Velocidad de grupo en una guía de ondas

Question

Velocidad de grupo en una guía de ondas

Julian

Podría obtener la relación de dispersión de una onda que viaja en una guía de ondas rectangular de ancho $a$

ω = C \sqrt{{(\frac{π}{a})}^{2} + k_{z}^{2}}

$\omega=c\sqrt{ \left( \frac{\pi}{a}\right)^2 + k_{z}^2 }$

con $k_z = \dfrac{2\pi}{\lambda_g}\,.$

donde z es la dirección a lo largo de la guía. De aquí obtuve la velocidad del grupo.

\frac{\partial ω}{\partial k_{z}} = \frac{λ_{0}}{λ_{gramo}} C

$\dfrac{\partial\omega}{\partial k_z} = \dfrac{\lambda_0}{\lambda_g}c$

En primer lugar, ¿es correcto este proceso? Y segundo, he buscado y aparentemente la longitud de onda guiada es más larga que la longitud de onda en el espacio libre, lo que concuerda con el resultado que obtuve, pero realmente no puedo entender cómo pudo suceder esto.

Respuestas (2)

Velocidad de grupo en una guía de ondas

dahemar · Answer 1

Buena pregunta. La longitud de onda guiada es un concepto algo complicado. Veamos si podemos obtener algo de intuición para ello.

La velocidad de grupo es la velocidad de propagación en línea recta de la onda por la línea central de la guía de ondas. Su valor es siempre menor que la velocidad de propagación de la onda en el espacio libre ( $c$ ), porque la onda se propaga a lo largo de la guía por una serie de reflejos oblicuos de un lado de la guía al otro, aumentando así la longitud total del camino a un valor mayor que el camino en línea recta. La relación entre $c$ y $v_g$ es:

v_{gramo} = C pecado α

$v_g = c \sin \alpha$

Dónde $\alpha$ es el ángulo de incidencia en la guía de ondas.

Por otro lado, llamamos velocidad de fase a la velocidad de propagación del punto en la pared de la guía de ondas donde incide la onda. Esta velocidad es en realidad más rápida que ambas $v_g$ y $c$ . Es útil considerar la "analogía de la playa" para comprender la relación entre las velocidades de fase y de grupo:

Considere una playa oceánica a la que las olas llegarán desde la costa en un ángulo distinto de 90°, lo que significa que los frentes de onda que llegan no serán paralelos a la línea de la costa. Las olas que llegan a $v_g$ cuando golpea la orilla, golpeará primero un punto en la playa, y este "punto de impacto" sube por la playa a una velocidad de fase más rápida, $v_p$ , eso es más rápido que $v_g$ . Esta es la razón por la cual la velocidad de fase en una guía de ondas puede ser mayor que $c$ . Finalmente, considere que la definición de longitud de onda es la distancia entre puntos de igual fase a lo largo de la onda.

Obtendrás la siguiente relación:

\frac{v_{gramo}}{C} = \frac{λ}{λ_{gramo}} > 1

$\frac{v_g}{c}=\frac{\lambda}{\lambda_g}>1$

Avíseme si algo no está claro e intentaré mejorar mi respuesta.

Gracias por la interesante analogía, eso fue muy claro, ¡lo aprecio!

librecharly · Answer 2

La expresión de la velocidad de grupo

v_{gramo} = \frac{\partial ω}{\partial k_{z}}

$v_g=\frac {\partial \omega}{\partial k_z}$ para la guía de onda con vector de onda

k_{z}

$k_z$ en la dirección de propagación es correcta. Y la velocidad de fase es

v_{pag h} = \frac{ω}{k_{z}}

$v_{ph}=\frac{\omega}{k_z}$ Según la relación de dispersión de la guía de ondas, cuando

ω

$\omega$ se aproxima a la frecuencia de corte

ω_{c} = c \frac{π}{a}

$\omega_c=c\frac{\pi}{a}$ , el vector de onda

k_{z}

$k_z$ y y velocidad de grupo

v_{g}

$v_g$ va a cero y la longitud de onda se aproxima al infinito.

Esto se puede entender por el hecho de que la onda guiada se puede descomponer en ondas planas con un ángulo de inclinación $\theta$ a la dirección z que se reflejan en las paredes superior e inferior de la guía de ondas. Si $theta$ se acerca a 90 grados, la superposición da una longitud de onda en la dirección z que se aproxima al infinito y solo hay una onda plana estacionaria reflejada entre la pared superior e inferior de la guía de ondas.

Gracias por tu respuesta. Entiendo este concepto, pero lo que no puedo entender es el hecho de que la longitud de onda del componente de la onda que se propaga a lo largo de la guía de ondas (en la dirección z en este caso) $\lambda_g$ parece ser mayor que la longitud de onda de la onda original que se propaga en el espacio libre $\lambda_0$ . ¿Cómo puede suceder esto?
@Julian - La onda plana con longitud de onda $\lambda_0$ , inclinado en un ángulo $\theta$ al eje z y su reflejo en la pared lateral inclinada en un ángulo $-\theta$ produce el modo de onda considerado de la guía de ondas. Cuando el avión ondea con $\lambda_0$ están dirigidos en un ángulo $±\theta$ en la dirección z, sus crestas intersecan el eje z a una distancia $\lambda_ =\frac{\lambda_0}{cos{\theta}}$ que da la longitud de onda en la dirección z del modo de guía de ondas. También puedes ver esto a partir de la proyección del vector de onda. $k_{0z} =\vec k_0 \cos{\theta}$ de las ondas planas en el eje z.
¡Oh, ya veo! Lo estaba viendo de manera equivocada, muchas gracias!

Velocidad de grupo en una guía de ondas

Julian

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