Condición límite en BB\mathbf{B} para describir cavidades resonantes de guías de ondas

En Jackson-Classical Electrodynamics cuando se discuten las cavidades resonantes (8.6, página 252) (pero también en la página 7 aquí o en la página 19 aquí ) la explicación se hace diciendo que la solución es la misma de una guía de ondas rectangular, que podemos suponer eso es para mi

mi ( X , y , z , t ) = mi 0 ( X , y ) mi i ( α z − ω t )
B ( X , y , z , t ) = B 0 ( X , y ) mi i ( α z − ω t )

pero en lugar de mi i ( α z ) hay un factor H porque ⁡ ( w z ) + j pecado ⁡ ( w z ) , entonces

mi ( X , y , z , t ) = mi 0 ( X , y ) [ H porque ⁡ ( w z ) + j pecado ⁡ ( w z ) ] mi − i ω t
B ( X , y , z , t ) = B 0 ( X , y ) [ H ′ porque ⁡ ( w z ) + j ′ pecado ⁡ ( w z ) ] mi − i ω t
Y las condiciones de contorno impuestas son las siguientes (suponiendo que la longitud de la cavidad sea d en z dirección)
(1) B z ( z = 0 ) = B ( z = d ) = 0 ∀ X , y
(2) mi X ( z = 0 ) = mi X ( z = d ) = mi y ( z = 0 ) = mi y ( z = d ) = 0 ∀ X , y

Mientras ( 2 ) es claro porque simplemente requiere que el campo eléctrico sea normal a la superficie (que es la condición necesaria para evitar la disipación), no veo por qué ( 1 ) es requerido

Se explicaría por el hecho de que mi es perpendicular a B pero esa es una conclusión que uno debe obtener de la solución, no una suposición para imponer las condiciones de contorno. Desafortunadamente no encontré una explicación para ( 1 ) ni en Jackson ni en las referencias entonces por qué es ( 1 ) unas condiciones de contorno necesarias para imponer?

Respuestas (1)

Su ecuación (1) proviene del hecho de que la componente normal del campo magnético siempre debe ser continua en el límite. Esto significa que dado que el campo magnético es cero dentro de un conductor eléctrico perfecto (PEC), la componente normal del campo magnético en el límite también debería ser cero debido a su continuidad.

Si no está seguro de por qué el campo magnético siempre es cero dentro de un PEC, considere la ley de Faraday:

∇ × mi ( r , t ) = − ∂ ∂ t B ( r , t )
Dentro de un PEC, el campo eléctrico siempre es cero, por lo que mi = 0 y obtenemos:
∂ ∂ t B ( r , t ) = 0
Esto significa que el campo magnético es constante en el tiempo; es decir, no ha cambiado ni cambiará desde el principio del tiempo hasta su final (¡si es que lo tiene!). Ahora, dado que en todos los casos prácticos, el campo magnético es cero dentro del PEC en algún momento (por ejemplo, antes de encender el circuito), el campo magnético siempre es idénticamente cero, porque no puede cambiar.

Por lo tanto, concluimos que el campo magnético dentro de un PEC es siempre cero.

PS El campo eléctrico y el campo magnético dentro de una cavidad no son perpendiculares, una cavidad (rectangular) tiene modos TE (transversal eléctrico) y TM (transversal magnético), en los que los campos no pueden ser ortogonales.

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