,v\right)\dfrac{\partial \left(x,y\right)}{\partial \left(u,v\right)}\mathrm du\mathrm dv=\iint\limits_{\mathrm S}g\left(u,v\right)\left(\dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v}-\dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial v}\right)\mathrm du\mathrm dv \tag{07} \end{equation}$$ Necesitamos un jacobiano aquí.

Figura 02 (versión 3D)

El jacobiano es el análogo integral múltiple del método de sustitución de u. Por ejemplo, si desea realizar la sustitución$x = 2u$en una integral estás introduciendo efectivamente un cambio de coordenadas de$x$a$u$y tienes que poner$dx = 2 \space du$en lugar de de$dx$. De manera similar, para el caso multidimensional, realiza el reemplazo.

$$dxdy= |J(x(u,v),y(u,v))| dudv$$

Sin un cambio de variables no hay necesidad. Podría usar el jacobiano si quisiera considerando que está haciendo la sustitución

$$x(x,y) = x,\space y(x,y)=y$$ pero el jacobiano sería simplemente la matriz identidad que

tiene un determinante de$1$dandote$dxdy=dxdy$

De manera similar, en el caso de una variable, la sustitución$x=x$da$dx=dx$

Si su integral estaba inicialmente en, digamos, coordenadas polares, tendría que usar el jacobiano para volver a convertirlo a euclidiano. Las coordenadas euclidianas no pasan, es solo que generalmente cambias de coordenadas euclidianas a esféricas / polares, etc. en lugar de al revés.

La pregunta original: "¿Por qué tienes que incluir el jacobiano para cada sistema de coordenadas, pero el cartesiano?"

Tal vez debería explicar por qué │J│=1 para las coordenadas cartesianas, y el resto de su respuesta se mantendrá perfectamente.

¿Por qué alguien no escribe?$1 x = 2$y en lugar de$x = 2$? Esta es la misma pregunta.

La mayoría de la gente define la extensión de un objeto rectangular en$\Bbb{R}^n$en un sentido cartesiano como el producto de la$\Bbb{R}^1$extensiones En ese caso de la transformación de un espacio n-dimensional original cartesiano a cartesiano$\Bbb{R}^n$es la matriz identidad, que es la matriz equivalente de$1$para transformaciones de coordenadas. Pero, ¿por qué molestarse en poner un 1 en sus fórmulas?

$$\int _{\varphi _1}^{\varphi _2}\int _{\theta _1}^{\theta _2}\int _{\tau _1}^{\tau _2}f((\left( \begin{array}{ccc} \tau & \theta & \varphi \\ \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right))^\mathsf{T})d\tau d\theta d\varphi$$ dónde$f$es una función de valor real de un vector tridimensional fila. Pero, como no escribir el$1$en la ecuación de álgebra, ¿por qué no usar$f(\left( \begin{array}{ccc} \tau & \theta & \varphi \\ \end{array} \right))$? Todo lo que hace la multiplicación de matrices es reetiquetar$\left(\begin{array}{ccc} \tau & \theta & \varphi \\ \end{array} \right)$como$\left(\begin{array}{ccc} x & y & z \\ \end{array}\right)$.