Aproximación Eikonal para óptica ondulatoria. ¿Por qué seguir el vector unitario paralelo al vector de Poynting?

La descripción del paso de la óptica ondulatoria a la óptica geométrica afirma que los rayos de luz son las curvas integrales de un determinado campo vectorial (la dirección del vector de Poynting, normalizada a 1). Aquí están los detalles, ¿podría llenar los espacios en blanco?

la longitud de onda λ es mucho menor que todas las demás longitudes características.

  1. El entorno es un medio "agradable" (con un índice de refracción que varía espacialmente norte ( X ) ) a través del cual se propaga una onda "casi plana". La onda (si está polarizada linealmente) resulta ser representable por mi → ( X , t ) = mi → 0 Exp ⁡ ( i ( x ( X ) − ω t ) ) y B → ( X , t ) = B → 0 Exp ⁡ ( i ( x ( X ) − ω t ) ) con constante mi → 0 y B → 0 .

  2. Las ecuaciones de Maxwell implican ( ∇ → x ) 2 = norte 2 ω 2 C 2 y un vector de Poynting promediado en el tiempo S → = C norte s → , dónde s → es el vector unitario s → = ∇ → x norte ω / C .

  3. Las curvas integrales del campo de vectores unitarios s → son los rayos de luz.

  4. Trabajando a través de los resultados de las ecuaciones para esto para una trayectoria de rayo X ( τ ) (dónde τ es solo un parámetro): d d τ ( norte d X → d τ ) = ∇ → norte

¿Cómo se prueba el salto de 2 a 3? ¿Por qué seguir los vectores unitarios y no los propios vectores de Poynting? O incluso, ¿por qué los rayos de luz deberían ser tangenciales a los vectores de Poynting (además de la intuición como "los rayos de luz deberían transportar energía")?

¿Podría alguien darme la prueba de 3. o indicarme una referencia?

La distinción entre s → y S → no es terriblemente significativo; el punto de los vectores unitarios es que apuntan en la misma dirección que el vector de Poynting, con magnitud unitaria. El campo de vectores unitarios se deforma continuamente a lo largo de los límites de fase, al igual que el vector de Poynting. Podría seguir fácilmente el vector de Poynting, pero sería un poco más confuso ya que el "tamaño" del vector cambiaría de forma a medida que cambiara el índice del medio. Esto no es necesario para ver que la ruta de propagación de la luz en cualquier punto del espacio es a lo largo del vector unitario de Poynting.
@KDN, intuitivamente su comentario tiene mucho sentido, gracias, sin embargo, espero obtener una prueba más detallada en algún momento.
Además, no sé si hay algún tipo de "prueba" para 3. Creo que es más una definición. El "rayo de luz" geométrico se toma como el camino trazado por el vector de Poynting del campo electromagnético.

Respuestas (1)

Hay una serie de puntos interesantes en esto.

  • El paso de 1. a 2. no es baladí. Si haces el cálculo, verás que el laplaciano ∇ 2 mi → de la ecuación de onda da lugar al término en ( ∇ x ) 2 usted menciona, así como un término en ∇ 2 x . Este segundo término sólo desaparece en el pequeño λ límite y es la esencia de la aproximación eikonal. No es un cálculo que debas descartar: resuélvelo por completo e implementa la aproximación, notando que localmente x ( X → ) = k → ⋅ X → + factores lentos , dónde k → es largo. (Por supuesto, deberá cuantificar "lento").
  • (El cálculo que S → = C 2 norte 2 ω ∇ x , por otro lado, es trivial.)
  • Como mencionó KDN, las curvas integrales de S → y su vector unitario s → son lo mismo. Esto se deduce de la definición de curvas integrales: son curvas tales que el campo vectorial es tangente a ellas en todo momento. Esto es independiente de la longitud del vector. (En términos de la curva, corresponde a una reparametrización del "tiempo": cambia la velocidad pero no la dirección de la velocidad). Usar un vector unitario significa que los rayos de luz serán parametrizados por la longitud de la trayectoria.
  • Uno puede simplemente definir los rayos de luz como las curvas integrales de s → y ser feliz por eso, aunque por supuesto eso es simplemente perder la física. El hecho clave acerca de los rayos de luz, así definidos, es que son normales en todas partes a las superficies de constante x , es decir, las superficies de fase constante, es decir, los frentes de onda. Las ondas planas se propagan en línea recta normalmente hacia los frentes de onda en el espacio libre, al igual que los rayos de luz (así definidos). Es lo normal a los frentes de onda lo que importa cuando se resuelven las ecuaciones de Fresnel y, por lo tanto, los rayos de luz (así definidos) obedecerán la ley de Snell. En última instancia, probar 3. es una cuestión de definición: ¿qué son los rayos de luz? Anota cualquier propiedad definitoria y podrás probar las curvas integrales de s → obedecerlo.
  • Es importante señalar que en medios isotrópicos s → no es solo el vector de Poynting de la unidad local, sino que también es el vector de onda de la unidad local. (Esencialmente, este es el mismo punto que el anterior). Intuitivamente, los rayos de luz deben seguir los vectores de onda porque son los vectores de onda los que les dicen a las ondas de luz a dónde ir. En un medio birrefringente (no isotrópico), la dirección de propagación de la fase (vector de onda) y la dirección de propagación de la energía (vector de Poynting) no son necesariamente las mismas (y no se aplica la ley de Snell).
  • Demostrar 4. es un ejercicio interesante (es decir, ¡hazlo!) pero es esencialmente trivial. Se basa en la identidad d X → d τ = s → , que define las curvas de los rayos de luz X → ( τ ) , sobre el uso juicioso de la derivada total d d τ = ( d X → d τ ⋅ ∇ ) , y algunas manipulaciones interesantes de cálculo vectorial. (Pista: prueba ( ∇ x ⋅ ∇ ) ∇ x = 1 2 ∇ ( ∇ x ) 2 .) Presumiblemente ya sabes que lo que obtienes se llama la ecuación de rayos, lo que significa y cómo usarla, o no te habrías detenido allí;).

Esto parece suficiente para ponerlo en marcha, pero si tiene más preguntas, pregunte.

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